王劍，譚守林，雷剛

(第二炮兵工程大學(xué)，陜西西安 701125)

0 引言

空間碎片是指除正常工作的航天器外所有在軌的人造物體，包括失效載荷、火箭殘骸、操作性碎片、由爆炸和碰撞產(chǎn)生的殘碎片、固體火箭的燃燒剩余物、核動(dòng)力衛(wèi)星泄漏的冷卻劑以及因航天器老化而脫落的表面材料和組件等［1］。自從1957年，前蘇聯(lián)發(fā)射第1顆人造衛(wèi)星Sputnik 1以來(lái)，已有50多個(gè)國(guó)家、地區(qū)和組織向太空發(fā)射超過(guò)4 000次，發(fā)射了近6 000個(gè)航天器，這些人造物體絕大部分在低地球軌道(low earth orbit，LEO)、太陽(yáng)同步軌道(sun synchronous orbit，SSO)和地球同步/靜止軌道(geosynchronous/geostationary orbit，GEO)區(qū)域內(nèi)，其中相當(dāng)一部分目前仍滯留在軌道上［2］，其中90%以上為空間碎片。目前被跟蹤的直徑超過(guò)10 cm的空間碎片數(shù)目已超過(guò)15 000個(gè)，據(jù)美國(guó)約翰遜航天中心最新研究表明，即使人類(lèi)再也不發(fā)射任何火箭，太空垃圾的數(shù)量還是會(huì)不斷增加［3］。由于空間碎片與空間飛行器的相對(duì)速度很高，因此具有很大的動(dòng)能，一旦空間碎片與空間飛行器發(fā)生碰撞，將給空間飛行器帶來(lái)很大的危害。遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈由于具有很高的軍事意義和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，其飛行高度可達(dá)1 200 km，并飛過(guò)空間碎片密集區(qū)，很有可能與空間碎片發(fā)生碰撞，因此有必要開(kāi)展遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈空間飛行安全的預(yù)警研究。

文獻(xiàn)［4］研究了彈頭在已知空間碎片分布密度下發(fā)生碰撞的概率，然而空間碎片的分布密度并不均勻而且計(jì)算非常復(fù)雜，目前國(guó)際上公布了直徑大于10 cm的空間飛行體軌道根數(shù)，因此可利用現(xiàn)有對(duì)空間碎片的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行碰撞預(yù)警，本文即是利用現(xiàn)有國(guó)際上的空間碎片觀測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)合導(dǎo)彈彈道展開(kāi)導(dǎo)彈飛行安全研究。

1 遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈和空間碎片運(yùn)動(dòng)預(yù)測(cè)模型

對(duì)遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈與空間碎片進(jìn)行碰撞預(yù)警，首先須對(duì)導(dǎo)彈及空間碎片位置進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過(guò)對(duì)導(dǎo)彈及空間碎片的運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行計(jì)算導(dǎo)彈與碎片的實(shí)時(shí)位置，并通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到同一坐標(biāo)系下，進(jìn)而通過(guò)碰撞規(guī)則進(jìn)行碰撞預(yù)警。

1.1 遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)模型

近地軌道空間碎片的壽命長(zhǎng)短與大氣密度有很大的關(guān)系，高度在200 km左右的航天器壽命只有幾天到幾十天［5］，因此可以認(rèn)為在200 km高度以下不存在空間碎片，撞擊只發(fā)生在200 km高度以上的空間。由于遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈的自由段起點(diǎn)和終點(diǎn)在200 km左右，為簡(jiǎn)便計(jì)算，本文假設(shè)撞擊發(fā)生在導(dǎo)彈自由段階段。

對(duì)于彈道導(dǎo)彈的被動(dòng)段，相對(duì)發(fā)射坐標(biāo)系的被動(dòng)段運(yùn)動(dòng)方程的矢量表達(dá)式為［6］

式中:X=CxdtqdtSmdt為彈頭阻力，其方向與v方向相反;g為地球重力加速度;為牽連慣性力;為柯氏慣性力。

導(dǎo)彈的被動(dòng)段動(dòng)力學(xué)方程為

式中:CxdtqdtSmdt為彈頭阻力，其方向與v方向相反;Cxdt為頭部阻力系數(shù);Smdt為頭部最大橫截面積;qdt為頭部速度頭;m=Gdt/為頭部質(zhì)量。

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

被動(dòng)段方程組為非線(xiàn)性變系數(shù)常微分方程組，在給定的初始條件和終端條件下，應(yīng)用數(shù)值積分方法可求出其數(shù)值解，從而獲得導(dǎo)彈被動(dòng)段運(yùn)動(dòng)參數(shù)。

1.2 空間碎片軌道預(yù)測(cè)模型

對(duì)空間碎片軌道的預(yù)測(cè)是進(jìn)行篩選和預(yù)警的基礎(chǔ)，目前主要有3種軌道預(yù)報(bào)方法:解析方法(普適攝動(dòng)法，general perturbation，GP)、半解析方法和數(shù)值方法(特殊攝動(dòng)法，special perturbation，SP)，其中解析法速度最快但精度比數(shù)值方法低［7］，為滿(mǎn)足快速篩選要求，本文可利用解析方法對(duì)空間碎片軌道進(jìn)行預(yù)測(cè)。

目前國(guó)內(nèi)常用的解析方法包括擬平均根數(shù)法和美國(guó)的SGP4/SDP4模型。北美防空司令部(north american air defense command，NORAD)開(kāi)發(fā)了用于傳輸開(kāi)普勒根數(shù)的兩行軌道根數(shù)(two line mean element，TLE)，美國(guó)航天司令部(USSPACECOM)計(jì)算了絕大部分公開(kāi)的兩行軌道根數(shù)，并由Goddard空間飛行中心(GSFC)發(fā)布，利用公布的TLE數(shù)據(jù)與SGP4/SDP4軌道計(jì)算模型，可以獲取較準(zhǔn)確的軌道預(yù)測(cè)［8-9］，本文即利用該模型對(duì)空間碎片軌道進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2 導(dǎo)彈與空間碎片碰撞預(yù)警模型

當(dāng)計(jì)算出導(dǎo)彈和空間碎片后將二者在同一時(shí)間的位置參數(shù)轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一坐標(biāo)系下后即可進(jìn)行碰撞預(yù)警建模。為了節(jié)省運(yùn)算時(shí)間，加快碰撞預(yù)警速度，需要對(duì)碎片進(jìn)行篩選并對(duì)預(yù)警模型進(jìn)行簡(jiǎn)化處理。

2.1 空間碎片篩選方法

目前美國(guó)公布的TLE數(shù)據(jù)超過(guò)15 000個(gè)，但如果按照一定的時(shí)間步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算是否會(huì)發(fā)生碰撞，則計(jì)算量相當(dāng)巨大，計(jì)算時(shí)間也很長(zhǎng)而無(wú)法滿(mǎn)足作戰(zhàn)情況下快速預(yù)警的要求，因此需要對(duì)空間碎片進(jìn)行篩選，只對(duì)那些對(duì)導(dǎo)彈有潛在威脅的空間碎片進(jìn)行預(yù)警計(jì)算，從而減少計(jì)算量節(jié)省預(yù)警時(shí)間。文獻(xiàn)［10-11］采用幾何篩選法以及地心距法對(duì)空間碎片進(jìn)行篩選，但由于導(dǎo)彈與衛(wèi)星等空間目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)不同，而且導(dǎo)彈由于發(fā)射時(shí)間的改變，其彈道在慣性坐標(biāo)系下是變化的，通過(guò)分析導(dǎo)彈飛行特點(diǎn)和空間碎片軌道特性，可采用基于近地點(diǎn)的篩選方法、基于軌道傾角的篩選方法和基于導(dǎo)彈飛行時(shí)間的篩選方法等。

基于近地點(diǎn)的篩選方法原理為設(shè)碎片的近地點(diǎn)高度為Hd_min，導(dǎo)彈彈道的最高點(diǎn)為 Hm_max，如果滿(mǎn)足Hd_min＞Hm_max，則可認(rèn)為該碎片不可能與導(dǎo)彈發(fā)生碰撞，故可將其排除。

導(dǎo)彈是從發(fā)射點(diǎn)升到太空后回到目標(biāo)點(diǎn)，其軌跡不是一個(gè)閉合橢圓，因此可利用碎片軌道傾角進(jìn)行碎片篩選。其方法為計(jì)算導(dǎo)彈在200 km高度上彈道升弧段A和降弧段B地心系下坐標(biāo)，并計(jì)算該點(diǎn)與地心的連線(xiàn)與赤道面的交角θM1，θM2，如果碎片軌道傾角θd滿(mǎn)足:

則可認(rèn)為該碎片不可能與導(dǎo)彈發(fā)生碰撞，從而可將該碎片剔除。

基于導(dǎo)彈飛行時(shí)間的篩選方法的原理為:遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈空間在200 km高度飛行時(shí)間只有20 min左右，通過(guò)對(duì)空間碎片數(shù)據(jù)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，碎片最短周期在87 min左右，在導(dǎo)彈距離200 km高度升弧段時(shí)刻A(記為T(mén)MA)和降弧段時(shí)刻B(記為T(mén)MB)以及(TMA+TMB)/2時(shí)刻如果該碎片地心連線(xiàn)與赤道面的交角均小于導(dǎo)彈A，B點(diǎn)地心連線(xiàn)與赤道面交角，則將該碎片剔除。具體算法為分別計(jì)算空間碎片在TMA，TMB和(TMA+TMB)/2時(shí)刻的空間慣性坐標(biāo)系下位置PdA，PdB和PdC;并分別計(jì)算它們與地心的連線(xiàn)和赤道面的交角 θdA，θdB和 θdC，如果滿(mǎn)足式(6)，則可認(rèn)為該空間碎片不會(huì)與導(dǎo)彈發(fā)生碰撞，從而將其排除。

2.2 碰撞判據(jù)的確定

如果導(dǎo)彈與碎片的位置預(yù)測(cè)不存在誤差，則導(dǎo)彈是否會(huì)與碎片發(fā)生碰撞是明確的，但由于存在位置預(yù)測(cè)誤差，因此不能確定導(dǎo)彈與碎片是否會(huì)發(fā)生碰撞，只能給出碰撞的危險(xiǎn)程度，目前國(guó)際上用于碰撞預(yù)警的判據(jù)有BOX判據(jù)和碰撞概率判據(jù)2種［12］。

BOX判據(jù)是20世紀(jì)90年代通常采用的碰撞判據(jù)，其本質(zhì)含義是統(tǒng)一考慮航天器與空間碎片的誤差，把位置誤差的分布平均化，當(dāng)碎片進(jìn)入航天器周?chē)腂OX區(qū)域以?xún)?nèi)時(shí)，表示會(huì)發(fā)生碎片與航天器的碰撞事件，否則不存在碰撞危險(xiǎn)，即把碰撞事件簡(jiǎn)化成0-1事件。例如美國(guó)航天飛機(jī)將航天器沿跡方向±25 km，垂直于沿跡方向及軌道平面的外法向±10 km作為預(yù)警區(qū)域，當(dāng)碎片進(jìn)入這一區(qū)域時(shí)即發(fā)出預(yù)警。

碰撞概率判據(jù)綜合考慮航天器和空間碎片各自的誤差，并把各自的誤差假設(shè)成正態(tài)分布模式，然后綜合考慮其他交會(huì)因素來(lái)計(jì)算碰撞風(fēng)險(xiǎn)。BOX判據(jù)具有普適性的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)任何軌道類(lèi)型和任何航天器均適用，但缺點(diǎn)是方法過(guò)于保守，誤警率很高;碰撞概率判據(jù)則針對(duì)BOX判據(jù)的缺點(diǎn)而提出的，能避免很高的誤警率，但其建立在大量誤差數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，對(duì)誤差數(shù)據(jù)的依賴(lài)程度很高，而且模型復(fù)雜，計(jì)算量較大。本文旨在研究導(dǎo)彈在空間碎片環(huán)境下的碰撞風(fēng)險(xiǎn)，為簡(jiǎn)化模型和快速計(jì)算，故采用球形判據(jù)，即設(shè)定危險(xiǎn)交會(huì)距離ΔL，當(dāng)導(dǎo)彈與碎片的距離小于ΔL時(shí)即可認(rèn)為存在碰撞危險(xiǎn)。

2.3 碰撞預(yù)警模型建立

文獻(xiàn)［11-12］采用了基于最小地心距的快速預(yù)警解析算法，但橢圓彈道理論由于沒(méi)有考慮地球旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的牽連慣性力和柯氏慣性力，因此計(jì)算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)彈道解算結(jié)果有一定偏差;運(yùn)用SDP4/SGP4解析模型計(jì)算的碎片位置也為離散點(diǎn)，所以解析算法并不適用于導(dǎo)彈與空間碎片的碰撞預(yù)警，因此本文建立了基于數(shù)值法的碰撞預(yù)警模型。

計(jì)算導(dǎo)彈和碎片位置并轉(zhuǎn)換到同一坐標(biāo)系下后，可進(jìn)行碎片篩選，然后可根據(jù)一定時(shí)間步長(zhǎng)進(jìn)行碰撞預(yù)警，依據(jù)上述分析，本文建立碰撞預(yù)警模型，其流程圖如圖1所示。當(dāng)導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)間確定后，以導(dǎo)彈在彈道升弧段200 km高度時(shí)刻為起始時(shí)刻，計(jì)算i時(shí)刻導(dǎo)彈位置后，分別計(jì)算危險(xiǎn)碎片的位置，并進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，根據(jù)2.2節(jié)中碰撞判據(jù)進(jìn)行碰撞風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算;計(jì)算完所有危險(xiǎn)碎片后以時(shí)間步長(zhǎng)ΔT進(jìn)行時(shí)間累加，直至彈道降弧段200 km高度時(shí)刻，仿真結(jié)束后輸出碰撞預(yù)警信息。

圖1 導(dǎo)彈與空間碎片碰撞預(yù)警流程圖Fig.1 Flow chart of impact alert between missile and space debris

3 仿真算例

本文利用2011年1月1日公布的空間碎片作為碎片仿真來(lái)源，共16 101個(gè);計(jì)算某遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈彈道，該彈道射程為8 516 km，彈道最高點(diǎn)距地1 039.235 km;設(shè)仿真時(shí)間步長(zhǎng)為0.5 s，危險(xiǎn)交會(huì)距離為10 km進(jìn)行仿真。

運(yùn)用上述碎片篩選模型，剔除不可能發(fā)生碰撞碎片9 479個(gè)，耗時(shí)5.4 s;設(shè)定某一發(fā)射時(shí)間后運(yùn)用碰撞預(yù)警模型進(jìn)行仿真，有3個(gè)碎片在危險(xiǎn)交會(huì)距離內(nèi)，共耗時(shí)2 903.15 s，其中最近交會(huì)距離為7 238.3 m，此時(shí)導(dǎo)彈距離地面高度為691.593 km，導(dǎo)彈與碎片的軌跡如圖2所示。

由于碎片在慣性坐標(biāo)系下軌道的軌道變化不大，而導(dǎo)彈由于地球自轉(zhuǎn)的原因當(dāng)發(fā)射時(shí)間改變時(shí)其飛行彈道在慣性坐標(biāo)系下會(huì)發(fā)生很大變化，所以當(dāng)發(fā)射時(shí)間改變時(shí)碰撞預(yù)警結(jié)果也不同，本文采用不同發(fā)射時(shí)間，取得碰撞預(yù)警結(jié)果如表1所示。

圖2 導(dǎo)彈與空間碎片軌跡交會(huì)圖Fig.2 Track figure for missile and space debris

表1 不同發(fā)射時(shí)間對(duì)應(yīng)交會(huì)信息Table 1 Information of across for different launch times

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)導(dǎo)彈彈道和空間碎片預(yù)測(cè)模型的分析，建立了遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈與空間碎片碰撞預(yù)警模型，仿真結(jié)果表明空間碎片對(duì)遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈的空間飛行安全造成比較嚴(yán)重的威脅。本文的研究成果可為導(dǎo)彈發(fā)射窗口選擇和導(dǎo)彈飛行安全預(yù)警提供理論支持。為簡(jiǎn)化預(yù)警模型，本文中危險(xiǎn)交會(huì)距離和步長(zhǎng)均為假設(shè)值，對(duì)此可展開(kāi)進(jìn)一步研究。

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