肖嵐菁，劉紅良

（1.長沙市南雅中學，湖南長沙 410129；2.湘潭大學數學與計算科學學院，湖南湘潭 411105）

GM（1，1）模型和Verhulst模型的改進及其應用＊

肖嵐菁1，劉紅良2

（1.長沙市南雅中學，湖南長沙 410129；2.湘潭大學數學與計算科學學院，湖南湘潭 411105）

基于殘差修正對GM（1，1）模型和Verhulst模型進行改進，利用所改進的模型分別對湖南省固定資產投資和水稻產量進行預測.預測結果表明，改進后的模型模擬精度明顯優(yōu)于原來模型模擬精度，改進的方法分別更適合于固定資產投資和水稻產量的預測.

回歸分析；灰色預測；GM（1，1）模型；Verhulst模型

隨著社會經濟的發(fā)展，現代科技的不斷進步，人們越來越重視預測在生活中的應用.目前，常用的預測模型包括回歸模型、指數平滑法、灰色GM（1，1）模型及Verhulst模型等［1－6］，這些模型各有優(yōu)勢，被廣泛應用于國民經濟、風電功率、用電負荷及投資等許多科學經濟領域的預測中.但這些模型若單獨使用，則存在預測精度不高等缺點.為此，筆者首先綜合使用這些模型，基于殘差修正來改進GM（1，1）模型及Verhulst模型.

固定資產投資是建造和購置固定資產的經濟活動，是社會固定資產再生產的主要手段，在整個社會投資中占據主導地位.因此，預測固定資產投資總額成為社會經濟研究中的重要內容.為了較準確地預測湖南省2013年每個月份固定資產投資所需資金總額，有必要建立湖南省的固定資產投資模型.一個社會的固定資產投資往往受到許多因素的制約，而且這些因素之間又保持著錯綜復雜的聯(lián)系，因此，運用結構性的因果模型分析和預測往往比較困難.

糧食產業(yè)作為農業(yè)的重要組成部分，其意義不言而喻.自古以來，無糧則不穩(wěn)，糧食產量的高低，對穩(wěn)定中國安定團結的政治局面、順利開展中國社會主義現代化各項事業(yè)建設、構建社會主義和諧社會等都有重要意義.同時，作為糧食安全保障的一個重要組成部分，糧食的產量安全是中國應對國際糧食危機的重要舉措之一.因此，無論是對中國目前經濟發(fā)展狀況的認識，還是對未來經濟發(fā)展的預測，糧食問題的研究都具有十分重要的意義，而合適的糧食預測方法就顯得非常重要.

首先研究湖南省水稻產量未來的走勢.考慮到湖南省水稻產量呈“S”型序列，因此將基于殘差修正的Verhulst模型應用于湖南省水稻產量的預測，這樣不僅保留了Verhulst模型［4］的優(yōu)勢和特點，而且比Verhulst模型具有更高的精度.

然后研究湖南省全社會固定資產投資額未來的走勢.利用GM（1，1）模型對其預測，得到殘差序列，再對殘差序列進行回歸分析，之后利用殘差預測結果修正GM（1，1）模型的預測結果.殘差修正后的預測結果誤差顯著減少，更符合實際情況.

1 GM（1，1）模型的改進

其中a，b為灰參數.進一步可得GM（1，1）模型（1）的參數序列a－＝a，

（b）T的最小二乘估計

對（4）式作一次累減還原計算，得到原始序列X0的GM（1，1）預測模型

這里：β0，β1，...，βp是p＋1個未知參數，稱為回歸系數；x為解釋變量；x（t）為被解釋變量.

利用GM（1，1）模型預測模型（5）.用序列觀察值減去預測值，可得到殘差序列

然后以殘差序列ε0為觀測時間序列建立回歸分析模型，得到殘差序列的預測值ε－0（k），k＝1，2，...，從而基于回歸分析殘差修正的GM（1，1）模型模擬的還原值為

2 Verhulst模型的改進

Verhulst模型是1837年德國生物學家Verhulst在研究生物繁殖規(guī)律時提出來的.其基本思想是，生物個體數量呈指數增長，受周圍環(huán)境的限制，增長速度逐漸放慢，最終穩(wěn)定在一個固定值.Verhulst模型主要用來描述具有飽和狀態(tài)的過程，即S形過程.GM（1，1）模型適用于具有較強指數規(guī)律的序列，只能描述單調的變化過程，對于非單調的擺動發(fā)展序列或有飽和的“S”型序列，若采用該灰色模型則預測誤差較大，預測精度不滿足實際要求.

引入Verhulst模型［8］

通過類似于獲得（3）式的過程，可得Verhulst模型（9）的參數序列＝（a，b ）T的最小二乘估計為＝（BTB）－1BTY，其中

進一步，得到Verhulst模型的時間響應式為

利用Verhulst模型預測，用序列觀測值減去預測值，可得到殘差序列

3 改進的GM（1，1）模型模型在固定資產投資中的應用

下面以湖南省2012年3—12月的固定資產投資額的實際序列與擬合序列的誤差精度分析，來比較GM（1，1）模型（1）和改進GM（1，1）模型（8）的優(yōu)劣.表1示出湖南省2012年3—12月固定投資額實際數據，數據來源于湖南統(tǒng)計信息網.

表1 湖南省2012年3—12月固定投資額實際數據

首先利用GM（1，1）模型對湖南省固定資產投資額進行預測，由（3）式得模型的系數＝利用（7）式得到殘差序列.然后對殘差序列進行二次擬合，得到殘差序列的關系式為x＝72.25t2－556.92t＋520.02.進一步，利用（8）式得到基于回歸分析殘差修正的GM（1，1）模型的預測結果.GM（1，1）模型和修正的GM（1，1）模型的預測結果及相對殘差如表2所示.表2結果表明，基于回歸分析殘差修正的GM（1，1）模型的預測結果誤差更小，可靠性更高，更適合于固定資產投資的預測.

表2 改進模型與原模型計算結果比較

湖南省2013年1—6月的固定資產投資額預測如表3所示.表3結果表明，改進后的模型預測湖南省固定資產投資趨勢將變緩，更適合于實際情況.

表3 預測湖南省2013年1—6月的固定資產投資額萬元

4 改進的Verhulst模型在水稻產量中的應用

以湖南省水稻產量為例，該省2002—2009年水稻產量如表4所示，數據來源于湖南統(tǒng)計信息網.由表4可知，其產量數據是呈“S”型增長的［9］，故在不考慮外界環(huán)境因素對湖南省今后幾年經濟作物發(fā)展影響的前提下，分別利用Verhulst模型和基于GM（1，1）模型殘差修正的Verhulst模型對其進行預測.記（k），（k）和Δ（k）分別表示Verhulst模型的預測結果、絕對誤差和相對誤差，（k），ε＊（k）和Δ＊（k）分別表示改進Verhulst模型的預測結果、絕對誤差和相對誤差，所得結果如表5所示.2個模型對湖南省水稻產量的預測趨勢如圖1所示.

表4 湖南省2002—2009年水稻產量值

表5 預測結果及誤差

由表5及圖1結果可知，基于GM（1，1）改進的Verhulst模型模擬結果比Verhulst模型模擬結果更為精確，相對誤差更小，且平均相對誤差小于0.04，改進的模型更適合對湖南省水稻產量進行預測.

圖1 水稻產量預測趨勢

5 結語

固定資產和水稻產量由于受自然災害、經濟規(guī)律及政策等因素的影響而產生隨機波動，波動的周期、幅度和持續(xù)時間不是一致的，因此利用殘差修正能克服隨機因素帶來的不確定性.修正后的模型更適合于預測固定資產和水稻產量.

［1］ 郭廣猛.用GM（1，1）模型和Verhulst模型進行建筑物沉降預測［J］.巖土工程界，2000，3（10）：33－37.

［2］ 王正宇，王紅玲.基于ARIMA模型的我國GDP分析預測［J］.對外經貿，2011，210（12）：107－108.

［3］ 胡麗敏，周新地，黃長軍.灰色模型GM（1，1）在益陽市耕地預測中的應用［J］.湖南城市學院學報：自然科學版，2008，17（3）：75－78.

［4］ 周 文.Verhulst模型在城市生活垃圾產量預測中的應用［J］.山西建筑，2012，38（19）：218－220.

［5］ 劉 芳.上海生活垃圾產生量、組成特性及處置對策研究［J］.環(huán)境衛(wèi)生工程，2005，13（2）：37－43.

［6］ 舒 瑩.基于灰色預測模型的合肥市城市生活垃圾產量預測［J］.環(huán)境科學與管理，2007，32（9）：5－8.

［7］ 鄧聚龍.灰色控制系統(tǒng)［M］.武漢：華中理工大學出版社，1988.

［8］ 劉思峰，郭天傍，黨耀國，等.灰色系統(tǒng)理論及其應用［M］.北京：科學出版社，1999.

［9］ 易丹輝.數據分析與Eviews應用［M］.北京：中國統(tǒng)計出版社，2002.

（責任編輯 向陽潔）

Improved GM（1，1）Model and Verhulst Model with Their Applications

XIAO Lan-jing1，LIU Hong-liang2
（1.Nanya Middle School of Changsha，Changsha 410129，China；2.School of Mathematics and Computational Science，Xiangtan University，Xiangtan 411105，Hunan China）

The GM（1，1）model and Verhulst model are improved based on residual modification.These improved models are used to predict investment of fixed assets and rice production in Hunan province.The predicting results show that the improved models are better than the previous models and more suitable to predict the investment of fixed assets and rice production.

regression analysis；gray forecast；GM（1，1）model；Verhulst model

O212

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.05.005

1007－2985（2013）05－0016－05

2013－06－20

湖南省教育廳科學研究項目（11C1220）

劉紅良（1979－），男，湖南湘鄉(xiāng)人，湘潭大學數學與計算科學學院副教授，博士，主要從事微分方程數值方法及數學建模研究.