曾 波

（重慶工商大學(xué) 商務(wù)策劃學(xué)院，重慶 400067）

一、引 言

1982年中國(guó)著名學(xué)者鄧聚龍教授基于“灰箱”思想創(chuàng)立的灰色理論，是一種研究“小樣本”、“貧信息”不確定性問(wèn)題的新方法，主要通過(guò)對(duì)“部分”已知信息的生成和開發(fā)，提取有價(jià)值的信息，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行行為、演化規(guī)律的正確描述和有效監(jiān)控［1］?；疑A(yù)測(cè)建模技術(shù)是灰色理論的重要組成部分，目前已被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)、軍事等領(lǐng)域［2］。在應(yīng)用過(guò)程中，研究人員根據(jù)解決問(wèn)題的實(shí)際需要，不斷地對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型進(jìn)行拓展與優(yōu)化方面的大量研究，這些研究概括起來(lái)主要集中在：

第一，建模序列預(yù)處理方法研究［3－4］。通過(guò)緩沖算子弱化沖擊擾動(dòng)對(duì)模型構(gòu)造的影響；通過(guò)序列函數(shù)變換提高建模序列光滑度，從而優(yōu)化模型精度。

第二，模型參數(shù)優(yōu)化方法研究［5－6］。通過(guò)數(shù)學(xué)方法優(yōu)化模型初始值與背景值，從而優(yōu)化灰色預(yù)測(cè)模型建模參數(shù)a，b，提高模型模擬及預(yù)測(cè)精度。

第三，建模方法拓展研究［7－8］。以 GM（1，1）模型為基礎(chǔ)，根據(jù)實(shí)際情況對(duì)既有建模方法進(jìn)行拓展，比較有代表性的是離散灰色預(yù)測(cè)模型。

第四，建模對(duì)象拓展研究［9－10］。將灰色預(yù)測(cè)模型建模對(duì)象拓展至非等間隔序列以及從實(shí)數(shù)拓展區(qū)間灰數(shù)與離散灰數(shù)方面的研究。

第五，模型建模機(jī)理研究［11－12］。對(duì)建模序列灰色生成方法研究；模型穩(wěn)定性及產(chǎn)生病態(tài)性條件研究；模型建模條件與適用范圍研究等。

第六，其他相關(guān)研究［13－15］。包括將灰色預(yù)測(cè)模型與其他模型或方法進(jìn)行組合，從而構(gòu)建新預(yù)測(cè)模型方面的研究和模型誤差檢驗(yàn)方法研究等。

上述研究在較大程度上促進(jìn)了灰色預(yù)測(cè)建模技術(shù)的發(fā)展，但作為一種新的預(yù)測(cè)建模技術(shù)，其理論體系還有待于進(jìn)一步豐富和完善?？v觀灰色預(yù)測(cè)模型的既有研究成果，主要圍繞以“實(shí)數(shù)”為建模對(duì)象的經(jīng)典灰色預(yù)測(cè)模型、以“區(qū)間灰數(shù)”為建模對(duì)象的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型、以“離散灰數(shù)”為建模對(duì)象的離散灰數(shù)預(yù)測(cè)模型展開相關(guān)研究，對(duì)建模序列中同時(shí)包含“實(shí)數(shù)”及“區(qū)間灰數(shù)”等數(shù)據(jù)類型不一致的“灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)序列”，尚無(wú)有效建模方法和預(yù)測(cè)手段。基于此，筆者將對(duì)建模序列中同時(shí)包括“實(shí)數(shù)”及“區(qū)間灰數(shù)”的雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)建模方法展開研究，從而將灰色預(yù)測(cè)模型建模對(duì)象從“同質(zhì)數(shù)據(jù)”拓展至“異構(gòu)數(shù)據(jù)”。

二、基本概念

定義2 設(shè)＝（x1，x2，…，xn）為灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)序列，當(dāng) 中不同數(shù)據(jù)類型的個(gè)數(shù)為2時(shí)，則稱為灰色雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)序列；當(dāng) 中不同數(shù)據(jù)類型的個(gè)數(shù)為3及其以上時(shí)，則稱 為灰色多重異構(gòu)數(shù)據(jù)序列。

推論1 根據(jù)定義3可知，實(shí)數(shù)的“核”即為實(shí)數(shù)本身，信息域?yàn)?。

公理1 （灰度不減公理）兩個(gè)灰度不同的區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行和、差、積、商運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的灰度不小于灰度較大的區(qū)間灰數(shù)的灰度［16］。

根據(jù)公理1，可得如下兩個(gè)推論：

推論2 一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行和、差、積、商運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的灰度與區(qū)間灰數(shù)的灰度相同。

推論3 兩個(gè)信息域不同的區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行和、差、積、商運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的信息域不小于信息域較大的區(qū)間灰數(shù)的信息域。

三、模型構(gòu)建

!據(jù)序列X中較大的區(qū)間灰數(shù)信息域作為預(yù)測(cè)結(jié)果的信息域（根據(jù)推論3）；最后，結(jié)合定義3中的內(nèi)容，構(gòu)建雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)序列的灰色預(yù)測(cè)模型。

（一）雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)核序列的DGM（1，1）模型

將式（3）、（4）代人式（2），整理后最終可得如下齊次指數(shù)函數(shù)：

式（5）被稱為雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)“核”序列 DGM（1，1）模型的最終還原式，由于（β1－1）×＋β2為一常數(shù)，

（二）信息域的確定

根據(jù)推論3，通?？蓪㈦p重異構(gòu)數(shù)據(jù)序列中信息域較大的區(qū)間灰數(shù)的信息域作為預(yù)測(cè)結(jié)果的信息域。

（三）模型推導(dǎo)

聯(lián)立式（6）、（8）、（9）組合方程組得：

式（10）稱為單變量一階雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)灰色預(yù)測(cè)模型，為表述方便，后文簡(jiǎn)稱 DHGM（1，1）（Double Heterogeneous Grey Model）。

四、DHGM（1，1）模型與傳統(tǒng)DGM（1，1）模型的關(guān)系

DHGM（1，1）模型與傳統(tǒng) DGM（1，1）模型同屬灰色預(yù)測(cè)模型，二者的區(qū)別在于建模對(duì)象存在差異，前者為“灰色雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)”序列，而后者為“實(shí)數(shù)”序列。因?qū)崝?shù)序列是灰色雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)序列的一種特殊情況，故DHGM（1，1）模型是DGM（1，1）模型在建模對(duì)象方面的拓展與延伸，當(dāng)DHGM（1，1）模型建模序列中元素全部變?yōu)閷?shí)數(shù)時(shí)，DHGM（1，1）模型與傳統(tǒng) DGM（1，1）模型應(yīng)該具有完全相同的時(shí)間響應(yīng)式，本小節(jié)就對(duì)DHGM（1，1）與DGM（1，1）的這種關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)。

當(dāng)灰色雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)序列中的元素全部變?yōu)閷?shí)數(shù)時(shí)，由于實(shí)數(shù)屬于“白數(shù)”，信息完全已知，其灰度為0，故其信息域?yàn)?，即：

根據(jù)式（10）可知，當(dāng)預(yù)測(cè)對(duì)象的信息域?yàn)?時(shí)，可推出：

根據(jù)式（5）可知，式（11）即為 DGM（1，1）模型的時(shí)間響應(yīng)式?？梢姰?dāng)DHGM（1，1）模型建模序列中元素全部變?yōu)閷?shí)數(shù)時(shí)，DHGM（1，1）模型與DGM（1，1）模型具有完全相同的時(shí)間響應(yīng)式。傳統(tǒng)DGM（1，1）模型是DHGM（1，1）模型的一種特殊情況，只有當(dāng)建模序列中的元素均為實(shí)數(shù)這一特殊情況時(shí)才能被用于預(yù)測(cè)，而當(dāng)建模對(duì)象中的元素同時(shí)包含“實(shí)數(shù)”及“區(qū)間灰數(shù)”等數(shù)據(jù)類型不一致的灰色雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)序列時(shí)，就可使用DHGM（1，1）模型來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)。因此，DHGM（1，1）模型拓展了DGM（1，1）模型的應(yīng)用范圍，更具普適性。

五、模型應(yīng)用舉例

自然災(zāi)害的非常規(guī)性、突發(fā)性和不確定性，決定了救援機(jī)構(gòu)在較短時(shí)間內(nèi)難以采集到精確的大樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，單憑某一途徑所獲得的有限信息，難以實(shí)現(xiàn)對(duì)自然災(zāi)害發(fā)展趨勢(shì)的全面客觀認(rèn)識(shí)。在這樣的情況下，通過(guò)多源信息集結(jié)提高樣本數(shù)據(jù)可信度對(duì)災(zāi)害應(yīng)急救援具有重要作用，然而信息來(lái)源的多樣性往往造成集結(jié)信息數(shù)據(jù)類型不一致、不兼容，從而形成了包含不同數(shù)據(jù)類型的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)序列。地震發(fā)生后某藥品需求量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 某藥品在不同時(shí)點(diǎn)需求數(shù)量表

試根據(jù)表1，構(gòu)建灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)的DHGM（1，1）模型，并預(yù)測(cè)時(shí)點(diǎn)7的藥品需求數(shù)量。

在本例中，首先對(duì)表1中各個(gè)時(shí)點(diǎn)數(shù)據(jù)的“核”進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果構(gòu)成“核”序列；然后通過(guò)建立“核”序列的 DGM（1，1）模型，實(shí)現(xiàn)雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)“核”的預(yù)測(cè)；再以“核”的預(yù)測(cè)結(jié)果為基礎(chǔ)，以表1中較大的區(qū)間灰數(shù)信息域作為預(yù)測(cè)結(jié)果的信息域；最后應(yīng)用公式（10），即本文所研究的DHGM（1，1）模型，構(gòu)建基于區(qū)間灰數(shù)與實(shí)數(shù)的雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)序列地震藥品需求量預(yù)測(cè)模型。在此基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)點(diǎn)7藥品需求數(shù)量的預(yù)測(cè)。

步驟1“核”序列的計(jì)算及其 DGM（1，1）模型的構(gòu)建。

根據(jù)定義3，的核序列為：

根據(jù)式 （6），X（）的 DGM（1，1）模型還原式為：

其中β1＝1．203 5，β2＝54．717 9。核序列平均相對(duì)誤差Δ－＝0．462 4%，對(duì)照灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型的精度檢驗(yàn)等級(jí)參照表可知［16］169－190，模型的平均相對(duì)誤差小于1%，表明該模型可用于灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)核的預(yù)測(cè)。

步驟2 信息域的確定。

步驟3 模型的建立與預(yù)測(cè)。

根據(jù)式（10），構(gòu)建基于實(shí)數(shù)與區(qū)間灰數(shù)的DHGM（1，1）模型，如下：

根據(jù)式（12），預(yù)測(cè)時(shí)點(diǎn)7的藥品需求數(shù)量人數(shù)，即當(dāng)k＝6、預(yù) 測(cè)＝148．7、＾b6＝168．7，則∈［148．7，168．7］＝（a7＋b7）／2＝158．7。

六、結(jié) 論

灰色預(yù)測(cè)建模技術(shù)是灰色系統(tǒng)理論最重要的組成部分之一，是研究“小樣本”、“不確定性”問(wèn)題的常用方法。然而，目前灰色預(yù)測(cè)模型的既有研究成果，主要圍繞以“實(shí)數(shù)”為建模對(duì)象的經(jīng)典灰色預(yù)測(cè)模型、以“區(qū)間灰數(shù)”為建模對(duì)象的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型、以“離散灰數(shù)”為建模對(duì)象的離散灰數(shù)預(yù)測(cè)模型展開相關(guān)研究，對(duì)于建模序列中同時(shí)包含“實(shí)數(shù)”與“區(qū)間灰數(shù)”等數(shù)據(jù)類型不一致的“灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)序列”，尚無(wú)有效的建模方法和預(yù)測(cè)手段。鑒此，本文通過(guò)建立灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)“核”序列的DGM（1，1）模型，實(shí)現(xiàn)雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)“核”的預(yù)測(cè)；以“核”為基礎(chǔ)，以雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)序列中較大的區(qū)間灰數(shù)信息域作為預(yù)測(cè)結(jié)果的信息域，構(gòu)建了基于區(qū)間灰數(shù)與實(shí)數(shù)的雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)序列灰色預(yù)測(cè)模型，從而有效地將灰色預(yù)測(cè)模型建模對(duì)象，從“同質(zhì)數(shù)據(jù)”拓展至“雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)”，對(duì)豐富灰色預(yù)測(cè)模型理論體系具有積極意義。

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