朱雪平，李東偉，王敬華

(防空兵學院，河南 鄭州 450052)

在研究地面防空系統(tǒng)作戰(zhàn)效能、地面防空作戰(zhàn)部署方案優(yōu)化和地面防空作戰(zhàn)資源需求等問題時，都必然涉及地面防空系統(tǒng)的服務(可射擊)概率問題。若采用解析算法計算地面防空系統(tǒng)的服務(可射擊)概率，排隊理論是人們通常選擇的方法。排隊理論(Queuing Theory)也稱隨機服務系統(tǒng)理論，是運籌學的重要內容，同時也是研究服務系統(tǒng)服務效率和服務系統(tǒng)最優(yōu)化的有效工具。20世紀初，丹麥數(shù)學家、電氣工程師A.K.Erlang把概率論方法應用于解決電話交換機呼叫問題，從而開創(chuàng)了這門應用數(shù)學學科。20世紀30年代中期，W.Feller引進了生滅過程，排隊論作為一門重要的學科才被數(shù)學界承認。20世紀50年代初，D.G.Kendall對排隊論進行了系統(tǒng)的研究，應用嵌入馬爾可夫(A.Markov)鏈方法研究排隊論，使排隊論得到了進一步的發(fā)展。

運用排隊理論計算地面防空系統(tǒng)的服務(可射擊)概率時，受抽象為隨機服務系統(tǒng)的簡化過程及計算模型自身的制約，可能使地面防空系統(tǒng)的服務(可射擊)概率計算結果大于實際結果。因此，將給防空兵指揮員和指揮機關一個過于樂觀的預期，影響指揮決策的準確性。因此，本文就采用排隊理論解算防空系統(tǒng)的服務(可射擊)概率的誤差問題進行討論。

1 地面防空系統(tǒng)服務(可射擊)概率問題的一般描述

地面防空系統(tǒng)服務(可射擊)概率，指一次戰(zhàn)斗中地面防空系統(tǒng)平均射擊的空襲兵器數(shù)量與來襲空襲兵器總數(shù)的比值。地面防空系統(tǒng)服務(可射擊)概率是評估地面防空系統(tǒng)作戰(zhàn)效能的重要指標，系統(tǒng)服務(可射擊)概率的取值直接制約地面防空系統(tǒng)的作戰(zhàn)效能，其值取決于空襲兵器的進襲強度、進襲條件和地面防空武器系統(tǒng)的戰(zhàn)術等。

若應用排隊論求解地面防空系統(tǒng)服務(可射擊)概率，必須將地面防空系統(tǒng)抽象為隨機服務系統(tǒng)。通常假定地面防空系統(tǒng)由同一型號防空武器系統(tǒng)構成，組成拒絕等待系統(tǒng)(低空近程防空武器系統(tǒng))或有限等待系統(tǒng)(中高空中遠程防空武器系統(tǒng))，抗擊以某種規(guī)律進入的空襲兵器的攻擊。

2 排隊論模型計算服務概率的誤差分析

2.1 非對抗性誤差

排隊論模型為非對抗性模型。因此，運用排隊理論解決地面防空系統(tǒng)服務概率有其先天不足的源由。

地空對抗是激烈的對抗活動，空襲方為達成空襲作戰(zhàn)目標，必須首先對地面防空系統(tǒng)實施壓制。按照美軍的空襲作戰(zhàn)要則［1］:在空襲作戰(zhàn)編隊中約有25%～40%的力量用于壓制對方的地面防空力量。根據(jù)空軍某研究所張學成總工搜集統(tǒng)計提供的資料［2］:在抗美援朝戰(zhàn)爭中，我志愿軍所屬高炮部隊日戰(zhàn)損率最高時達1.8%，整體戰(zhàn)損率為7%，被攻擊戰(zhàn)損率為13%;在援越抗美戰(zhàn)爭中，我高炮部隊的整體戰(zhàn)損率為4%，被攻擊戰(zhàn)損率為17%。第四次中東戰(zhàn)爭中，以色列參戰(zhàn)防空力量的整體戰(zhàn)損率為20%，日戰(zhàn)損率為1.1%;埃及參戰(zhàn)防空力量的整體戰(zhàn)損率為44%，日戰(zhàn)損率為2.4%;敘利亞參戰(zhàn)防空力量的整體戰(zhàn)損率為25%，日戰(zhàn)損率為1.4%。根據(jù)以上資料可知，在一次戰(zhàn)役(戰(zhàn)斗)中，地面防空系統(tǒng)被空襲兵器攻擊的戰(zhàn)損率大于10%。因此，構成地面防空系統(tǒng)的射擊單元(服務臺數(shù))數(shù)量隨戰(zhàn)斗進程不斷減少，而非固定不變的。

通過以上分析，可知:由于排隊論模型的非對抗性，將導致構成地面防空系統(tǒng)的射擊單元(服務臺數(shù))產(chǎn)生大于10%的誤差，引起所計算的地面防空系統(tǒng)的服務(可射擊)概率產(chǎn)生誤差。

2.2 忽略空襲兵器空間分布的誤差

排隊論模型以假定空襲兵器流在時間上的分布為基礎展開討論。判定地面防空系統(tǒng)對空襲兵器的服務(實施射擊)條件是:空襲兵器的間隔時間大于地面防空系統(tǒng)的服務時間。排隊論模型不考慮空襲兵器的空間分布(進襲條件)對地面防空系統(tǒng)的服務(可射擊)概率的影響，如空襲兵器進襲高度和進襲的航路投影捷徑等。實際上地面防空系統(tǒng)對空襲兵器的可射擊與否與空襲兵器的進襲高度和航路投影捷徑密切相關。

1)空襲兵器進襲高度的影響

地面防空系統(tǒng)由于受其可射擊高度的制約，并不能對進入系統(tǒng)的全部空襲兵器實施射擊。通常情況下，空襲方根據(jù)戰(zhàn)術要求，空襲兵器將從不同高度實施攻擊。蔣為民在《俄羅斯防空體系研究》一書中認為［3］:空襲兵器從高空實施攻擊的可能性約為10%，從中空實施攻擊的可能性約為20%，從低空超低空實施攻擊的可能性約為70%。美軍認為［2］:地面防空系統(tǒng)的全部武器，應能對低空超低空實施攻擊的空襲兵器進行射擊，其中25%的防空武器應能對中高空實施攻擊的空襲兵器進行射擊。從另一個側面表明了從中高空實施攻擊的空襲兵器約占空襲兵器重量的25%。也說明了美俄兩個軍事強國對空襲兵器在高度上分布的觀點是基本一致的。因此，如果地面防空系統(tǒng)由低空/超低空防空武器構成，則對于進入防空系統(tǒng)的空襲兵器應該有25%～30%是不能實施抗擊的。在極端的情況下，由于空襲兵器進襲高度的影響，將會導致計算結果產(chǎn)生25%～30%的誤差。

2)空襲兵器進襲航路投影捷徑的影響

地面防空武器系統(tǒng)受武器系統(tǒng)有效射程和必需的射擊時間的制約，有一個有效攔截半徑。比如ADKXX防空武器系統(tǒng)，其有效攔截半徑為6km。如果空襲兵器進襲的航路投影捷徑大于6km，則該防空武器系統(tǒng)不能對空襲兵器實施有效抗擊，即不構成可射擊條件。排隊論模型并不能考慮空襲兵器進襲的航路投影捷徑對地面防空系統(tǒng)可射擊概率的影響，認為:只要系統(tǒng)內的空襲兵器在時間上滿足可射擊要求，即可計入可射擊范疇。因此，航路投影捷徑也將導致計算的地面防空系統(tǒng)可射擊概率值大于實際結果。

空襲兵器進襲航路投影捷徑對地面防空系統(tǒng)可射擊概率的影響，取決于地面防空系統(tǒng)的戰(zhàn)斗部署、防空武器系統(tǒng)的有效攔截半徑和空襲兵器的進襲方式等。空襲兵器進襲高度和進襲航路投影捷徑的制約，都將導致應用排隊論模型計算的地面防空系統(tǒng)的服務(可射擊)概率偏大。

2.3 求取穩(wěn)態(tài)解的誤差

排隊論模型通過建立柯爾莫哥洛夫微分方程組求解地面防空系統(tǒng)服務(可射擊)概率。由于求解柯爾莫哥洛夫微分方程組的瞬時解比較困難，因此，將柯爾莫哥洛夫微分方程組變換為代數(shù)方程組后實現(xiàn)數(shù)值解。即排隊論模型最后給出的數(shù)值解是地面防空系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)條件下的結果。至于地面防空系統(tǒng)何時達到穩(wěn)定狀態(tài)，國內在這方面的研究成果較少。俄羅斯朱可夫防空軍事指揮學院(現(xiàn)名為俄羅斯空天防御軍事學院)編著的《防空作戰(zhàn)模擬與效能評估》［4］一書中指出:在單通道隨機服務系統(tǒng)中，瞬態(tài)過程在經(jīng)過2～4倍的平均服務時間會減弱，之后系統(tǒng)內出現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)。隨著系統(tǒng)中通道數(shù)的增加，瞬態(tài)過程會縮短，即系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)會提前出現(xiàn)。因此，在實際計算中通常認為:當系統(tǒng)的持續(xù)時間超過3倍平均服務時間，可以利用穩(wěn)定狀態(tài)的計算模型計算地面防空系統(tǒng)的服務(可射擊)概率。但由于防空作戰(zhàn)的特殊性和戰(zhàn)斗持續(xù)時間的短促性，其實很難使地面防空系統(tǒng)達到真正的穩(wěn)定狀態(tài)。從而導致計算誤差。

3 排隊論模型與作戰(zhàn)仿真方法計算結果的對比分析

3.1 條件設置

防空兵群由3個xx高炮營編成(服務臺數(shù)m=9)，掩護x炮兵群戰(zhàn)役實施過程中的對空安全，3個營間隔xxkm成等邊三角形配置，基本火力單位對一個目標的平均服務時間t為45s。假定作戰(zhàn)對象以戰(zhàn)斗轟炸機實施攻擊，空襲兵器進襲強度λ為x批/min，進襲方向服從主攻方向上的截尾正態(tài)分布，進襲速度在(200，400)區(qū)間內服從均勻分布，進襲高度是服從瑞利分布的隨機變量，其分布密度計算模型為

其中，μ依賴于戰(zhàn)斗轟炸機所處的進入、攻擊、退出狀態(tài)，參照戰(zhàn)場統(tǒng)計資料取值為2000m;航路投影捷徑dj是服從負指數(shù)分布的隨機變量，其分布密度計算模型為

其中，d0依賴于高炮的類型，根據(jù)經(jīng)驗與統(tǒng)計資料取值為1500m;作戰(zhàn)時間30min。

3.2 計算結果

xx高炮為小口徑高炮，故按拒絕等待系統(tǒng)處理，可射擊概率計算模型為

作戰(zhàn)仿真采用防空兵指揮學院研發(fā)的防空兵作戰(zhàn)指揮輔助決策系統(tǒng)提供的防空作戰(zhàn)仿真軟件計算，計算結果見表1。

表1 防空兵群可射擊概率計算結果

3.3 結果分析

從計算結果看，依據(jù)排隊理論計算結果和作戰(zhàn)仿真計算結果差別非常大。排隊理論計算結果，由于空襲強度數(shù)值小于服務臺數(shù)目，所以可射擊概率均在90%以上，而作戰(zhàn)仿真計算結果僅為30%左右。究其原因有4個:1)系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)目標概率約在90%左右，沒有發(fā)現(xiàn)的目標系統(tǒng)不能實施服務而產(chǎn)生誤差;2)防空兵群由小高炮武器系統(tǒng)構成，進襲目標高度大于XXXXm的比例約等于30%，防空兵群不能實施抗擊而產(chǎn)生誤差;3)防空兵群采用前三角部署樣式，空襲兵器主攻方向上只有一個營(三個服務臺)，其它兩個營(六個服務臺)在主攻方向兩側，根據(jù)模型計算，目標航路投影捷徑大于武器系統(tǒng)有效抗擊航路投影捷徑的約為35%，由于防空兵群不能實施有效抗擊而產(chǎn)生誤差;4)防空兵武器系統(tǒng)的戰(zhàn)損率影響了防空兵群的可射擊概率。誤差分析結果見表2。

4 結束語

地面防空系統(tǒng)的服務(可射擊)概率問題，是分析地面防空系統(tǒng)作戰(zhàn)效能、地面防空作戰(zhàn)部署方案優(yōu)化和地面防空作戰(zhàn)資源需求等相關問題時，必須涉及和解決的一個重要參數(shù)。采用解析法計算時，由于排隊論模型的局限性，將導致計算的地面防空系統(tǒng)的服務(可射擊)概率產(chǎn)生較大誤差。為此，應根據(jù)地面防空系統(tǒng)的主要特征，對模型計算結果進行合理修正，否則不利于防空兵指揮員和指揮機關正確定下戰(zhàn)斗決心。在可能的情況下，應采用作戰(zhàn)仿真的方法求取地面防空系統(tǒng)的服務(可射擊)概率。

表2 防空兵群可射擊概率計算結果誤差要素分析

［1］本書編寫組.航空兵戰(zhàn)術［M］.北京:空軍指揮學院，1992.

［2］張學成.地面防空效能與戰(zhàn)損［M］.北京:空軍裝備研究院，1994.

［3］蔣為民.俄羅斯防空體系建設研究［M］.北京:國防大學出版社，2002.

［4］來斌，牛存良，熊友齊，等.防空作戰(zhàn)模擬與效能評估［M］.北京:軍事科學出版社，2005.

［5］倪忠仁.地面防空作戰(zhàn)模擬［M］.北京:解放軍出版社，2001.

［6］湯少芳，郭有全.防空兵力部署中的排隊論分析［J］.彈道學報，2006，18(3):94-96.