劉祖軍，楊詠昕，葛耀君

(1.華北水利水電學(xué)院 土木與交通學(xué)院，鄭州 450011;2.同濟(jì)大學(xué) 橋梁工程系，上海 200092)

橋梁顫振是由于氣動不穩(wěn)定性引起的一種自激發(fā)散振動，該振動現(xiàn)象一旦發(fā)生，將導(dǎo)致橋梁結(jié)構(gòu)整體的毀滅性破壞。因此大跨度橋梁結(jié)構(gòu)顫振問題的研究顯得非常重要。目前橋梁顫振機(jī)理的研究包括橋梁顫振理論和驅(qū)動機(jī)理、顫振分析方法和橋梁斷面氣動性能等諸多方面。國內(nèi)外眾多學(xué)者針對這些研究內(nèi)容展開了深入的研究。

Matsumoto用一種Step-by-step方法即分步分析的方法對不同寬高比的矩形斷面以及菱形、橢圓形、三角形等斷面的氣動導(dǎo)數(shù)和氣動阻尼進(jìn)行了風(fēng)洞試驗和理論研究［1-3］，并將斷面顫振按機(jī)理區(qū)分為四類:即耦合顫振、高速顫振、低速顫振和限速顫振。

楊詠昕等［4-6］在Matsumoto研究思路的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了二維三自由度耦合顫振分析方法，用該方法對平板，橋梁斷面和一些氣動措施的顫振機(jī)理進(jìn)行了研究。通過分析他指出，理想薄平板的經(jīng)典耦合扭彎顫振是由扭轉(zhuǎn)主運(yùn)動位移所產(chǎn)生的氣動升力激發(fā)起耦合豎向振動，耦合豎向運(yùn)動的速度產(chǎn)生的耦合氣動升力矩又反饋?zhàn)饔玫脚まD(zhuǎn)主運(yùn)動上的這樣一條激勵-反饋路線是導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散的主線。

Scanlan等［7］最早建立了橋梁顫振的多模態(tài)分析方法，并從能量觀點(diǎn)對橋梁的顫振穩(wěn)定性進(jìn)行了很有價值的研究，給出了在一個振動周期內(nèi)氣流沿橋梁斷面每延米輸入的總能量和結(jié)構(gòu)耗能的表達(dá)式，并闡述了氣流輸入到結(jié)構(gòu)中的能量不僅與彎扭位移的幅值有關(guān)，而且與彎扭位移間的相位差有著密切的關(guān)系，但是他在能量部分僅給出了一個理論框架，沒給出具體方法。

劉高［8］從結(jié)構(gòu)與氣流系統(tǒng)內(nèi)部能量平衡的觀點(diǎn)對系統(tǒng)的顫振進(jìn)行研究，發(fā)展了一種全橋多模態(tài)顫振能量分析方法，通過建立系統(tǒng)等效阻尼比與系統(tǒng)能量變化率之間的關(guān)系，推演了系統(tǒng)以及各階模態(tài)等效阻尼比的計算方法，并根據(jù)不同風(fēng)速下系統(tǒng)能量變化率來判斷系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性。

本文應(yīng)用激勵-反饋的分步分析方法對耦合顫振方程進(jìn)行解耦，并將耦合顫振運(yùn)動方程改造為能量方程形式，通過引入考慮阻尼影響的運(yùn)動方程形式，建立了結(jié)構(gòu)-氣流系統(tǒng)顫振能量機(jī)理的研究框架，詳細(xì)推導(dǎo)了振動系統(tǒng)內(nèi)部作用力輸入到系統(tǒng)振動能量的計算方法，結(jié)合平板風(fēng)洞試驗對比分析了顫振前和顫振臨界狀態(tài)下系統(tǒng)主要?dú)鈩恿Φ哪芰枯斎牒娃D(zhuǎn)換特性，研究了影響氣動能量輸入的主要因素，從能量轉(zhuǎn)換的角度對平板彎扭耦合顫振進(jìn)行了分析。

1 耦合顫振能量轉(zhuǎn)換分析框架

1.1 耦合顫振能量方程的建立

在僅考慮自激力作用情況下，具有豎彎和扭轉(zhuǎn)兩個自由度的橋梁斷面(圖1)在空氣中的運(yùn)動方程［9］可以寫為:

根據(jù)二維耦合顫振分析理論，應(yīng)用分步分析思路建立了如圖2所示的耦合顫振能量分析框架。

考慮到扭轉(zhuǎn)振動中含有豎向振動的頻率成分ωh，豎向振動中也含有扭轉(zhuǎn)振動的頻率成分ωa，因此假設(shè)扭轉(zhuǎn)振動和豎向振動均有兩種振動頻率成分的參與，故扭轉(zhuǎn)和豎向振動可表示為下式:

圖1 二維橋梁節(jié)段Fig.1 Two dimensional bridge-girder section

圖2 耦合顫振能量分析框架Fig.2 The energy analysis framework of coupled flutter

其中:α0(t)是振動頻率為ωa的扭轉(zhuǎn)運(yùn)動，α1(t)是豎向運(yùn)動激發(fā)的振動頻率為ωh的扭轉(zhuǎn)運(yùn)動;h0(t)是振動頻率為ωh的豎向運(yùn)動，h1(t)是扭轉(zhuǎn)運(yùn)動激發(fā)的振動頻率為ωa的豎向運(yùn)動。

假設(shè)扭轉(zhuǎn)主運(yùn)動α0(t)和豎向主運(yùn)動h0(t)的方程表達(dá)式如下:

根據(jù)分步分析思路，將式(3a)代入式(1a)中求解扭轉(zhuǎn)主運(yùn)動激發(fā)的豎向牽連運(yùn)動h1(t):

同理將豎向主運(yùn)動式(3b)代入式(1b)求解豎向主運(yùn)動激發(fā)的扭轉(zhuǎn)牽連運(yùn)動α1(t):

以上公式中的參數(shù)如下:

為了從能量角度考慮顫振過程中振動系統(tǒng)內(nèi)主要?dú)鈩恿ο到y(tǒng)能量的貢獻(xiàn)將顫振運(yùn)動控制方程改寫為能量運(yùn)動方程:

將上述的分析得到的a(t)和h(t)的表達(dá)式代入式(7)就可以分析顫振過程中氣動能量轉(zhuǎn)換機(jī)理以及氣動能量的輸入特性，便于從能量角度對顫振發(fā)生機(jī)理進(jìn)行探討。

1.2 扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)內(nèi)主要?dú)鈩恿ο蛘駝酉到y(tǒng)輸入的能量

式中的參數(shù):

式中的參數(shù):

2 平板扭轉(zhuǎn)振動能量分析

2.1 主要?dú)鈩恿Φ哪芰枯斎胩匦?/h3>

為盡可能接近理想平板，采用了寬高比為22.5的平板剛體節(jié)段模型，外形尺寸見圖3，模型基本參數(shù)如下:m=11.25 kg/m，Im=0.282 8 kg·m2/m，豎向圓頻率 ωh=12.11 rad/s，扭轉(zhuǎn)圓頻率 ωα=19.0 rad/s。平板氣動導(dǎo)數(shù)如圖4所示。試驗在同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實驗室TJ-1邊界層風(fēng)洞進(jìn)行，顫振臨界風(fēng)速經(jīng)測定為16.5 m/s。

應(yīng)用二維兩自由度耦合顫振分析方法對該平板進(jìn)行了顫振分析，導(dǎo)數(shù)采用了理想平板顫振導(dǎo)數(shù)如圖4所示，得到顫振臨界風(fēng)速16.0m/s，顫振圓頻率為15.6rad/s。

圖3 平板斷面(單位:mm)Fig.3 The model of plate(unit:mm)

圖4 平板的氣動導(dǎo)數(shù)Fig.4 Flutter derivatives of the plate

圖5 各項能量的百分比隨風(fēng)速變化關(guān)系Fig.5 The percentage of the energy vs the wind speed

圖6 A項能量的隨時間變化關(guān)系(U=16.0 m/s)Fig.6 Aerodynamic energy A vs time(U=16.0 m/s)

圖7 C項能量的隨時間變化關(guān)系(U=16.0 m/s)Fig.7 Aerodynamic energy C vs time(U=16.0 m/s)

圖8 C項能量的隨時間變化關(guān)系(U=11.9 m/s)Fig.8 Aerodynamic energy C vs time(U=11.9 m/s)

另一方面，隨著時間的推移，A1項消耗的能量越來越多，因此該項能量對系統(tǒng)的穩(wěn)定性起重要的作用。

圖9 各項能量占總能量的百分比隨風(fēng)速的變化關(guān)系Fig.9 The percentage of the energy vs the wind speed

圖10 A1項能量隨風(fēng)速的變化關(guān)系 (U=16.0 m/s)Fig.10 Aerodynamic energy A1vs time(U=16.0 m/s)

圖11 氣動剛度輸入振動系統(tǒng)能量的隨時間變化關(guān)系(U=16.0 m/s)Fig.11 The energy input to the vibration system by aerodynamic stiffness vs time(U=16.0 m/s)

3 結(jié)論

本文以二維耦合顫振理論為基礎(chǔ)，應(yīng)用激勵-反饋的分步分析方法對耦合方程進(jìn)行解耦，建立了結(jié)構(gòu)-氣流系統(tǒng)顫振能量機(jī)理的分析框架，通過引入考慮阻尼影響的初始運(yùn)動方程詳細(xì)推導(dǎo)了扭轉(zhuǎn)振動和豎向振動系統(tǒng)內(nèi)部各種作用力輸入到振動系統(tǒng)的能量計算方法，結(jié)合平板風(fēng)洞試驗分析了顫振發(fā)生過程中系統(tǒng)內(nèi)主要作用力的氣動能量輸入特性，從能量轉(zhuǎn)換的角度對平板彎扭耦合顫振的機(jī)理進(jìn)行了研究，通過上述的研究對平板彎扭耦合顫振的機(jī)理可以從以下幾個方面進(jìn)行闡述:

(2)在平板耦合顫振發(fā)生過程中扭轉(zhuǎn)氣動阻尼力與扭轉(zhuǎn)振動的速度方向始終是完全的反相位，隨著風(fēng)速的增加，平板的氣動導(dǎo)數(shù)的絕對數(shù)值不斷增大，從而使其耗能能力不斷增強(qiáng)，成為扭轉(zhuǎn)振動的最為主要的耗能因素。

［1］ Matsmnoto M，Yoshizumi F，Yabutani T，et al. Flutter stabilization and heaving-branch flutter.［J］Journal of WEIA，1999，83:289.

［2］ Matsumoto M.Flutter classification of briage girders［M］//Choi，C.K.，Solari，G.，Kanda，J.，eta1.Proceeding of the 1st international symposium on wind and structures for the 21St century.Chcju:Techno-Press，2000:39-79.

［3］Matsumoto M，Shirato H，Shijo R，et al.Flutter stabilization of long span bridges［M］∥ Choi C.K.，Kareem，A.，Matumoto，M.，eta1.Proceeding of the 2nd international symposium on advances in Wind＆structures Busan:Teehno-Press，2002:257-264.

［4］ Yang Y X，Ge Y J，Xiang H F.Coupling effects of degrees of freedom in flutter instability of long span bridges［M］//Choi，C.K.，Kareem，A.，Mastsurnoto，M.，eta1.Proceeding of the 2nd international symposium on advances in wind＆structures Busan:Techn-Press，2002:625-632.

［5］楊詠昕，葛耀君，項海帆.平板斷面彎扭耦合顫振機(jī)理研究［J］.工程力學(xué)，2006，23(12):2-8.

YANG Yong-xin，GE Yao-jun，XIANG Hai-fan.Research on the coupled bending-torsional flutter mechanism for thin plate sections［J］.Engineering Mechanics，2006，23(12):2-8.

［6］楊詠昕，葛耀君，項海帆.大跨度橋梁中央開槽顫振控制效果和機(jī)理研究［J］.土木工程學(xué)報，2006，39(7):74-80.

YANG Yong-xin ，GE Yao-jun，XIANG Hai-fan.Flutter control effect and mechanism of central-slotting for long-span bridges.［J］China Civil Engineering Journal，2006，39，(7):74-80.

［7］ Scanlan R H，Tomko J J.Airfoil and bridge flutter derivatives［J］.Journal of Engineering Mechanics Division，1971，97:1717-1737.

［8］劉 高.大跨度懸索橋顫振分析的能量法［J］.中國公路學(xué)報，2000，12(3):20-24.

LIU Gao，F(xiàn)lutter analysis of long-span suspension bridges by energy method［J］.China Journal of Highway and Transport，2000，12(3):20-24.

［9］ Scanlan R H.The action of flexible bridges under wind，I:flutter theory［J］.J.Sound and Vib，1978，60(2):187-199.