黃德進(jìn)，王 驥，羅昕逸

(寧波大學(xué) 機(jī)械工程和力學(xué)學(xué)院，寧波 315211)

在通訊、導(dǎo)航、計(jì)算機(jī)技術(shù)和醫(yī)療設(shè)備等電子行業(yè)中，諧振器是不可或缺的頻率器件。最近十幾年發(fā)展起來(lái)的壓電薄膜體聲波諧振器(FBAR)［1-3］具有傳統(tǒng)的陶瓷介質(zhì)諧振器和聲表面波諧振器的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)又克服兩者的缺點(diǎn)，其工作頻率高(600MHz～20GHz)、溫度系數(shù)小、容量大、體積小和成本低。更重要的是，F(xiàn)BAR可以制作在陶瓷、硅片等基體上。其制作工藝能與半導(dǎo)體工藝兼容，是可以和射頻集成電路(RFIC)或單片微波集成電路(MMIC)集成的諧振器［4-5］。符合現(xiàn)代電子器件發(fā)展的方向，具有廣闊的發(fā)展前途。

FBAR是一種具有電極層、壓電層和支撐層等組成的層合結(jié)構(gòu)。在器件制作過(guò)程中，由于多層結(jié)構(gòu)中相鄰層材料的力學(xué)和熱學(xué)性能之間的差異，結(jié)構(gòu)中會(huì)不可避免地產(chǎn)生初應(yīng)力;另外，對(duì)于PZT陶瓷等脆性薄膜，為了防止其脆性斷裂往往要人為地使薄膜中存在預(yù)壓應(yīng)力。在薄膜體聲波器件設(shè)計(jì)和優(yōu)化中，常采用Mason模型和BVD模型效電路法，也采用解析法來(lái)研究［6-11］。迄今為止，還未見(jiàn)FBAR諧振特性受初始應(yīng)力影響的研究工作報(bào)道。本文研究了初應(yīng)力對(duì)理想FBAR在厚度拉伸模態(tài)下諧振特性的影響，討論了串聯(lián)和并聯(lián)諧振頻率、帶寬、機(jī)電耦合系數(shù)等重要參數(shù)與初應(yīng)力之間的關(guān)系。并給出了數(shù)值算例。

1 基本方程和問(wèn)題的解

本文研究的理想FBAR由一層壓電薄膜夾于兩層極薄的導(dǎo)體之間，導(dǎo)體的厚度、質(zhì)量和剛度均可以忽略不計(jì)，并設(shè)壓電層中的初應(yīng)力為常數(shù)。FBAR的厚度尺寸為2b，遠(yuǎn)小于長(zhǎng)度l和寬度w，因此可以作為厚度方向的一維問(wèn)題來(lái)處理。FBAR的幾何尺寸和坐標(biāo)系如圖1所示。

含初應(yīng)力的壓電彈性體三維運(yùn)動(dòng)方程［12］和電荷方程分別為:

圖1 FBAR的幾何尺寸和坐標(biāo)系Fig.1 The FBAR geometry and coordinate system

式中:Tij、ui、Di分別為應(yīng)力、位移和電位移，表示初應(yīng)力，ρ是密度，是位移對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)，i，j，k=1，2，3。應(yīng)變Sij和位移關(guān)系以及電場(chǎng)強(qiáng)度Ei與電勢(shì)φ之間的關(guān)系分別為，

壓電材料的本構(gòu)關(guān)系采用第四類壓電方程:

在厚度拉伸模態(tài)下，假設(shè)位移為:

式中:u(x3)為待定的表達(dá)式。這樣應(yīng)變?yōu)?

這樣，F(xiàn)BAR的本構(gòu)方程、運(yùn)動(dòng)方程和電荷方程分別簡(jiǎn)化為:

將式(6)代入式(8)，并利用式(2)1和(9)，可得:

式中:A、B為待定常數(shù)，ξ為波數(shù):

FBAR諧振時(shí)，由式(9)可得:

式中:D為常數(shù)。將式(11)、(13)代入(3)1，并注意到式(5)2，可得:

在諧振器質(zhì)心處，x3=0，u=0，代入式(11)可得B=0。FBAR上下表面為自由，其邊界條件為:

將式(14)代入(15)，可得:

將式(16)和B=0代入式(11)可得位移，由式(7)可得電場(chǎng)強(qiáng)度:

式中:S為電極的面積。這樣FBAR厚度拉伸振動(dòng)時(shí)的電阻抗可由式(18)和(19)得到:

再利用式(12)，可得:

當(dāng)阻抗為零時(shí)，此時(shí)的諧振頻率為串聯(lián)諧振頻率fs。由式(20)可知:

由式(23)可解得串聯(lián)諧振頻率fs。串聯(lián)諧振頻率與并聯(lián)諧振頻率之差為諧振器的帶寬。帶寬可以用下式近似來(lái)計(jì)算:

FBAR的有效機(jī)電耦合系數(shù)［13］為:

2 數(shù)值算例和討論

圖2 不同初應(yīng)力下的FBAR阻抗特性Fig.2 The impedance characteristics of FBAR under different initial stresses

圖2是理想FBAR的阻抗幅值、相位特性與初應(yīng)力的關(guān)系圖?？梢钥闯觯瑹o(wú)初始應(yīng)力時(shí)，其基波串聯(lián)諧振頻率為2.768 GHz，基波并聯(lián)諧振頻率為 2.839 GHz，帶寬為69.2 MHz，有效機(jī)電耦合系數(shù)為0.058 7。隨著初應(yīng)力的增加，串聯(lián)諧振頻率和并聯(lián)諧振頻率也會(huì)提高。諧振頻率與初應(yīng)力的關(guān)系可以進(jìn)一步由圖3給出。由式(22)可知，并聯(lián)諧振-初應(yīng)力曲線為拋物線，但曲線弧度不大，可用直線近似代替:

式中:fp0為初應(yīng)力為零時(shí)的并聯(lián)諧振頻率。帶寬與初應(yīng)力之間的關(guān)系由圖4給出。也是隨著初應(yīng)力的增加，帶寬越來(lái)越大，也近似線性關(guān)系。圖5為有效機(jī)電耦合系數(shù)隨初應(yīng)力的變化。有效機(jī)電耦合系數(shù)基本保持一個(gè)常數(shù)，與初應(yīng)力的變化沒(méi)有什么關(guān)系。

3 結(jié)論

本文研究了含初應(yīng)力的理想壓電薄膜體聲波諧振的振動(dòng)，給出了阻抗的表達(dá)式，討論了串聯(lián)諧振頻率、并聯(lián)諧振頻率與初應(yīng)力之間的關(guān)系，也討論了初應(yīng)力對(duì)帶寬和有效機(jī)電耦合系數(shù)影響。通過(guò)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，在各初應(yīng)力分量中，只有拉伸應(yīng)力分量會(huì)對(duì)FBAR厚度拉伸模態(tài)的諧振產(chǎn)生影響，其它分量不起作用。給出的數(shù)值算例表明，初應(yīng)力會(huì)提高諧振頻率和帶寬，初應(yīng)力與頻率、帶寬的關(guān)系可近似為線性關(guān)系。初應(yīng)力對(duì)機(jī)電耦合系數(shù)基本沒(méi)有影響。

圖3 FBAR諧振頻率與初應(yīng)力之間的關(guān)系Fig.3 The relationship between frequency and initial stress

圖4 FBAR帶寬與初應(yīng)力之間的關(guān)系Fig.4 The relationship between bandwidth and initial stress

圖5 有效機(jī)電耦合系數(shù)與初應(yīng)力之間的關(guān)系Fig.5 The relationship between effective electro-mechanical coupling coefficientand initial stress

［1］ Lakin K M，Wang J S.Acoustic bulk wave composite resonators［J］.Applied Physics Letters 1981，39(3):125-128.

［2］ Krishnaswamy S V，Rosenbaum J，Horwitz S，et al.Film bulk acoustic wave resonator technology［C］.IEEE Ultrason Symposium，1990，1(1):529-536.

［3］ Lakin K M.A review of thin-film resonator technology［J］.IEEE Microwave Magazine，2003，4(4):333-336.

［4］ Bradley P，Ruby R，Larson J D，et al.A film bulk acoustic resonator(FBAR)duplexer for USPCS handset applications［J］.Microwave Symposium Digest，2001，1(1):367-370.

［5］Aigner R.High performance RF-filters suitable for above IC integration:film bulk-acoustic-resonators(FBAR)on silicon［C］.IEEE Custom Integrated Circuits Confrence，2003，1(1):141-146.

［6］Huang，D J，Wang J，Du J K.The analysis of high frequency vibrations of layered anisotropic plates for FBAR application［C］. 2008 IEEE International Frequency Control Symposium，2008:204-208.

［7］Wang J，Liu J S，Du J K，et al.The calculation of electrical parameters offilm bulk acoustic wave resonatorsfrom vibrations of layered piezoelectric structures［C］.Proceedings of the 2009 IEEE International Ultrasonics Symposium，2009:2027-2030.

［8］Wang J，Liu J S，Du J K，et al.The analysis of film acoustic wave resonators with the consideration of film piezoelectric properties［C］.2nd International Conference on Smart Materials and Nanotechnology in Engineering，2009:388-391.

［9］ Wang J，Liu J S，Du J K，et al.The calculation of quality factor of film bulk acoustic resonators with the consideration of viscosity［C］.Proceedings of the Joint Conference of the 2009 Symposium on Piezoelectricity，Acoustic Waves，and Device Applications and China Symposium on Frequency Control Technology，2009:370-375.

［10］ Huang D J，Wang J.Analysis of the vibration of film bulk acoustic wave resonators based on Mindlin plate theory［C］.Symposium on Piezoelectricity，Acoustic Waves，and Device Applications，2011:328-331.

［11］ Huang D J，Wang J.Vibration analysis of layered film bulk acoustic resonators based on Mindlin plate theory［C］.Symposium on Piezoelectricity，Acoustic Waves，and Device Applications，2010:485-478.

［12］ Biot M A.Mechanics of incremental deformations［M］.John Wiley ＆ Sons，Inc，New York，1964.

［13］ Lakin K M，Kline G R，McCarron K T.High-Q micromicrowave acoustic resonators and filters［J］. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques，1993，41(12):2139-2146.