孟陽君，周先雁

(中南林業(yè)科技大學(xué)，長沙 410004)

1 結(jié)構(gòu)動力可靠度分析及程序設(shè)計(jì)

結(jié)構(gòu)動力可靠度指結(jié)構(gòu)在隨機(jī)作用下、預(yù)定使用期內(nèi)、規(guī)定使用條件下結(jié)構(gòu)不發(fā)生失效的概率。動力可靠度理論是近年發(fā)展的隨機(jī)振動理論分支。其涉及問題難度較大，諸多基本問題尚未解決。而動力可靠度研究方法有首超破壞機(jī)制與疲勞破壞機(jī)制。

隨機(jī)過程x(t)與某一界限x=b交叉次數(shù)統(tǒng)計(jì)是首超破壞機(jī)制動力可靠性分析基礎(chǔ)。該問題由賴斯于1944年首次提出。

考慮x(t)以正斜率(dx/dt＞0)與界限x=b交叉，有:

考慮x(t)的負(fù)斜率(dx/dt＜0)交叉問題，有:

計(jì)算首次超越破壞機(jī)制的動力可靠性問題關(guān)健為計(jì)算首次超越時間Tf的概率分布函數(shù)。但即使最簡單情況-受平穩(wěn)白噪聲荷載作用的單自由度體系動力反應(yīng)過程，其首次超越時間Tf的精確解尚未找到，故退而尋找近似解，最簡單、最重要的當(dāng)屬泊松過程法。

對雙側(cè)界限x=-b2，x=b1，動力可靠度Ps定義為:

基于平穩(wěn)隨機(jī)過程，多自由度體系泊松過程法涉及的交叉次數(shù)期望值計(jì)算遠(yuǎn)比單自由度體系復(fù)雜，因此采用振型分解法(其優(yōu)點(diǎn)為在正交阻尼條件下，可將多自由度體系與無限自由度體系化為一系列廣義單自由度體系分析)。先需對結(jié)構(gòu)進(jìn)行隨機(jī)反應(yīng)分析。動力方程為:

用陣型分解法將式(4)變換為關(guān)于廣義坐標(biāo)振動方程，令:

通過變形可得結(jié)構(gòu)相應(yīng)的廣義剛度、廣義質(zhì)量、廣義荷載等參數(shù)，具體表達(dá)式略。據(jù)隨機(jī)過程理論，結(jié)構(gòu)廣義坐標(biāo)zi，zj間相關(guān)函數(shù)為:

式中:hi(t)為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。

通過整理分析得:

式中:Hi(ω)為傳遞函數(shù)或頻率響應(yīng)函數(shù)，與hi(t)為一對傅氏變換。

由此得結(jié)構(gòu)廣義坐標(biāo)與廣義力間互功率譜為:

由分析得多自由度第i質(zhì)點(diǎn)位移功率譜Sxi與方差為:

結(jié)構(gòu)振動第j陣型為:

多自由度第i質(zhì)點(diǎn)速度方差與加速度方差分別為:

求出各參數(shù)后，即可對結(jié)構(gòu)動力可靠度進(jìn)行求解:

基于以上理論，采用Fortran語言自編《PMDK動力可靠度分析程序》，分析流程見圖1。

圖1 PMDK動力可靠度分析程序流程圖Fig.1 Program flowchart for PMDK dynamic reliability analysis

2 車輛荷載分布概率模型

公路橋梁動力可靠度分析重點(diǎn)為確定荷載(效應(yīng))的統(tǒng)計(jì)特性。常采用對數(shù)正態(tài)分布或反正態(tài)分布對車輛荷載分布進(jìn)行擬合檢驗(yàn)。正、反兩種分布均屬單峰型分布，而實(shí)測車輛荷載卻出現(xiàn)多峰型分布特點(diǎn)，采用正、反兩種分布較難獲得滿意結(jié)果且不會通過K-S檢驗(yàn)。為準(zhǔn)確描述實(shí)際存在的多峰車輛荷載分布，本文用極值Ⅰ型、正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)的加權(quán)和各一擬合車輛荷載多峰分布累積分布函數(shù)。令f(x)為擬合所得密度函數(shù)，則有:

據(jù)已有數(shù)據(jù)，用參數(shù)擬合方法，設(shè)該車輛荷載多峰分布累計(jì)分布函數(shù)為:

式中:p1，p2，p3分別為極值Ⅰ型分布函數(shù)概率、正態(tài)分布函數(shù)概率及對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)概率，p1+p2+p3=1;α，β為極值Ⅰ型分布函數(shù)參數(shù);μ1，σ1為正態(tài)分布函數(shù)期望值、標(biāo)準(zhǔn)差;μ2，σ2為對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)期望值、標(biāo)準(zhǔn)差。

求解以上參數(shù)可采用無約束規(guī)劃求解方法，具體為:設(shè)實(shí)際累計(jì)分布函數(shù)與擬合累計(jì)分布函數(shù)滿足:

式(17)為無約束非線性規(guī)劃問題，通常采用牛頓法及變形方法、遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Levenbery-Marquardt法(簡稱LM法)等計(jì)算。本文采用LM法。據(jù)多元函數(shù)取極值必要條件，式(17)的無約束規(guī)劃問題等價于求解:

式中:θ=(p1，p2，p3，μ1，σ1，μ2，σ2，α，β)為未知參數(shù)向量。

LM法具體計(jì)算步驟如下:

(1)設(shè)初值θ0;

(2)對第k次迭代解θk，確定搜索增量dk，令:θk+1= θk+dk，若 θk+1符合給定的迭代終止原則，停止迭代，最優(yōu)解θ'=θk+1;否則轉(zhuǎn)(2)。

將f(θ)在 θk點(diǎn)做泰勒展開，保留到一次項(xiàng)，整理得:

式中:Df(θ)為雅克比矩陣:

為防止迭代矩陣Df(θk)TDf(θk)奇異或病態(tài)，LM法將式(19)修改為:

其中:I為單位陣，μk為阻尼因子，一般取0.01 ～0.0001之間。

通?？捎谩う萲‖＜ε或‖J(θk)‖＜δ作為LM法的終止迭代準(zhǔn)則，其中δ，ε為給定精度要求。也可確定最大迭代次數(shù)M作為終止條件。

圖2 車輛荷載概率分布Fig.2 Vehicular load probability distribution

據(jù)觀測數(shù)據(jù)，采用上述求解方法，得各參數(shù)分別為:α =0.056 8，β =24.17，μ1=125.24 kN，σ1=26.90 kN，μ2=5.455 856 kN，σ2=0.207 89 kN，p1=0.512，p2=0.283，p3=0.205，概率分布見圖 2。

3 試驗(yàn)分析

3.1 項(xiàng)目簡介

某橋?yàn)轭A(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)梁橋，跨徑80+116+80(m)，已安全運(yùn)營20余年。該橋設(shè)計(jì)荷載為公路Ⅱ級。由于重車激增，主體結(jié)構(gòu)暴露出不良病害。為確保大橋結(jié)構(gòu)安全與長期使用性能，對該橋進(jìn)行外觀檢測及靜、動載荷載試驗(yàn)。

3.2 試驗(yàn)及理論分析

300 kN載重試驗(yàn)車，分別以10 km/h、20 km/h、30 km/h、40 km/h、50 km/h五個不同車速沿橋中心線勻速行駛，測得中跨跨中部分加速度響應(yīng)及動應(yīng)變時程響應(yīng)曲線見圖3、圖4。

圖3 中跨跨中動應(yīng)變時程響應(yīng)圖(V=30 km/h)Fig.3 Dynamic strain Time-History response at center of midspan

圖4 邊跨跨中動應(yīng)變時程響應(yīng)圖(V=40 km/h)Fig.4 Dynamic strain Time-History response at center of side span

由圖3、圖4得各車速的實(shí)測沖擊系數(shù)見表1。由表1看出，沖擊系數(shù)與車速有關(guān)，且呈非線性關(guān)系。v=40 km/h所得最大沖擊系數(shù)較按規(guī)范［2］計(jì)算值1.292 2大 0.087 8。對加速度響應(yīng)信號進(jìn)行分析，得該橋(舊橋)阻尼系數(shù)為ξb=0.04。通過參數(shù)分析程序可得該橋截面抗彎慣性矩I、截面面積A等值。限于篇幅，僅列出中跨跨中截面I的特征參數(shù)見表1。據(jù)本文車輛荷載分布概率模型，計(jì)算得車輛荷載功率譜密度函數(shù)為:

表1 跨中實(shí)測沖擊系數(shù)及中跨跨中I值一覽表Tab.1 Actual impact coefficient and inertia moment at center of midspan

表2 大橋自振頻率及振型一覽表Tab.2 Natural frequency of vibration and modal for the bridge

對結(jié)構(gòu)進(jìn)行隨機(jī)過程分析時，模型參數(shù)采用經(jīng)荷載試驗(yàn)分析所得數(shù)據(jù)，動力可靠性分析以該橋有限元模型為基礎(chǔ)，采用《PMDK動力可靠度分析程序》計(jì)算。有限元模型共劃分276個單元，277個節(jié)點(diǎn)。為驗(yàn)證程序模態(tài)分析的可靠性，與ANSYS結(jié)果進(jìn)行對比表明，兩者結(jié)果完全一致。該橋振型及自振頻率見表2，計(jì)算獲得結(jié)構(gòu)不同位置限制位移的動力可靠度，見圖5。由圖5看出，對雙側(cè)界限以位移為限制條件下，大橋動力可靠度與位移方向有關(guān);大橋不同位置動力可靠度變化趨勢也不同。且撓度(UY)方向動力可靠度略高于轉(zhuǎn)動(ROTZ)方向。由圖5(a)看出，在相同位移限制條件下，大橋中跨跨中的動力可靠度高于邊跨跨中，與整體相同;圖5(b)看出，相同位移限制條件下，除兩邊跨跨中幾點(diǎn)外(此幾點(diǎn)動力可靠度不同于整體與其位移方向突變有關(guān))，大橋動力可靠度基本一致。

采用《PMDK動力可靠度分析程序》，設(shè)大橋阻尼從0變化到1.0，計(jì)算分析得結(jié)構(gòu)不同位置在限制位移條件下動力可靠度見圖6、圖7。

由圖6看出，限制位移條件下，邊跨UY動力可靠度增加幅度大于中跨，越靠近邊跨支點(diǎn)，增加幅度越大;此規(guī)律也適用于ROTZ動力可靠度;由圖7看出，大橋UY動力可靠度與阻尼比呈正相關(guān)關(guān)系，隨阻尼比的增大，邊跨跨中及內(nèi)支點(diǎn)左UY動力可靠度與阻尼比近似成二次拋物線關(guān)系，中跨跨中則成明顯對數(shù)關(guān)系;ROTZ動力可靠度與阻尼比間關(guān)系較復(fù)雜，內(nèi)支點(diǎn)近似成四次拋物線關(guān)系，邊跨跨中及中跨跨中則成六次拋物線關(guān)系，除個別點(diǎn)外，隨阻尼比的增大，動力可靠度逐漸減小。

圖5 大橋動力可靠度結(jié)果示意圖Fig.5 Results of dynamic reliability for the bridge

圖6 大橋不同位置的動力可靠度 ξb=0.0 ～1.0Fig.6 Dynamic reliability for the bridge with ξb=0.0 ～1.0 at different parts

圖7 大橋關(guān)鍵截面動力可靠度 ξb=0.0 ～1.0Fig.7 Dynamic reliability of the bridge’s key section with ξb=0.0 ～1.0

圖8 大橋彈性模量對關(guān)鍵截面的動力可靠度Fig.8 Influences of elastic modulus on dynamic reliability of the bridge’s key section

圖9 大橋不同位置動力可靠度 T=1.0 ～1000 Fig.9 Dynamic reliability for the bridge with T=1.0 ～1000 at different parts

圖10 大橋關(guān)鍵截面動力可靠度 T=1.0～1000 Fig.10 Dynamic reliability of the bridge’s key section with T=1.0 ～1000

大橋材料彈性模量對結(jié)構(gòu)可靠度影響較小，隨彈性模量的增大，大橋動力可靠度逐漸減小，見圖8。

隨時間的增加，大橋動力可靠度明顯下降，見圖9、圖10。由計(jì)算知，T=5時，大橋動力可靠度下降26.17%，T=10時，大橋動力可靠度下降49.48%，T=100時，大橋動力可靠度接近于0。結(jié)構(gòu)單側(cè)可靠度與雙側(cè)可靠度相差較小。

4 蒙特卡羅法分析

蒙特卡羅法(Monte Carlo)為具有獨(dú)特風(fēng)格的數(shù)值計(jì)算方法，廣泛用于求解隨機(jī)性不確定性問題。隨模擬次數(shù)的增加，該法計(jì)算結(jié)果會逐漸趨近精確解。因此在結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算中被認(rèn)為準(zhǔn)精確方法，而其它近似方法精度亦常用該法驗(yàn)證。蒙特卡羅法分析主要過程為:

(1)隨機(jī)變量取樣。設(shè)xi為已知分布特征的隨機(jī)變量，對可靠度分析中所遇正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布與極值Ⅰ型分布表達(dá)式為:

正態(tài)分布:

對數(shù)正態(tài)分布:

極值Ⅰ型分布:

其中:μx，σx分別為隨機(jī)變量均值、標(biāo)準(zhǔn)差，r1，r2為［0，1］上相互獨(dú)立均勻分布隨機(jī)數(shù)。

(2)結(jié)構(gòu)失效概率計(jì)算。據(jù)理論分析，要使計(jì)算達(dá)到一定精度，需滿足N≥4/(Pfε2)(Pf為預(yù)估計(jì)結(jié)構(gòu)失效概率，ε為相對誤差)。本文選擇N=1000 000，即達(dá)到10-4精度。

將隨機(jī)數(shù)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)數(shù)據(jù)，代入ANSYS有限元程序求解，結(jié)果表明，采用《PMDK動力可靠度分析程序》所得計(jì)算結(jié)果在10-4精度范圍內(nèi)完全準(zhǔn)確，部分計(jì)算結(jié)果見表3、表4，亦驗(yàn)證程序的可靠性。

表3 彈性模量變化UY動力可靠度計(jì)算結(jié)果Tab.3 Results of UY dynamic reliability with modulus of elasticity variation

表4 彈性模量變化ROTZ動力可靠度計(jì)算結(jié)果Tab.4 Results of ROTZ dynamic reliability with modulus of elasticity variation

5 結(jié)論

本文基于多自由度體系隨機(jī)過程分析振型分解法，推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)動力可靠度分析的相關(guān)參數(shù)計(jì)算公式，

用Fortran語言自編《PMDK動力可靠度分析程序》，并用蒙特卡羅法驗(yàn)證自編程序的可靠性。結(jié)論如下:

(1)采用無約束規(guī)劃求解方法，推導(dǎo)出車輛荷載概率分布模型參數(shù)求解方法。并結(jié)合具體觀測數(shù)據(jù)，獲得概率模型。

(2)結(jié)合某舊橋靜動載試驗(yàn)，采用參數(shù)分析獲得動力可靠度計(jì)算的相關(guān)數(shù)據(jù)，用《PMDK動力可靠度分析程序》計(jì)算該橋在實(shí)際車輛荷載作用下的可靠度，結(jié)果表明，動力可靠度與位移、不同截面位置有關(guān)，跨中動力可靠度高于邊跨;阻尼和彈性模量變化對大跨動力可靠度的影響為阻尼比增大，動力可靠度減小;而彈性模量變化影響可忽略。

(3)時間變化對大橋可靠度影響較大，時間越長，大橋動力可靠度下降越明顯;而結(jié)構(gòu)單側(cè)及雙側(cè)可靠度相差較小。

(4)用ANSYS有限元程序求解結(jié)果與用自編程序計(jì)算結(jié)果均在10-4精度范圍內(nèi)，表明自編程序計(jì)算完全準(zhǔn)確。

因沿橋梁軸線方向設(shè)有活動支座，沿軸向位移遠(yuǎn)大于撓度方向位移，故本文未考慮沿橋梁軸線方向動力可靠度。

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