劉 海，高行山，王佩艷，李 磊

(西北工業(yè)大學 工程力學系，西安 710129)

在機械、車輛、船舶和飛行器的設計中，需要在不顯著增加結構質量和成本的前提下降低振動噪聲。使用優(yōu)化技術對結構的質量、剛度和阻尼進行合理配置是實現(xiàn)這一設計要求的有效手段。隨著拓撲優(yōu)化方法的逐漸成熟，人們開始嘗試通過拓撲優(yōu)化方法輔助進行低噪聲設計以降低給定區(qū)域的聲壓或結構的輻射聲功率。Luo等［1］通過優(yōu)化兩種剛度不同的材料的拓撲分布，對內聲場的聲壓級進行了最小化。杜建鑌［2-4］通過優(yōu)化兩種剛度、密度、阻尼都不同的材料的拓撲分布，對結構輻射聲功率和聲場中指定區(qū)域的聲壓進行了最小化。劉寶山［5］通過優(yōu)化殼體的厚度分布，對結構輻射聲功率進行了最小化。然而，由兩種材料組成的板和變厚度板都不易制造，使得這些設計方案在工程實際中的應用有限。

在殼體表面的適當位置布置加強筋是降低結構振動噪聲的一種經(jīng)濟而有效的手段，在工程中應用廣泛。而加強筋的布局形式對結構的輻射噪聲水平影響很大，若加強筋布置的位置不合適甚至可能增加結構的振動噪聲;因此研究加強筋布局的優(yōu)化方法對降噪具有重要意義。雖然可以先通過拓撲優(yōu)化方法對板件的材料分布或厚度進行優(yōu)化，再參考最優(yōu)結構的剛度分布來布置加強筋［6］。但由于加筋后結構的剛度等與拓撲最優(yōu)結構有較大區(qū)別，使得降噪效果不佳。Katsumi等［7］進行了齒輪箱加強筋布局優(yōu)化的研究，使用遺傳算法確定了加強筋的位置;但受遺傳算法計算效率的影響這種方法只能應用于小規(guī)模問題。

本文采用基于SIMP插值模型的變密度法拓撲優(yōu)化方法［8］，將表面布滿加強筋的箱體作為基結構，通過從基結構中去除一定量的加強筋，得到了最優(yōu)的加強筋布局。其中，優(yōu)化目標為結構在簡諧激振力下的輻射聲功率最小，約束為加強筋質量的上限。在輻射聲功率及其靈敏度分析中，對結構的振動響應使用有限元方法分析;對聲場使用邊界元方法分析，并忽略了加強筋外形對聲場的微小影響。

1 結構聲輻射分析

1.1 結構有限元分析

加筋板結構中的板件采用基于Mindlin板理論的平面殼單元模擬;加強筋采用Timoshenko梁單元模擬。通過對梁單元的剛度矩陣進行轉換，將梁單元節(jié)點偏置到與殼單元節(jié)點重合的位置。

在不考慮阻尼的情況下，結構在簡諧激勵作用下的動力學方程為:

其中:M，K分別是系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣，u，F(xiàn)分別是節(jié)點位移幅值向量和節(jié)點載荷幅值向量，ω為激振力頻率。

1.2 聲學邊界元分析

作為聲學邊界元方法的基礎，描述聲場的Helmholtz邊界積分方程為［9］:

其中，P點為任意位置的場點，Q點為聲介質邊界S上的源點，p表示聲壓，nQ為Q點處外法向單位矢量，vn(Q)為Q點振動法向速度，ρf為聲學介質密度。

G(P，Q)表示自由空間Green函數(shù):

C(P)為空間角系數(shù):

Ω表示場點P對聲學介質的空間角度。

為了對Helmholtz積分方程進行求解，將聲場邊界離散為若干單元，用插值形式來表示單元中的變量。在場點位于結構表面的情況下，離散后方程的矩陣形式為:

其中，p和vn分別為聲壓幅值向量和節(jié)點法向速度向量，H和G為影響系數(shù)矩陣。

當源點處于當前的聲場邊界積分單元時，積分會出現(xiàn)奇異性，本文采用將積分變換到極坐標系下的方法［9］對奇異積分進行處理。

1.3 結構－聲學系統(tǒng)分析

式(1)和式(5)構成了結構-聲學系統(tǒng)的耦合方程，一般可采用交錯迭代求解技術對該方程進行求解。但對于空氣這類密度很小的聲學介質，聲壓載荷對結構的作用與激振力相比可以忽略。這意味著可以只考慮結構對聲學系統(tǒng)的單向耦合。在這種情況下，先對結構在簡諧激勵下的響應進行有限元分析，解出節(jié)點處的振動位移響應;然后通過轉換關系得到聲固耦合界面處的法向速度，將其作為聲學邊界元分析的邊界條件對輻射聲場進行分析。

當耦合界面上有限元網(wǎng)格與邊界元網(wǎng)格重合時，耦合界面處的法向速度vn與結構的位移響應u有如下轉換關系:

其中:T為結構—聲學速度耦合矩陣。

1.4 輻射聲功率靈敏度分析

輻射聲功率表征振動結構在單位時間內向外輻射出的總聲能量，可表達為:

Re表示取實部，*表示取共軛。

對于離散的結構表面，總的輻射聲功率為各單元的輻射聲功率之和，單元內的聲壓和法向速度由插值得到。結合式(5)給出的聲壓與法向速度的關系可以得到:

其中H表示復共軛轉置，B為經(jīng)過上述代換后得到的矩陣。

當所涉及的設計變量不影響聲場的表面外形、激振力頻率和聲學介質屬性時，矩陣B與設計變量無關。在這種情況下，輻射聲功率對設計變量xj的靈敏度為［10］:

由式(1)和式(6)可知，結構速度響應對設計變量的靈敏度為:

2 優(yōu)化方法

2.1 基于SIMP插值模型的變密度法拓撲優(yōu)化方法

本文中的拓撲優(yōu)化問題實際上是對離散設計變量的0-1組合規(guī)劃問題，即確定基結構中加強筋的有(表示為1)與無(表示為0)。通過采用基于SIMP插值模型的拓撲優(yōu)化方法，將梁單元的偽密度xj這一連續(xù)變量作為設計變量，并引入懲罰因子對設計變量進行懲罰，使其向0和1兩端聚集。

SIMP插值模型如下:

其中，Ke，Me，xe分別為e號單元的SIMP插值剛度矩陣、插值質量矩陣和單元偽密度;K0和M0分別為給定參考材料下的單元剛度矩陣和單元質量矩陣。xe的取值范圍在0到1之間，當xe取1時表示該單元為充滿材料的固體單元，當xe取0時表示該單元為無材料的空洞單元。p(p≥3)和q(≥1)分別為剛度矩陣和質量矩陣的懲罰因子，一般取p=3，q=1。實際應用中為了保證數(shù)值計算的穩(wěn)定性和剛度矩陣的非奇異，通常限定xe≥xmin，xmin為一很小的值，比如 0.001。

SIMP插值模型下，單元剛度矩陣和質量矩陣對設計變量的偏導數(shù)為:

將單元矩陣組裝后即可得總體剛度和質量矩陣對設計變量的偏導數(shù)。

綜上所述，該優(yōu)化問題的模型可以表示如下:

其中，me為e號單元充滿材料時的質量，m0為所設定的質量上限，nE為設計域單元總數(shù)，取xmin=0.001。

在靈敏度分析的基礎上，采用MMA系列算法［11］中的MMA-GCMMA混合算法［12］對上述優(yōu)化問題進行求解。

2.2 針對加強筋拓撲優(yōu)化的靈敏度過濾方法

為了增強結構的可制造性，減少優(yōu)化構型中過短的加強筋，可進行靈敏度過濾［13］。計算公式為:

Rd為卷積因子:

其中，dist(e，q)為單元j和q中心點間的距離，r為過濾半徑。由于加強筋拓撲優(yōu)化的特殊性，計算時只記入與當前單元e在同一直線上的單元，即要求單元e和q在同一直線上。

3 算例及分析

加筋箱體的基結構模型如圖1所示，由梁單元模擬的加強筋覆蓋在基結構表面。箱體的長寬高均為0.5 m，板厚2 mm;加強筋截面為矩形，高10 mm，寬2 mm。板與加強筋的材料一致，其主要力學性能為:彈性模量E=2.1 ×1011Pa，泊松比 μ =0.3，密度 ρx=7 800 kg/m3。聲學介質為空氣，密度 ρf=1.225 kg/m3，聲速c0=340 m/s。箱體的底面四角固支，簡諧激振力垂直作用在箱體頂面中心，幅值為100 N，激振頻率為120 Hz。優(yōu)化的目標函數(shù)為結構輻射聲功率，設計變量為各個梁單元的偽密度，其初始值取為=m0/nE，(j=1，…，nE)。過濾半徑r取為當前單元長度的1.5倍。

涉及動力學的拓撲優(yōu)化問題中，常常會出現(xiàn)拓撲最優(yōu)結構不對稱的現(xiàn)象［1，4，12］。為了保 證最優(yōu)結構的對稱性，本文對設計變量施加了對稱約束。

在約束分別為加強筋質量不超過基結構中加強筋質量的 10%，12.5%，15%的情況下，優(yōu)化得到加強筋單元的最優(yōu)偽密度如圖2(a)-2(c)所示。

圖1 加筋箱體的基結構Fig.1 Ground structure of stiffened box

其中，白色梁單元的偽密度為0.001;黑色梁單元的偽密度為1;灰色梁單元的偽密度在上下限之間?？梢钥闯鼋^大多數(shù)單元的偽密度都在0/1附近。

在剔除低密度加強筋后，得到的最優(yōu)加強筋布局結構如圖3(a)-3(c)所示。

加強筋的最優(yōu)布局是結構的質量和剛度優(yōu)化配置的結果。顯而易見的是，結構在激振點附近的剛度得到了明顯提高，這對減小結構振動是有利的。

可以看出，隨著加強筋質量約束上限的提高，加強筋并不是單純的在原有基礎上進行增加，個別加強筋在約束上限提高后反而被剔除掉了。

以功率級表示輻射聲功率的大小，取參考聲功率為1 pW。不同質量約束下，箱體在以下四種情形下的輻射聲功率如表1所示:① 未加筋時的箱體，② 偽密度取初始值時的加筋箱體，③ 偽密度取最優(yōu)值時的加筋箱體，④ 剔除低密度加強筋后得到的加筋箱體。

圖2 不同質量約束下加強筋的最優(yōu)偽密度Fig.2 Optimal artificial density of stiffeners in different mass constraints

圖3 不同質量約束下最優(yōu)加強筋布局Fig.3 Optimal stiffeners layout in different mass constraints

表1 箱體在不同情形下的輻射聲功率(dB)Tab.1 Sound radiation power of box in different case(dB)

可見，把加強筋布置在最合適的位置，可以在質量約束條件下有效降低箱體的輻射聲功率，且加強筋越多，降噪效果越好。在實際中需要綜合考慮成本等因素來確定合理的質量約束條件，以取得降噪和成本的平衡。

剔除低密度單元后得到的加強筋布局實際上是對最優(yōu)偽密度向兩端取整的結果，故所得結構的剛度和質量分布與最優(yōu)解有細微差別，這導致噪聲水平相對最優(yōu)解有一定上升。但由于絕大多數(shù)單元的相對偽密度在懲罰因子的作用下趨近于兩端，故噪聲水平上升不大，取得了良好的降噪效果。

4 結論

本文提出了用變密度拓撲優(yōu)化方法確定加強筋位置布局的策略。通過從基結構中去除一定質量的加強筋，得到了在簡諧激勵下以質量上限為約束條件的聲輻射功率最小的加筋結構。從算例可以看出，該方法對結構的降噪設計是有效可行的。并且布置加強筋的方法便于用于結構的修改，同時還增加了結構剛度，這些特點使得本文提出的優(yōu)化方法便于應用到實際工程問題。

［1］Luo J H，Gea H C.Optimal stiffener design for interior sound reduction using a topology optimization based approach［J］.Journal ofVibrationandAcoustics， 2003， 125(3):267-273.

［2］Du J B，Olhoff N.Minimization of sound radiation from vibrating bi-material structures using topology optimization［J］.Struct Multidisc Optim，2007(33):305-321.

［3］Du J B，Olhoff N.Topological design of vibrating structures with respect to optimum sound pressure characteristics in a surrounding acoustic medium［J］.Struct Multidisc Optim，2010(42):43-54.

［4］杜建鑌，宋先凱，董立立.基于拓撲優(yōu)化的聲學結構材料分布設計［J］.力學學報，2011，43(2):306-315.

DU Jian-bin， SOMG Xian-kai， DONG Li-li. Design of material distribution of acoustic structure using topology optimization［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2011，43(2):306-315.

［5］劉寶山，趙國忠，王 劍.基于設計靈敏度分析的圓柱殼聲輻射優(yōu)化［J］.大連理工大學學報，2011，51(5):313-319.

LIU Bao-shan，ZHAO Gao-zhong，WANG Jian.Acoustic radiation optimization of cylinder shell based on design sensitivity analysis［J］.Journal of Dalian University of Technology，2011，51(5):313-319.

［6］楊德慶，柳擁軍，金咸定.薄板減振降噪的拓撲優(yōu)化設計方法［J］.船舶力學，2003，7(5):91-96.

YANG De-qing，LIU Yong-jun，JIN Xian-ding.Structural topology optimal design to reduce vibration and noise of thin plate［J］.Journal of Ship Mechanics，2003，7(5):91-96.

［7］Katsumi I，Masashi Y，Masahiko K.Optimum stiffener layout for the reduction of vibration and noise of gearbox housin［J］.Journal of Mechanical Design，2002，124(3):518-523.

［8］ Bendsoe M P，Sigmund O.Topology optimization:theory，methods and applications［M］.Berlin:Springer，2003.

［9］Gaul L，Kogl M，Wagner M.Boundary element methods for engineers and scientists:an introductory course with advanced topics［M］.Berlin:Springer，2003.

［10］Ciskowski R D，Brebbia C A.Boundary element methods in acoustics［M］.Southampton:ComputationalMechanics Publications，1991.

［11］ Bruyneel M，Duysinx P，F(xiàn)leury C.A family of MMA approximationsfor structuraloptimization［J］. Struct Multidisc Optim，2002，24(4):263-276.

［12］ Zuo K T，Chen L P，Zhang Y Q，et al.Study of key algorithms in topology optimization［J］.Int J Adv Manuf Technol，2007，32(7-8):787-796.

［13］ Sigmund O.On the design of compliant mechanisms using topology optimization［J］.Mechanics of Structures and Machines，1997，25(4):495-526.