黃 俊

（合肥工業(yè)大學(xué) 儀器與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引言

有很多應(yīng)用程序需要數(shù)字波形信號發(fā)生器，特別是在高精度測量領(lǐng)域，穩(wěn)定的正余弦波的發(fā)生是一個(gè)研究熱點(diǎn)。一個(gè)測量系統(tǒng)允許基于單一硬件平臺執(zhí)行許多函數(shù)，因此信號處理的高度可重構(gòu)是必須的。CORDIC算法，也被稱為Volder算法，首次應(yīng)用在袖珍計(jì)算器上，目前也較為廣泛地用于設(shè)計(jì)協(xié)處理器、建立離散傅里葉和余弦變換等數(shù)學(xué)處理上［1－4］。

1 CORDIC算法

CORDIC算法有兩種操作，即向量和旋轉(zhuǎn)模式。在向量模式中，坐標(biāo)（x0，y0）旋轉(zhuǎn)直到y(tǒng)0收斂到零；在旋轉(zhuǎn)模式中，初始矢量（x0，y0）開始與x軸對齊，每一個(gè)周期旋轉(zhuǎn)角度θi，所以n次迭代后獲得角θn。旋轉(zhuǎn)模式被用來近似正弦和余弦函數(shù)，其主要思想是采取一個(gè)一元向量連續(xù)旋轉(zhuǎn)，直至達(dá)到所需的角度。這個(gè)旋轉(zhuǎn)向量是一元的，所以當(dāng)經(jīng)過n次迭代之后將分別得到sinθn和cosθn，如果初始向量接近一固定值K，可以簡化這個(gè)過程。將初始向量定義為v0＝（x0，y0），經(jīng)過n次迭代后，向量（xn，yn）為：

在每個(gè)迭代中，向量執(zhí)行一個(gè)微旋轉(zhuǎn)θi，并得到新向量：

提取cosθi＋1，式（3）和式（4）可重新表述為：

為了能夠在硬件上方便實(shí)現(xiàn)，作如下約定：tanθi＋1的值為±2－i（其中i為整數(shù)）。所以基于此可將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)換成算術(shù)右移，且有cosθi＋1＝cos（arctan2－i），定義如下變量：

根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，cosα＝cos（－α）。所以式（5）、式（6）可以被轉(zhuǎn)化成：

如果執(zhí)行n次迭代，那么K的定義為每一個(gè)Ki連乘，即：

從式（9）和式（10）中可以看出，Ki可以被作為初始向量，v0＝（｜K｜，0）。微旋轉(zhuǎn)與K補(bǔ)償如圖1所示，最后的n旋轉(zhuǎn)，向量的長度為1，由于正余弦幅度值也為1，因此迭代之后可以將其看做是由正余弦部分組成。

圖1 微旋轉(zhuǎn)與K補(bǔ)償

作為向量初始化常數(shù)K，向量組件對于每次迭代都可簡化為：

在每次迭代中需要決定di＝1或di＝－1。為了作出判斷，考慮理想的角度和當(dāng)前角度差異，所以定義一個(gè)新變量：

為了判斷di的正負(fù)，使用下面的規(guī)則：

旋轉(zhuǎn)角度之和為：可以預(yù)先計(jì)算arctan2－i來避免在FPGA中實(shí)現(xiàn)反正切函數(shù)。當(dāng)i＝0時(shí)，20＝1，角度旋轉(zhuǎn)的收斂范圍在［－π／2，π／2］，初始值坐標(biāo)為（1，0）。設(shè)置初始z值為所需要值，經(jīng)過n級迭代后使得zn→0時(shí)，可以得到，從而實(shí)現(xiàn)正弦和余弦。

2 流水線架構(gòu)

CORDIC的實(shí)現(xiàn)過程不需要從內(nèi)存中調(diào)用正弦或者余弦值，而是通過一步步迭代來接近它的結(jié)果。在本文中，一個(gè)發(fā)生器需要連續(xù)計(jì)算正弦和余弦值，所設(shè)計(jì)的數(shù)字波發(fā)生器以CORDIC模塊為核心。圖2為CORDIC迭代，它主要由3個(gè)加法減法器和兩個(gè)算術(shù)移位器構(gòu)成，每個(gè)加法減法器關(guān)聯(lián)到一個(gè)變量向量的分量和累積的角，記做x，y，z。在CORDIC的迭代實(shí)現(xiàn)過程中，對于相應(yīng)的迭代，進(jìn)程控制模塊必須適應(yīng)移位過程的要求。第一次迭代只有一個(gè)移位的變化，而第二次將會有兩個(gè)或以上移位變化，圖2中的j表示移位次數(shù)。

2．1 流水線化

CORDIC流水線操作的實(shí)現(xiàn)使用的是基本的CORDIC模塊描述。流水線階段開始之后，每個(gè)脈沖都會獲得一個(gè)對應(yīng)的輸出，每個(gè)流水線階段都會花費(fèi)一個(gè)完整的脈沖來完成，如圖3所示，在CORDIC流水線化整個(gè)過程中寄存器都將被使用到。

圖2 CORDIC迭代

圖3 CORDIC流水線

由于第一次迭代時(shí)旋轉(zhuǎn)了arctan（20）＝45°，而旋轉(zhuǎn)角度總和在－π／2～π／2之間，這就使得當(dāng)所計(jì)算的角度絕對值大于π／2時(shí)，需要增加旋轉(zhuǎn)。如要實(shí)現(xiàn)輸出相位范圍為－π～π，就需要對其采取相應(yīng)變換。

2．2 角時(shí)序

CORDIC是給定一個(gè)角度來計(jì)算正弦和余弦的模塊，因此有必要給它一個(gè)時(shí)序的CORDIC收斂的角度范圍。它不是一個(gè)簡單的序列的角度，必須能夠由CORDIC改變頻率信號。鑒于CORDIC只有收斂于第一和第四象限，這就需要角度從0到π／2，然后從π／2到－π／2，最后從－π／2到0變化。為解決此問題，需要構(gòu)建一個(gè)鋸齒波發(fā)生器，它從0開始，增加其輸出值直到2n，一旦達(dá)到2n的信號，會從正最大值到最低負(fù)值，接著又會增加并且重復(fù)此循環(huán)。如圖4所示，鋸齒波需要變成一個(gè)三角波來適用于CORDIC模塊，三角波必須存在于第一和第四象限之中。鋸齒波的速度決定了正弦和余弦波的頻率，事實(shí)上，與三角波相比，正弦和余弦波將會有相同的頻率。

圖4 鋸齒波轉(zhuǎn)化為三角波

在CORDIC的流水線設(shè)計(jì)中所使用的模塊可在ALTERA系列中進(jìn)行硬件語言（VHDL）描述，并且在ModelSim軟件環(huán)境下進(jìn)行模擬?？蛇x用CycloneⅣGX系列EP4CGX22CF19C8芯片在QUARTUSⅡ軟件中進(jìn)行合成和實(shí)現(xiàn)架構(gòu)，并測試其速度和優(yōu)化面積。通過建立JTAG庫來執(zhí)行硬件聯(lián)合仿真和繪制正弦和余弦波圖形，合成后可以有效優(yōu)化速度，以滿足較高頻率的需要。

3 結(jié)論

本文描述了一個(gè)基于CORDIC流水線架構(gòu)的正弦和余弦波發(fā)生器。傳統(tǒng)的生成數(shù)字正弦和余弦波的方法有多種，例如計(jì)算表法，但是這種方法需要過多的內(nèi)存。相比于計(jì)算表法等方法，CORDIC算法不需要乘法或劃分區(qū)塊，而只需要加法減法器和移位寄存器，顯示了較好的優(yōu)越性，提供了一個(gè)非常好的替代選擇，該算法能比較有效地應(yīng)用于對低頻率信號的處理上。

［1］ 李滔，韓秋月．基于流水線CORDIC算法的三角函數(shù)器［J］．電子技術(shù)應(yīng)用，1999（6）：45－49．

［2］ 胡國榮，孫允恭．CORDIC算法及其應(yīng)用［J］．信號處理，1991，12（5）：229－242．

［3］ 鞠建波，別慶，杜愛國．基于CORDIC算法的QDDS的實(shí)現(xiàn)及精度分析［J］．電視技術(shù)，2007，47（1）：112－116．

［4］ Javier Valls， Martin Kuhlmann， Keshab K Parhi．Evaluation of CORDIC algorithms for FPGA design［J］．Journal of VLSI Signal Processing，2002，32（3）：207－222．