姚齊水 張 然 明興祖 楊 文

湖南工業(yè)大學(xué)，株洲，412007

0 引言

圓柱滾子軸承因其滾動體與滾道為線接觸、徑向承載能力和徑向剛度較高的特點，廣泛應(yīng)用于各類機械設(shè)備中。目前使用的圓柱滾子軸承的滾動體一般為實心圓柱滾動體（或外表面帶有一定凸度的實心圓柱滾動體）和空心圓柱滾動體（去掉實心圓柱滾動體中心部分的材料，將滾動體做成空心狀）兩種。從實際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)，實心圓柱滾子軸承存在傳動精度不高、振動噪聲大、高速和重載情況下容易損壞等不足，空心圓柱滾子軸承具備較高的傳動精度和振動性能等優(yōu)點，但受載空心滾動體處于周期性的交替變形狀態(tài)，空心滾動體的內(nèi)壁容易彎曲疲勞斷裂，因此，研制具有高精度、高轉(zhuǎn)速、高壽命的圓柱滾子軸承在工程上具有特別重要的意義。筆者根據(jù)組合創(chuàng)新的原理，在保留實心圓柱滾子軸承和空心圓柱滾子軸承優(yōu)點的基礎(chǔ)上，提出了一種全新的彈性復(fù)合圓柱滾子軸承，并申請了專利［1］。

軸承的剛度是軸承的重要參數(shù)之一，定義為軸承內(nèi)外套圈產(chǎn)生單位的相對彈性位移量所需要的外加載荷。剛度參數(shù)對整個系統(tǒng)的振動、噪聲、壽命有著非常重要的影響，研究彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的剛度十分必要。國內(nèi)外許多學(xué)者對實心圓柱滾子軸承和空心圓柱滾子軸承剛度的研究做了大量工作：Harris等［2］給出了點接觸和線接觸情況下軸承的接觸應(yīng)力分布和接觸變形公式；Erwin等［3］給出了計算線接觸圓柱滾子軸承彈性變形的近似公式；陳家慶等［4］利用曲梁理論推導(dǎo)出空心圓柱滾子軸承接觸變形公式；劉衛(wèi)群等［5］利用PSARB程序編寫的程序分析了滾動軸承的剛度；李偉健等［6－7］利用當(dāng)量彈性模量的分析方法推導(dǎo)出了空心圓柱滾子軸承的剛度計算公式?？紤]到彈性復(fù)合圓柱滾子軸承結(jié)構(gòu)上的特殊性，不能直接應(yīng)用上述的研究結(jié)論。本文將在分析計算彈性復(fù)合圓柱滾子軸承載荷分布的基礎(chǔ)上，利用有限元仿真的方法計算軸承的受載變形，結(jié)合剛度的定義，推導(dǎo)出彈性復(fù)合圓柱滾子軸承靜態(tài)徑向剛度的計算公式；再通過彈性復(fù)合圓柱滾子軸承剛度的計算，分析填充度、外載荷、滾子數(shù)三者對彈性復(fù)合圓柱滾子軸承剛度的影響規(guī)律，并和空心圓柱滾子軸承的剛度進行比較。

1 載荷分布［8］

彈性復(fù)合圓柱滾子軸承結(jié)構(gòu)如圖1所示。彈性復(fù)合圓柱滾子軸承是在空心圓柱滾子軸承的滾動體中嵌入聚四氟乙烯材料，用以改善滾動體內(nèi)壁的應(yīng)力狀態(tài)，減小內(nèi)壁彎曲疲勞應(yīng)力，提高承載性能［9］，延長軸承的安全服役壽命［8］。為了便于分析計算，作如下假設(shè)：①軸承內(nèi)外圈均為剛體，不發(fā)生變形；②所有的彈性變形均發(fā)生在滾動體上；③軸承外圈靜止，內(nèi)圈在外載荷作用下發(fā)生相應(yīng)的位移；④滾動體和內(nèi)部的填充物之間粘結(jié)良好，可看作一個整體結(jié)構(gòu)。

圖1 彈性復(fù)合圓柱滾子軸承結(jié)構(gòu)圖

軸承在承載過程中受接觸變形等原因的影響，不同位置的滾動體所承受的載荷和彈性變形都不同，所以研究在受載情況下的載荷分布具有十分重要的意義。如圖2所示，在不考慮徑向游隙的情況下，軸承在承受徑向載荷Fr時，內(nèi)圈中心從O點沿徑向移動到O′點，相對于外圈產(chǎn)生徑向位移δ。假設(shè)有一個滾動體的中心位于徑向負荷的作用線上，取最下面的滾動體編號為0，產(chǎn)生的彈性變形量為δ0（在徑向游隙為0的情況下δ0＝δ），從最下面的滾動體向兩邊依次給每個滾動體編號，則第i個滾動體上產(chǎn)生的理論變形量為δi。

圖2 彈性復(fù)合圓柱滾子軸承受徑向載荷時的載荷分布

式中，φi為第i個滾動體中心和外圈中心連線與徑向負荷作用線之間的夾角；N為軸承單邊接觸滾動體數(shù)。

根據(jù)軸承整體的受力平衡可得

變形協(xié)調(diào)方程如下：

式中，Z為滾動體總數(shù)；t為指數(shù)，線接觸時，t＝0.9。

聯(lián)立式（2）～ 式（5）并且代入式（1）可求得

其中，對于圓柱滾子軸承，有

通過式（6）可求得Q0的一個初始值，再代入式（1）～ 式（5）反復(fù)進行迭代運算，求得Q0的一個精確值，最后通過式（3）可求得彈性復(fù)合圓柱滾子軸承在承受徑向載荷時每個滾動體所承受的載荷。

2 接觸變形有限元仿真計算

根據(jù) GB／T4661－2002以及 GB／T283－2007來確定本文所要分析的彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的各項參數(shù)，如表1所示。

表1 彈性復(fù)合圓柱滾子軸承參數(shù)

應(yīng)用ABAQUS軟件進行有限元建模，根據(jù)上述假設(shè)①和假設(shè)②，不考慮內(nèi)外圈的接觸變形，利用文獻［7］中所用方法，將軸承內(nèi)外圈的彈性模量設(shè)置為206TPa（該彈性模量遠大于滾動體外圈彈性模量，接觸變形可忽略），泊松比為0.3?？紤]到軸承受力的對稱性和軸承的滾子數(shù)，在建立模型時，分別取1／20的軸承內(nèi)外圈和1／2的滾動體進行分析，在不影響計算結(jié)果的前提下，將內(nèi)圈的內(nèi)表面和外圈的外表面簡化為平面。采用單元類型為三維二次完全積分單元來對模型進行網(wǎng)格劃分。由于滾動體與內(nèi)外圈接觸區(qū)域的接觸半寬很小，容易產(chǎn)生應(yīng)力集中，將此區(qū)域網(wǎng)格進行局部細劃，而內(nèi)外圈基本不發(fā)生變形，對計算結(jié)果影響不大，此區(qū)域網(wǎng)格劃分相對較粗。在定義相互作用時，對滾動體外圈和內(nèi)部填充物施加綁定約束；而滾動體和滾道之間的接觸采取面面接觸，以內(nèi)外圈接觸面為主面，滾動體接觸面為從面，對內(nèi)外圈與滾動體之間分別設(shè)立接觸對。有限元分析模型如圖3所示。

圖3 彈性復(fù)合圓柱滾動體與內(nèi)外圈接觸有限元分析模型

邊界條件的設(shè)置在有限元的分析中起著非常重要的作用。工作過程中軸承外圈與軸承座之間不會發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，可視為固定，在外圈外表面添加所有自由度的約束；在模型的剖面處施加對稱約束；在內(nèi)圈的端面處施加軸向的約束。在內(nèi)圈的內(nèi)表面施加總和為Qi／2的均布載荷，內(nèi)圈在邊界條件和徑向載荷的作用下，只能沿著y軸方向移動，而這部分位移則會被滾動體和內(nèi)外圈的變形所吸收，即內(nèi)圈在y軸上的位移就是滾動體所產(chǎn)生的徑向變形量的大小。

3 剛度計算公式

軸承的徑向剛度是指軸承內(nèi)外套圈產(chǎn)生單位的相對彈性位移量所需的外載荷，軸承的徑向剛度等于軸承所受徑向載荷除以徑向變形，結(jié)合載荷分布公式可得

4 計算結(jié)果及分析

定義滾動體的填充度為k，k＝d／D，其中d為填充物的直徑，D為滾動體外圈的外徑。取不同徑向載荷和不同填充度的彈性復(fù)合圓柱滾子軸承，結(jié)合載荷分布公式以及彈性變形的有限元計算結(jié)果，對彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的徑向剛度計算結(jié)果如表2所示。

表2 不同填充度、不同載荷情況下彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的剛度值 MN／m

4.1 填充度對剛度的影響

填充度是影響彈性復(fù)合圓柱滾子軸承剛度的一個非常重要的因素，填充度過小則對軸承的接觸狀態(tài)和變形影響不大［10］，無法體現(xiàn)彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的優(yōu)勢，填充度過大則容易變形過大而產(chǎn)生破壞，本文取填充度從40%到70%的情況來分析。為分析方便，將表2的數(shù)據(jù)進行處理，結(jié)果如圖4和圖5所示。可以看出：在相同載荷情況下，隨著滾動體填充度增大，彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的剛度都是迅速減小的；填充度在40%到55%之間，隨著外載荷增大，軸承的剛度都有著明顯的增大趨勢；填充度在60%到70%之間，隨著載荷增大，軸承的剛度基本上變化不大，在70%時，剛度甚至趨近于一條水平線。

4.2 徑向載荷對剛度的影響

徑向載荷是另一個對軸承剛度影響很大的參素，從圖4和圖5中可以看出，徑向載荷對軸承剛度的影響是隨著填充度的不同而不同的。外載荷在30kN到100kN之間時，隨著填充度增大，軸承的剛度迅速減??；而當(dāng)徑向載荷等于10kN時，隨著填充度增大，軸承的剛度減小趨勢明顯變小。徑向載荷越小，隨著載荷增大，對軸承的剛度提升就越大；徑向載荷越大，隨著載荷增大，對軸承的剛度提升幅度就越小。

圖4 軸承剛度與填充度的關(guān)系圖

圖5 軸承剛度與徑向載荷的關(guān)系圖

4.3 滾子數(shù)對剛度的影響

由式（1）～式（6）可知，滾子數(shù)對軸承的載荷分布有著非常重要的影響，進而也影響著軸承的剛度值。表3表明，在相同外載荷和填充度的情況下，隨著滾子數(shù)增多，彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的靜態(tài)徑向剛度逐漸增大；填充度越小，滾子數(shù)的增加對軸承的剛度提升幅度越大，填充度越大，滾子數(shù)的增加對軸承的剛度提升幅度越小。滾子數(shù)越多，隨著填充度增大，軸承的剛度減小越明顯。

表3 Fr＝47.5kN時，不同滾子數(shù)、不同填充度情況下彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的剛度值 MN／m

4.4 和空心圓柱滾子軸承剛度比較

從表4不難發(fā)現(xiàn)，相同填充度和空心度（即針對空心圓柱滾子軸承的參數(shù)）的彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的剛度一直比空心圓柱滾子軸承大，填充度（空心度）越大，彈性復(fù)合圓柱滾子軸承和空心圓柱滾子軸承的剛度差越大。填充度為40%的彈性復(fù)合圓柱滾子軸承和空心度為40%的空心圓柱滾子軸承的剛度差小于1%，幾乎可以忽略；而填充度為70%的彈性復(fù)合圓柱滾子軸承和空心度為70%的空心圓柱滾子軸承的剛度差約為4%，已經(jīng)不能夠完全忽略。這是由于在填充度較小的時候，填充度所占的體積比較小，對軸承的剛度影響不大，隨著填充度增大，填充物所占的體積比越來越大，所承受的力越來越大，對軸承的影響也就越來越大。

表4 Fr＝47.5kN時，彈性復(fù)合圓柱滾子軸承和空心圓柱滾子軸承的剛度值比較 MN／m

5 驗證

彈性復(fù)合圓柱滾子軸承與實心圓柱滾子軸承僅在滾子內(nèi)部結(jié)構(gòu)方面存在差異，兩者與內(nèi)圈形成的接觸副的情況相似，可以將分析實心滾子軸承時建立的有限元模型用來分析彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的接觸問題［11］。反之，用與上述彈性復(fù)合圓柱滾子軸承有限元分析模型相似的方法對實心圓柱滾子軸承的接觸變形進行有限元分析；分析過程中設(shè)定相同的邊界條件，模型中的內(nèi)外圈材料和彈性復(fù)合圓柱滾子軸承分析時相同，實心滾動體的材料和彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的滾動體外圈相同。有限元分析模型如圖6所示。

圖6 實心圓柱滾動體與內(nèi)外圈接觸有限元分析模型

通過有限元計算得到了實心圓柱滾子軸承的受載變形的關(guān)系，并和帕姆格林經(jīng)驗公式［3］所求得的結(jié)果進行比較，所得結(jié)果如圖7所示。

由圖7可見，本文所用的有限元計算模型在計算實心圓柱滾子軸承接觸變形時所得結(jié)果與帕姆格林理論公式所求的結(jié)果基本接近，充分說明了本文所用的有限元計算模型用于計算軸承滾動體的接觸變形是比較可靠的，求解的精度也能符合計算的標(biāo)準(zhǔn)。

圖7 軸承實心圓柱滾子軸承接觸變形有限元計算值與理論值比較

6 結(jié)論

（1）填充度在40%到55%之間，隨著外載荷增大，軸承的剛度有著明顯的增大趨勢；填充度在60%到70%之間，隨著載荷增大，軸承的剛度基本上變化不大，填充度為70%時，軸承的剛度甚至趨近于一條水平線。

（2）外載荷較大，隨著填充度增大，軸承的剛度迅速減??；而當(dāng)外載荷較小時，隨著填充度增大，軸承的剛度減小趨勢明顯變小。外載荷越小，隨著載荷增大，對軸承的剛度提升就越大；外載荷越大，隨著載荷增大，對軸承的剛度提升就越小。

（3）填充度較小的情況下，滾子數(shù)的增加對軸承的剛度提升幅度比較大；填充度較大的情況下，滾子數(shù)的增加對軸承的剛度提升幅度比較小。

（4）相同填充度和空心度的彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的剛度一直比空心圓柱滾子軸承大，填充度（空心度）越大，彈性復(fù)合圓柱滾子軸承和空心圓柱滾子軸承的剛度差越大。

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