黃 煒，馬 焱

（1.寶雞職業(yè)技術學院基礎部，陜西寶雞 721013；2.寶雞文理學院經濟管理系，陜西寶雞 721013）

關于除數函數與Smarandache k次補數的混合均值＊

黃 煒1，馬 焱2

（1.寶雞職業(yè)技術學院基礎部，陜西寶雞 721013；2.寶雞文理學院經濟管理系，陜西寶雞 721013）

對任意的正整數n，Smarandache k次冪補數Ak（n）定義為最小的正整數m，使得mn是完全k次冪數.用解析的方法研究了除數函數τ（n）對補數列Ak（n）的復合函數τ（Ak（n））的混合均值并得到了一個漸近公式.

除數函數；k－次冪補數；均值；漸近公式

1 引理及證明

文獻［5］包含了證明以下引理所需要的基礎知識.

引理3 設ε是任意正常數，當σ≥k－1時，有

（1）B（s＋1）在半平面Re s≥k－1＋ε上有界且解析；

證明 對于任意素數p，p的k次補數Ak（pn）為

（2）由定義知Ak（n）是積性函數，又因為τ（Ak（m·n））＝τ（Ak（m））·τ（Ak（n）），τ（Ak（n））也是積性函數，所以由Ak（n）的定義及文獻［5］的有關定理有：當σ≥k－1時，τ（Ak（n））的Dirichlet級數為

2 定理及證明

定理1 設x≥1，則有漸近公式

［1］ SMARANDACHE F.Only Problems，Not Solutions［M］.Chicago：Xiquan Publishing House，1993.

［2］ HUANG Wei.An Arithmetical Function and the Power Complements［C］／／Research on Smaramtache Problems in Number Theory.Hexis，2005：123－124.

［3］ 張紅莉，王 陽.關于平方補數除數函數的均值［J］.紡織高校基礎科學學報，2002（1）：44－46.

［4］ 王 陽.立方冪補數除數函數的均值［J］.數學的實踐與認識，2004，34（12）：144－148.

［5］ TOM M APOSTPL.Introduction to Analytic Number Theory［M］.New York：Springer-Verlag，1976.

［6］ PAN C D，PAN C B.Foundation of Analytic Number Theory［M］.Beijing：Science Press，1997.

（責任編輯 向陽潔）

Mean Value of Divisor Function for Smarandache k-Power Complements

HUANG Wei1，MA yan2
（1.Department of Basic Courses，Baoji Vocational and Technical College，Baoji 721013，Shaanxi China；2.Department of Ecomomics and Management，Baoji University of Arts and Sciences，Baoji 721013，Shaanxi China）

Let n be positive integer，the Smarandache k-power complements Ak（n）is defined as the smallest integer m such that mnis perfect k-th power.The mean value ofτ（Ak（n））is studied and an asymptotic formula is given by the analytic integral methods.

divisor function；k-power complement；mean value；asymptotic formula

O156.4

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.05.002

1007－2985（2013）05－0003－03

2013－01－14

國家自然科學基金資助項目（11071194）；陜西省自然科學基金資助項目（09JK432）

黃 煒（1961－），男，陜西岐山人，寶雞職業(yè)技術學院基礎部教授，主要從事解析數論與特殊函數研究；馬焱（1963－），女，陜西乾縣人，寶雞文理學院教授，主要從事財務管理研究.