何成龍，涂興懷

（西華大學(xué)能源與環(huán)境學(xué)院，四川 成都 610039）

工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和有限元技術(shù)的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的，目的是使工程結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定，體積或材料分布達(dá)到最優(yōu)，使結(jié)構(gòu)在滿足剛度和耐久性等要求的同時(shí)，組件更加輕量化。工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化類型主要包括拓?fù)鋬?yōu)化、尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化等幾類。尺寸優(yōu)化作為工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化中最低層次的優(yōu)化類型，主要是通過調(diào)整結(jié)構(gòu)的幾何尺寸使構(gòu)件的結(jié)構(gòu)達(dá)到最優(yōu)。形狀優(yōu)化一般是對表面節(jié)點(diǎn)進(jìn)行較小的調(diào)整以減小局部應(yīng)力集中，常用于產(chǎn)品外形需要微調(diào)的情況。但無論是尺寸優(yōu)化還是形狀優(yōu)化往往都無法使結(jié)構(gòu)的性能達(dá)到最優(yōu)，為此人們開始研究拓?fù)鋬?yōu)化。拓?fù)鋬?yōu)化作為最高層次的優(yōu)化類型，開始于包含指定條件 （例如邊界條件和載荷）的初始設(shè)計(jì)，優(yōu)化分析過程在符合優(yōu)化約束 （比如最小體積或者最大位移）的前提下改變初始設(shè)計(jì)區(qū)域的單元密度和剛度，從而確定結(jié)構(gòu)新的材料分布形式。拓?fù)鋬?yōu)化相對于尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化而言具有更多的設(shè)計(jì)自由度，能夠獲得更廣闊的設(shè)計(jì)空間。拓?fù)鋬?yōu)化能使結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)階段減少設(shè)計(jì)次數(shù)，大大縮短設(shè)計(jì)時(shí)間，使開發(fā)和制造的成本得到最大節(jié)約。混凝土實(shí)體重力壩由于其施工簡單、方便取材和良好的耐用性等優(yōu)點(diǎn)得到廣泛應(yīng)用，但因其體積龐大使得筑壩材料耗費(fèi)巨大，因而體積的合理優(yōu)化對降低工程造價(jià)具有十分重要意義。

1 拓?fù)鋬?yōu)化的理論方法與應(yīng)變能優(yōu)化準(zhǔn)則

1.1 拓?fù)鋬?yōu)化的基本理論

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化來源于拓?fù)鋵W(xué)，它以材料分布為優(yōu)化對象，通過拓?fù)鋬?yōu)化可以在給定的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)空間內(nèi)找出最優(yōu)的材料分布。Optistruct是一個(gè)有限元結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化軟件，用于進(jìn)行概念設(shè)計(jì)和精細(xì)設(shè)計(jì)[1-2]。采用Optistruct軟件進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，能在提供的優(yōu)化方法中進(jìn)行多種響應(yīng)，比如靜態(tài)應(yīng)變能、體積或體積百分比和應(yīng)力應(yīng)變等。

1.2 拓?fù)鋬?yōu)化的基本方法

拓?fù)鋬?yōu)化分為離散體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化和連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，后者是結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域中的熱點(diǎn)，目前對于連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法的研究方法主要有均勻化 方 法 （Homogenization Method）[3]、 變 密 度 法（Variable Density Method）[4]、 漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法（Evolutionary Structural Optimization）[5]等。 其中， 均勻化方法和變密度法的研究相對較成熟，變密度法是在均勻化方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，但變密度法相對于均勻化方法來說，具有設(shè)計(jì)變量少、程序?qū)崿F(xiàn)簡單等優(yōu)點(diǎn)。

變密度法主要是通過描述材料的分布方式對結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，變密度法將單元的材料以一種假想的材料密度值作為設(shè)計(jì)變量，取值為0.0～1.0之間，其中0代表空，1代表實(shí)。這樣就可以定義一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式來表達(dá)密度和彈性模量間假定的函數(shù)關(guān)系，通過不斷調(diào)整結(jié)構(gòu)中材料的假想密度值，在目標(biāo)函數(shù)和約束前提下使密度與剛度能較好地匹配設(shè)計(jì)變量。變密度法通過引入懲罰因子對中間密度值進(jìn)行懲罰，使密度值向0.0和1.0兩邊界聚集，最終能使模型更好地逼近實(shí)體或空洞。

1.3 應(yīng)變能準(zhǔn)則

為了實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化，必須選擇收斂快速和計(jì)算簡便的優(yōu)化準(zhǔn)則，并且該優(yōu)化準(zhǔn)則能全面地考慮優(yōu)化模型的剛度或者柔度。對于一個(gè)安全的結(jié)構(gòu)，其剛度越大，安全性和穩(wěn)定性就越好。一般可以認(rèn)為應(yīng)變能是結(jié)構(gòu)剛度的倒數(shù)，通過刪減結(jié)構(gòu)中某些未能充分應(yīng)用的材料，使模型中結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能密度趨于均勻化，結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能達(dá)到最小，即結(jié)構(gòu)剛度最大，此時(shí)結(jié)構(gòu)達(dá)到最優(yōu)。

彈性體在受力后要發(fā)生變形，同時(shí)彈性體內(nèi)將積蓄能量，這種伴隨彈性形變的增減而改變的能量稱為應(yīng)變能。結(jié)構(gòu)的整體總應(yīng)變能為

式中，εTσ為微元結(jié)構(gòu)體內(nèi)存儲的應(yīng)變能密度；V為設(shè)計(jì)材料總體積。對系統(tǒng)離散，取出單元體分析，則對于平面任意一點(diǎn)應(yīng)力應(yīng)變分別為

式中，D為彈性矩陣且DT=D；ue為f作用下節(jié)點(diǎn)的位移列陣；Be為單元應(yīng)變矩陣。單元應(yīng)變能密度為

從應(yīng)變能出發(fā)研究結(jié)構(gòu)的性能特性相對于應(yīng)力、應(yīng)變等單一指標(biāo)來說更能夠全面的考慮結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力和應(yīng)變分量，且計(jì)算和分析都較方便?？梢詾檎麄€(gè)結(jié)構(gòu)的屬性或材料定義應(yīng)變能，如果應(yīng)用加權(quán)應(yīng)變能作為優(yōu)化響應(yīng)，還可以對整個(gè)結(jié)構(gòu)的屬性組或材料組定義應(yīng)變能，能夠全面反映不同屬性或者不同材料的組合結(jié)構(gòu)的性能指標(biāo)。

2 工程實(shí)例

2.1 工程概況

某實(shí)體重力壩，壩高100 m，上游校核洪水位95 m，下游水位10 m。作用荷載有壩體自重，上、下游水壓力，上游淤沙壓力。泥沙淤積厚度30 m，淤沙內(nèi)摩擦角14°，浮容重為8 kN/m3；揚(yáng)壓力折減系數(shù)0.25，排水孔距上游壩踵10 m；壩體混凝土彈性模量2.5×1010Pa，泊松比0.16，密度2 700 kg/m3；壩基巖體彈性模量2.9×1010Pa，泊松比0.3，密度2 600 kg/m3；混凝土與基巖間的摩擦系數(shù)取0.7，用抗剪強(qiáng)度公式計(jì)算壩體沿壩基的抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)Kf。

2.2 優(yōu)化思路及步驟

與傳統(tǒng)尺寸優(yōu)化不同，optistruct的拓?fù)鋬?yōu)化是根據(jù)模型的有限元分析數(shù)據(jù)設(shè)定響應(yīng)，按優(yōu)化目的將響應(yīng)賦為優(yōu)化目標(biāo)、約束、變量三要素，然后由優(yōu)化模塊進(jìn)行優(yōu)化。實(shí)例的具體拓?fù)鋬?yōu)化步驟如下：

（1）根據(jù)壩體資料，應(yīng)用實(shí)體重力壩設(shè)計(jì)原則設(shè)計(jì)理論壩體尺寸。

（2）應(yīng)用CAD軟件參數(shù)化建立初始模型，包括模型的高和壩底寬度，并將壩體分為拓?fù)鋮^(qū)和非拓?fù)鋮^(qū)。

（3）將模型導(dǎo)入hypermesh進(jìn)行前處理。施加上下游水位荷載、上游淤沙荷載、自重和揚(yáng)壓力荷載，在此不考慮浪壓力、風(fēng)壓力等其他影響小的荷載。

（4）在hypermesh中調(diào)出optistruct模塊，然后在模塊中設(shè)置拓?fù)鋬?yōu)化卡片，定義靜態(tài)應(yīng)變能、體積百分比、應(yīng)力為響應(yīng)，并進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。

（5）從優(yōu)化后的圖形結(jié)果中提取出特征點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)值擬合方法擬合壩體斷面，并對其進(jìn)行靜態(tài)分析。

（6）根據(jù)擬合壩體的靜力分析提取數(shù)據(jù)，包括最大壓應(yīng)力、上游拉應(yīng)力、壩體體積及應(yīng)變能等。

2.3 具體優(yōu)化步驟

（1）首先根據(jù)壩體基本資料，應(yīng)用實(shí)體重力壩設(shè)計(jì)原則設(shè)計(jì)理論壩體尺寸。根據(jù)SL 319—2005《混凝土重力壩設(shè)計(jì)規(guī)范》，設(shè)定壩體上游面為鉛直面，壩底寬80 m，壩頂寬10 m，下游坡比m=1:0.78。壩體的斷面面積為4 141.03 m2。對斷面進(jìn)行靜力分析，得到壩體抗滑穩(wěn)定性安全系數(shù)Kf=1.35，壩踵豎向應(yīng)力為-0.72 MPa，不存在拉應(yīng)力，壩趾豎向應(yīng)力為-1.87 MPa，未超過混凝土抗壓應(yīng)力，表明采用該理論設(shè)計(jì)符合重力壩設(shè)計(jì)規(guī)范。

（2）建立參數(shù)化優(yōu)化模型，根據(jù)壩頂寬度，將距大壩上游面10 m寬度區(qū)域定義為非拓?fù)鋮^(qū)，其余為拓?fù)鋮^(qū)，并設(shè)定初始壩堤寬76 m。上部是壩體區(qū)，下部是地基，地基上下游長度和高度均取壩高。

（3）建立有限元分析模型，并對模型劃分網(wǎng)格，根據(jù)多次模型試算，發(fā)現(xiàn)模型網(wǎng)格尺寸過小，優(yōu)化時(shí)會出現(xiàn)較嚴(yán)重的棋盤現(xiàn)象，而網(wǎng)格尺寸過大，在有限元分析時(shí)，得出的應(yīng)力分析不精確，因此最終劃分模型網(wǎng)格單元尺寸定為2 m×2 m的四邊形單元格，共9 000個(gè)。在模型的自重施加時(shí)應(yīng)說明：應(yīng)首先在optistruct中的LOAD卡片中設(shè)定荷載類型為GRAV，然后添加模型在豎向的重力加速度，重力加速度方向向下取-10 m/s2。

（4）設(shè)定優(yōu)化響應(yīng)，定義靜態(tài)應(yīng)變能最小為優(yōu)化目標(biāo)；體積百分比刪減率應(yīng)根據(jù)SL 39—2005《混凝土重力壩設(shè)計(jì)規(guī)范》中壩基的抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)Kf=f（∑W-U）/∑P反推出壩體的拓?fù)鋮^(qū)的理論刪除率應(yīng)小于62.27%，設(shè)定初始刪除率為50%；應(yīng)力約束，在optistruct拓?fù)鋬?yōu)化中只能定義全局應(yīng)力，定義最大豎向壓應(yīng)力為10 MPa。優(yōu)化后的拓?fù)淙鐖D1所示。

圖1 優(yōu)化后的拓?fù)?/p>

（5）提取下游面的特征點(diǎn)數(shù)據(jù)并進(jìn)行回歸擬合，由圖1知道，拓?fù)鋬?yōu)化后下游面呈上凸型曲線，所以壩體將按照傳統(tǒng)的直線壩形擬合、三次曲線壩形擬合和折線壩型擬合。傳統(tǒng)壩形下游直線方程為Y=-0.800 00X+76.000 00 （10≤X≤76）， 其相關(guān)系數(shù)的平方R2=0.990 00；三次曲線方程為Y=-0.000 17X3+0.01935X2-1.42575X+81.14336 （10≤X≤76）， 其相關(guān)系數(shù)平方R2=0.99700。折線擬合方程為Y=-0.670 00X+72.820 00 （10≤X≤46）， Y=-1.070 00X+91.220 00（46≤X≤76），其相關(guān)系數(shù)的平方R2=0.982 00。

（6）對擬合模型進(jìn)行靜力分析，得到 Y方向的應(yīng)力云圖，如圖2所示。并提取模型的位移、應(yīng)力等參數(shù)如表1所示。根據(jù)SL 319—2005《混泥土重力壩設(shè)計(jì)規(guī)范》規(guī)定，用有限元計(jì)算的壩基應(yīng)力，宜小于壩底寬度的0.07，或小于壩踵至帷幕中線的距離，本文取4 m寬處。對于豎向應(yīng)力，規(guī)定：壓應(yīng)力為負(fù)值，拉應(yīng)力為正值。

表1 擬合后壩體靜力分析數(shù)據(jù)

2.4 優(yōu)化結(jié)果分析

應(yīng)變能隨迭代次數(shù)的變化過程如圖3所示，拓?fù)鋮^(qū)體積變化率隨迭代次數(shù)的變化過程如圖4所示。

從表1中可知，對壩體斷面進(jìn)行3種不同的擬合，3種方式的最大Vonsimes應(yīng)力為均小于混凝土的最大破壞應(yīng)力；距上游4 m壩寬處的Y方向應(yīng)力均為負(fù)值，并未出現(xiàn)拉應(yīng)力；壩基抗剪斷安全系數(shù)Kf均大于規(guī)范中的1.1，因此可得該拓?fù)鋬?yōu)化模型均符合規(guī)范。3種壩形的斷面面積相對于初始斷面設(shè)計(jì)面積減小率分別為9.55%、10.07%、10.07%，可見優(yōu)化后的壩體斷面面積相對于初始斷面設(shè)計(jì)面積來說減小率是非常大的。從表中還可知道，當(dāng)壩體斷面擬合為三次曲線時(shí)，位移和豎向壓應(yīng)力均小于傳統(tǒng)斷面，證明下游壩面擬合為曲面時(shí)更有利，但是曲面在施工支模時(shí)存在一定困難，因此將下游壩面擬合成折線，發(fā)現(xiàn)壩趾處豎向壓應(yīng)力最小，并且各項(xiàng)參數(shù)符合規(guī)范要求，證明下游壩面擬合為折線是一個(gè)較好的優(yōu)化斷面。

圖2 擬合后壩體在Y方向的應(yīng)力云圖

圖3 應(yīng)變能隨迭代次數(shù)的變化過程

圖4 拓?fù)鋮^(qū)體積變化率隨迭代次數(shù)的變化過程

從圖3可知，隨著迭代步的不斷增加，模型應(yīng)變能在不斷減小，因此壩體的剛度在不斷增大，壩體穩(wěn)定性和應(yīng)力約束更加滿足設(shè)定要求。并且從圖中可以看出其主要的優(yōu)化迭代步驟在前幾步驟，這是因?yàn)閛ptistrcut中通過結(jié)構(gòu)響應(yīng)的設(shè)計(jì)敏度分析使迭代解不斷逼近優(yōu)化模型，使結(jié)構(gòu)優(yōu)化更加快速準(zhǔn)確。

從圖4可知，模型在優(yōu)化過程中不斷的調(diào)整拓?fù)鋮^(qū)的體積百分比，當(dāng)?shù)降?2次迭代步時(shí)優(yōu)化后的體積為全拓?fù)鋮^(qū)的43.31%，即刪除率為56.69%，小于62.27%，滿足初始設(shè)定約束。

3 結(jié) 語

本文以O(shè)ptistruct為平臺，采用拓?fù)鋬?yōu)化的變密度法，并結(jié)合應(yīng)變能優(yōu)化準(zhǔn)則對實(shí)體重力壩剖面進(jìn)行了優(yōu)化分析，結(jié)果表明：優(yōu)化后模型的應(yīng)力和安全系數(shù)等參數(shù)均滿足規(guī)范要求，進(jìn)一步說明了采用基于Optistruct拓?fù)鋬?yōu)化的方法對實(shí)體重力壩的斷面進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)是可行的。根據(jù)優(yōu)化后的數(shù)據(jù)進(jìn)一步對壩體斷面進(jìn)行傳統(tǒng)直線、三次曲線和折線3種不同方式的擬合，發(fā)現(xiàn)下游面擬合為折線時(shí)，壩址處豎向壓應(yīng)力最小，且參數(shù)可滿足規(guī)范要求。整個(gè)優(yōu)化過程從建模到優(yōu)化只需要2h左右，大大的縮短了設(shè)計(jì)周期，節(jié)約了設(shè)計(jì)時(shí)間和成本。

［1］張勝蘭，鄭冬黎，郝琪，等.基于Hyperworks的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2007.10.

［2］周傳月，騰萬秀，張俊堂，等.工程有限元與優(yōu)化分析應(yīng)用實(shí)例教程［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.

［3］BENDSOE M P,KIJUCHI N.Generating optimal topologies in struc tural design using a homogenization method［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.1988,71（2）:197-224.

［4］BENDSOE M P.Optimal shape design as a material distribution problem［J］.Structural and Multidisciplinary Optimization.1989,1（4）:193-202.

［5］XIE YM,STEVEN G P.A simple evolutionary procedure for structural optimization［J］.Computers&structures.1993,49（5）:885-896.

［6］SL 319—2005 混凝土重力壩設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.

［7］孫素敏，蘇志敏，谷俊芹，等.漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化在重力壩中的應(yīng)用研究［J］.科學(xué)技術(shù)與工程， 2009（11）:164-167.