張計(jì)光，陳立群，錢躍竑

(1.上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072;2.日照職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山東 276826;3.上海大學(xué) 力學(xué)系，上海 200444)

輸流管道的振動(dòng)問題在航空航天、海洋工程、石油能源工業(yè)、水利工程、生物工程等相關(guān)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用［1］。管道內(nèi)流體的流動(dòng)一般是通過水泵加壓作為動(dòng)力，而由這種脈動(dòng)動(dòng)力產(chǎn)生的脈動(dòng)流引起的管道振動(dòng)在工程問題中非常普遍且更具有破壞性。

Ariaratnam等［2］對(duì)兩端支承輸流管道的線性方程用辛變換方法和平均法研究了系統(tǒng)的次諧波共振和組合共振。Pa?doussis等［3］用實(shí)驗(yàn)和線性分析的方法研究了脈動(dòng)流激勵(lì)下的管道失穩(wěn)區(qū)域和參數(shù)共振現(xiàn)象。Yang等［4］采用梁模型，利用多尺度方法討論了管道的穩(wěn)定性問題。

本文研究了黏彈性輸流管在Winkler地基上的參數(shù)共振穩(wěn)定性問題。利用直接多尺度方法討論了輸流管的參數(shù)穩(wěn)定性及通過可解性條件得到組合和次諧波共振的穩(wěn)定性邊界。通過數(shù)值算例，得到了質(zhì)量比、黏彈性系數(shù)、平均軸向速度、彈性地基對(duì)穩(wěn)定性邊界的影響。

圖1 輸流管道的物理模型Fig.1 The physical model of pipe conveying fluid

1 數(shù)學(xué)模型

本文主要研究如圖1所示的輸流管道，其彈性地基模型為Winkler模型，管道為黏彈性材料，其本構(gòu)關(guān)系采用Kelvin模型。假設(shè)管內(nèi)流體為不可壓縮且無黏性流體，忽略重力、管道的剪切變形、截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響的黏彈性輸液管［5-6］，在Winkler彈性地基上的控制方程:

其中:EI為管道的彎曲剛度，α為管道的黏彈性阻尼系數(shù)，μ為無量綱的滯后阻尼系數(shù)，C為管外流體或氣體對(duì)管道的粘性阻尼系數(shù)，Ω為頻率，m為管道單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，M為管道內(nèi)流體單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，U為管內(nèi)流體流速，Y(X，T)為管道的橫向變形，X和T分別表示軸向坐標(biāo)和時(shí)間，L為管道的長(zhǎng)度，K為地基反力系數(shù)。

引入如下新的無量綱變量:

得到在Winkler彈性地基上黏彈性輸流管的無量綱形式運(yùn)動(dòng)微分方程和簡(jiǎn)支邊界條件為:

2 多尺度分析

管道內(nèi)流體的流速受到周期小擾動(dòng):

將式(5)代入式(3)，得:

對(duì)式(4)、(6)應(yīng)用直接多尺度方法，設(shè)其一階近似解為:

式中:T0=t和T1=εt分別為由于固有頻率導(dǎo)致的快時(shí)間尺度和因阻尼及速度小擾動(dòng)而引發(fā)的振幅、相位變化的慢時(shí)間尺度。將式(7)代入式(6)，分離ε0和ε1不同階量，得到:

輸流管道內(nèi)流體的脈動(dòng)頻率ω接近系統(tǒng)某階固有頻率的兩倍或者某兩階固有頻率之和時(shí)，就會(huì)發(fā)生共振的現(xiàn)象。引入調(diào)諧參數(shù)σ，表示脈動(dòng)頻率ω在ωn+ωm附近變化，即:

其中:ωn和ωm分別表示式(8)的第n階和第m階固有頻率。為分析和式組合共振的響應(yīng)，設(shè)式(8)的解為:

其中:cc表示等式右端之前各項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)。把式(10)和式(11)代入式(9)，并把右端的三角函數(shù)表示為指數(shù)形式得到:

其中:符號(hào)上的點(diǎn)及撇分別表示對(duì)慢變時(shí)間T1及無量綱軸向坐標(biāo)x的導(dǎo)數(shù)，NST表示不會(huì)給解帶來長(zhǎng)期項(xiàng)的所有項(xiàng)。若要所得解不存在長(zhǎng)期項(xiàng)，則可解性條件要求方程式(12)的非齊次部分與其伴隨方程的齊次解正交［7］，即:

其中:在區(qū)間［0，1］上，復(fù)方程的內(nèi)積定義如下:

應(yīng)用內(nèi)積的分配律，由式(13)得到:

其中:系數(shù)為:

它們由方程式(8)的模態(tài)函數(shù)和固有頻率所決定，與流體速度的脈動(dòng)量無關(guān)。

將振幅寫成極坐標(biāo)形式，做如下變換:

把式(17)代入式(15)中，得自治方程:

易知，式(18)有零解。分析式(18)的非零解情況，設(shè)其非零解為:

其中:bn和bm為實(shí)數(shù)，λ為要確定的復(fù)數(shù)。把式(19)代入到式(17)，并取第二式的共軛，可以得到:

如果方程(20)有非零解，則它的系數(shù)矩陣的行列式為零，即:

如果λ有正實(shí)部解，則系統(tǒng)解不穩(wěn)定，如果λ全部為負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)穩(wěn)定。

經(jīng)數(shù)值驗(yàn)證cnm和cmn均為實(shí)數(shù)，將 λ，dnm和dmn分離為實(shí)部及虛部:

把式(22)代入式(21)，并分離實(shí)虛部，得到:

把λR代入式(23)并消去λI得到:

式(24)就是和式組合共振響應(yīng)失穩(wěn)區(qū)域的邊界，即組合或諧波共振失穩(wěn)的臨界條件。當(dāng)m=n，式(24)簡(jiǎn)化為n階諧波共振的臨界條件:

3 在兩端鉸支下輸流管道的失穩(wěn)區(qū)域邊界及參數(shù)影響

設(shè)式(8)的解是:

其中:φn(x)和ωn是輸流管道的第n階模態(tài)和第n階固有頻率。

將(26)式代入(8)式及邊界條件，化簡(jiǎn)得:

式(27)是四階常微分方程，其解可以寫為如下形式:

把式(29)代入式(27)、(28)有:

為使原問題有非零解，則線性代數(shù)方程(31)的系數(shù)矩陣的行列式必須有零解，從而得:

以質(zhì)量比Mr=0.6，k=20，u0=2.0，c=0.01，φ=0.000 103，μ=0.001 01 的彈性地基輸流管道為例，其固有頻率為 ω1=8.6950，ω2=37.8439，而模態(tài)函數(shù)(32)中，第一階有 β11=3.7010，β21=-2.3152，β31=-0.6929+2.4513i，β41=-0.6929-2.4513i，第二階有 β12=6.8677，β22=-5.6599，β32=-0.6039+5.9971i，β42=-0.6039-5.9971i。在和式組合共振響應(yīng)失衡區(qū)域邊界(24)中，通過數(shù)值計(jì)算可以得到當(dāng)m=1，n=2，即第一階、第二階和式共振時(shí)c12=0.0109，c21=0.1021，d12= -0.2039-2.5097i及d21=-0.0581-0.7150i。在次諧波共振響應(yīng)失衡區(qū)域邊界式(25)中，當(dāng)m=n=1 有c11=0.0109，d11=-0.2039-2.5097i;當(dāng)m=n=2 有c22=0.1021，d22=-0.0581-0.7150i。

4 數(shù)值驗(yàn)證及結(jié)果

利用微分求積法對(duì)前面運(yùn)用直接多尺度法得到的近似解析結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，在數(shù)值驗(yàn)證中，取ε=1。輸流管的計(jì)算區(qū)域?yàn)?≤x≤1，x方向的網(wǎng)點(diǎn)數(shù)為N=11，網(wǎng)點(diǎn)的分布采用非均勻網(wǎng)點(diǎn)布置。表1給出了當(dāng)Mr=0.6，k=20，c=0.01，φ =0.000103，μ =0.00101 時(shí)，在不同速度下用不同方法得到的線性派生系統(tǒng)前兩階固有頻率的比較，通過比較發(fā)現(xiàn)，用這兩種方法得到的結(jié)果吻合的非常好。

表1 不同方法下第1階和第2階固有頻率的結(jié)果比較Tab.1 The comparison for the variation of the first two-order dimensionless natural frequencies of the linear generating system

圖2 不同質(zhì)量比對(duì)前兩階模態(tài)共振失穩(wěn)區(qū)域的影響Fig.2 The effect of mass ratios on the stability boundaries

圖3 不同流體速度對(duì)前兩階模態(tài)共振失穩(wěn)區(qū)域的影響Fig.3 The effect of mass ratios on the stability boundaries

給定k=20，u0=2.0，c=0.01，φ =0.000 103，μ=0.001 01，在不同的質(zhì)量比下，圖2利用多尺度法給出了前兩階模態(tài)組合共振及諧波共振在σ–u1平面上的失穩(wěn)區(qū)域。其中點(diǎn)線表示Mr=0.6，虛線表示Mr=0.4，實(shí)線表示Mr=0.2。從圖中可以看出，給定σ時(shí)，不論第一、二階組合共振還是次諧波共振，隨著流體與管道質(zhì)量比的減小，系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍增加;而給定u1導(dǎo)致失穩(wěn)范圍減小。

給定k=20，Mr=0.6，c=0.01，φ =0.000 103，μ=0.001 01，在不同的流體速度下，圖3利用多尺度法給出了前兩階模態(tài)組合共振及諧波共振在σ–u1平面上的失穩(wěn)區(qū)域。其中點(diǎn)線表示u0=2.3，紅色虛線表示u0=2，實(shí)線表示u0=1.3。從圖中可以看出，給定 σ時(shí)，第一、二階組合共振和第一階次諧波共振隨著流體速度的減小，系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍增加;而第二階次諧波共振恰好相反。

5 結(jié)論

當(dāng)同時(shí)考慮各種阻尼及彈性地基的影響時(shí)，本文研究了兩端鉸支輸流管道在脈動(dòng)內(nèi)流作用下的參數(shù)共振。對(duì)黏彈性輸流管道橫向振動(dòng)的控制方程，應(yīng)用直接多尺度法，得到了可解性條件，推導(dǎo)了包含各種阻尼、平均流速、質(zhì)量比、彈性地基等參數(shù)影響的管道系統(tǒng)前兩階次諧波共振和組合共振的穩(wěn)定性邊界條件，考察了系統(tǒng)的各種參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性邊界條件的影響，并且通過微分求積法和直接多尺度法得到的前兩階固有頻率結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。利用數(shù)值計(jì)算，發(fā)現(xiàn)流體與管道的質(zhì)量比Mr對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有較大影響，質(zhì)量比Mr越小，系統(tǒng)越穩(wěn)定，并且對(duì)二階諧波共振的影響比一階諧波共振影響要大得多。

［1］ Xu J，Yang Q B.Recent developent on models and nonlinear dynamicsofpipes conveying fluid［J］. Advances in Mechanics，2004(34):182-194.

［2］ Ariaratnam S T，Namachchivaya N S.Dynamic stability of pipes conveying pulsating fluid［J］.Journal of Sound and Vibration，1986(107):215-230.

［3］ Pa?doussis M P，ISSID N T.Dynamic stability of pipes conveying fluid［J］.Journal of Sound and Vibration，1974(33):267-294.

［4］ Yang X，Yang T，Jin J.Dynamic stability of a beam-model viscoelastic pipe for conveying pulsative fluid［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，2007(20):350-356.

［5］ Rinaldi S，Prabhakar S，Vengallatore S，et al.Dynamics of microscale pipes containing internal fluid flow:Damping，frequency shift，and stability［J］.Journal of Sound and Vibration，2010(329):1081-1088.

［6］ Yoon J，Ru C Q，Mioduchowski A.Vibration and instability of carbon nanotubes conveying fluid［J］.Composites Science and Technology，2005(65):1326-1336.

［7］ Chen L Q，Tang Y Q，Lim C W，Dynamic stability in parametric resonance of axially accelerating viscoelastic Timoshenko beams［J］.Journal of Sound and Vibration，2010(329):547-565.