李炎 唐剛 宋麗建 尋之朋 夏輝 郝大鵬

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院物理系,徐州 221116)

1 引言

滲流模型是處理強(qiáng)無(wú)序和隨機(jī)幾何結(jié)構(gòu)的十分有效的理論模型,它為處理無(wú)序系統(tǒng)中由于相互關(guān)聯(lián)程度的變化所引起的相關(guān)效應(yīng)提出了清晰、明確和直觀的理論方法[1].滲流模型目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)物理、凝聚態(tài)物理、生物學(xué)以及諸多工程技術(shù)領(lǐng)域,如被用來(lái)描述電阻絲網(wǎng)絡(luò)[2]、森林火災(zāi)[3]、疾病傳播[4]、生物進(jìn)化[5]以及社會(huì)影響力等[6].

對(duì)滲流的理論研究通常采用網(wǎng)絡(luò)模型.在一般的滲流過(guò)程中,各條鍵隨機(jī)獨(dú)立地被占據(jù),當(dāng)鍵的占據(jù)率達(dá)到一個(gè)與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān)的閾值pc時(shí),網(wǎng)絡(luò)中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)宏觀尺度的滲流集團(tuán),此時(shí)系統(tǒng)經(jīng)歷了一個(gè)連續(xù)相變,或者說(shuō)是二級(jí)相變.這種相變是隨機(jī)滲流的一個(gè)基本特征,它可以發(fā)生在任何存在滲流現(xiàn)象的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中[7],在本文中,將討論Erd?s Rényi(ER)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)[8]中的滲流過(guò)程.如圖1所示,ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)作為一種典型的無(wú)規(guī)則網(wǎng)絡(luò),其中的滲流過(guò)程可以描述為:從網(wǎng)絡(luò)中N個(gè)孤立的格點(diǎn)開(kāi)始,每一步以相同概率隨機(jī)地選擇兩個(gè)格點(diǎn),然后在這兩個(gè)格點(diǎn)間添加一條鍵,即每一步隨機(jī)占據(jù)一條鍵,這個(gè)過(guò)程依次重復(fù)進(jìn)行.假設(shè)某一時(shí)刻已經(jīng)有t條鍵被添加,將網(wǎng)絡(luò)中的鍵占據(jù)率p定義為p=t/N,同時(shí)將通過(guò)占據(jù)鍵相互連接起來(lái)的一系列格點(diǎn)形成的組分稱為集團(tuán),集團(tuán)尺寸則被定義為集團(tuán)中所包含的格點(diǎn)數(shù)目.對(duì)于ER網(wǎng)絡(luò),選取成對(duì)格點(diǎn)時(shí)對(duì)格點(diǎn)之間的距離并沒(méi)有限制,而只需要記錄隨時(shí)間變化的集團(tuán)尺寸分布.隨著鍵的添加,集團(tuán)之間相互合并,網(wǎng)絡(luò)中的最大集團(tuán)尺寸smax做動(dòng)態(tài)改變.將以上隨機(jī)過(guò)程中的集團(tuán)生長(zhǎng)模型稱為隨機(jī)生長(zhǎng)(random growth,RG)模型,在無(wú)限大尺寸極限下,對(duì)RG模型,當(dāng) p＜1/2時(shí),smax～logN;當(dāng)p＞1/2時(shí),smax～N,特別地,當(dāng) p略大于1/2時(shí),smax≈(4p?2)N,最大集團(tuán)尺寸在pc=1/2處經(jīng)歷了一個(gè)連續(xù)相變.

隨機(jī)滲流模型的相變幾乎都是二級(jí)[8,9]或者二級(jí)以上的[9,10],而Achlioptas等[11]則證實(shí),通過(guò)對(duì)ER網(wǎng)絡(luò)上具有連續(xù)相變性質(zhì)的RG模型進(jìn)行微小的動(dòng)力學(xué)修正,可以使其表現(xiàn)出一級(jí)相變特征,即發(fā)生不連續(xù)相變.如圖1所示,他們考慮每一步在添加單條鍵時(shí),首先隨機(jī)選擇兩條相互獨(dú)立的鍵(c1,c2),然后在確定的定則下留下其中的一條,舍去另一條.例如在最小乘積定則(product rule,PR)下,每一步總是留下使連接的兩個(gè)集團(tuán)的尺寸乘積最小的那條鍵,在圖1的情況中,鍵c2被留下,而舍去的鍵c1依然作為隨后某個(gè)時(shí)間步被占據(jù)的候選鍵.由于乘積定則優(yōu)先合并尺寸較小的兩個(gè)集團(tuán),網(wǎng)絡(luò)中集團(tuán)尺寸分布相對(duì)均勻,最大集團(tuán)的生長(zhǎng)受到一個(gè)強(qiáng)加的延遲,當(dāng)將要達(dá)到相變點(diǎn)時(shí),少數(shù)幾條鍵的添加就能導(dǎo)致最大集團(tuán)尺寸的急劇增加,這個(gè)過(guò)程發(fā)生的時(shí)間極短,類似于火山噴發(fā)或地震爆發(fā),因此就被稱為爆炸滲流相變.本文將最小乘積定則下發(fā)生爆炸滲流相變的模型稱為PR模型,以

max率差值表示相變寬度?/N,在無(wú)限大系統(tǒng)尺寸極限下,對(duì)RG模型,?/N→C,C為常數(shù);而對(duì)PR模型,?/N→0[11],這表明了兩種模型相變性質(zhì)的不同.

圖1 ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上的集團(tuán)演化示意圖

ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上表現(xiàn)出不連續(xù)相變特征的爆炸滲流相變,吸引了眾多研究者的極大興趣,并開(kāi)展了廣泛的理論研究[12?26].Ziff[12,13]通過(guò)把乘積定則引入二維正方形網(wǎng)絡(luò)同樣得到了爆炸相變;Radicchi等[14]和Cho等[15]則分別采用不同的構(gòu)造模型,分析了Achlioptas生長(zhǎng)過(guò)程下無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的滲流過(guò)程,發(fā)現(xiàn)當(dāng)度指數(shù)λ取值一定時(shí),無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)也會(huì)出現(xiàn)爆炸滲流現(xiàn)象.幾乎所有得到不連續(xù)爆炸相變的方法都集中于最大集團(tuán)的演化方式,在有的模型中,一些研究者試圖保持集團(tuán)尺寸的均勻分布[16],另一些研究者則是抑制處于集團(tuán)內(nèi)部的鍵的占據(jù)[17].此外,對(duì)于同一種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),在最小集團(tuán)定則[18]、近鄰邊定則及三角邊定則[19]的作用下,或者將文獻(xiàn)[11]中“兩鍵擇一”擴(kuò)展為“多鍵擇一”[20?22],均可以得到清晰的爆炸相變.然而,爆炸滲流相變是否為不連續(xù)相變近來(lái)卻一直處于爭(zhēng)議之中[23?26].其中,Grassberger等[23]討論了四種可以產(chǎn)生爆炸滲流的Achlioptas過(guò)程,根據(jù)測(cè)量的序參量分布,他們認(rèn)為即使在低維系統(tǒng)中,相變也可以是連續(xù)的.而da Costa等[26]則是提出了一個(gè)具有代表性的爆炸滲流模型,基于對(duì)集團(tuán)尺寸的計(jì)算,發(fā)現(xiàn)這種模型在滲流相變點(diǎn)處系統(tǒng)并沒(méi)有任何的不連續(xù)性.至此,爆炸滲流相變的特性問(wèn)題已經(jīng)成為統(tǒng)計(jì)物理學(xué)領(lǐng)域最具爭(zhēng)議和亟待解決的問(wèn)題.

為了進(jìn)一步探究Achlioptas過(guò)程下爆炸滲流模型的相變性質(zhì),本文將研究ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上Achlioptas機(jī)制下最初發(fā)生爆炸滲流現(xiàn)象的PR模型.通過(guò)對(duì)PR模型中表征滲流過(guò)程的基本物理量,包括序參量、平均集團(tuán)尺寸、二階矩、標(biāo)準(zhǔn)偏差及尺寸不均勻性的分析,并與RG模型的結(jié)果(研究發(fā)現(xiàn),在滲流相變點(diǎn)處該模型以上物理量都遵循作為連續(xù)相變基本特征的冪律標(biāo)度行為)比較,以此直觀地反映爆炸滲流現(xiàn)象的相變本質(zhì).在計(jì)算中,本文采用改進(jìn)了的Newman和Ziff算法以及有限尺寸標(biāo)度理論,對(duì)ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上Achlioptas過(guò)程下的PR模型進(jìn)行詳盡的數(shù)值分析.具體地,計(jì)算了各特征物理量隨鍵占據(jù)率p變化的分布特征,以及這些物理量在相變點(diǎn)處的臨界標(biāo)度行為,并同時(shí)給出RG模型的結(jié)果.通過(guò)對(duì)兩種模型標(biāo)度行為的比較分析,發(fā)現(xiàn)Achlioptas過(guò)程對(duì)滲流物理量的分布特征產(chǎn)生了顯著的影響,特別是序參量具有一級(jí)相變的特征,而各滲流物理量在相變點(diǎn)處卻表現(xiàn)出連續(xù)相變的冪律標(biāo)度行為,這表明PR模型中的爆炸滲流相變并不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的不連續(xù)相變,不連續(xù)特征和冪律標(biāo)度行為相互矛盾的結(jié)合使爆炸滲流相變成為了一種奇異相變.

2 數(shù)值計(jì)算方法

本文考慮的ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu),從標(biāo)記為i=1,···,N的N個(gè)格點(diǎn)開(kāi)始,每一條鍵都從網(wǎng)絡(luò)上所有可能存在的鍵中隨機(jī)選取.我們采用Newman和Ziff算法[27,28]對(duì)RG模型和Achlioptas過(guò)程下的PR模型進(jìn)行模擬,每個(gè)不同的集團(tuán)都用一個(gè)惟一的標(biāo)簽標(biāo)記,通過(guò)“并查”算法來(lái)合并集團(tuán).不過(guò)與常規(guī)Newman和Ziff算法所不同的是,我們對(duì)每條鍵都生成一個(gè)與連接的任意兩格點(diǎn)惟一相關(guān)的鍵值,這個(gè)值為[1,N(N?1)/2]內(nèi)的整數(shù),并用隨機(jī)選取的鍵值來(lái)代替Newman和Ziff算法中以隨機(jī)數(shù)生成的鍵占據(jù)順序,這樣既不影響結(jié)果的精度,又能提高常規(guī)Newman和Ziff算法的計(jì)算效率.選取尺寸分別為N=28,210,212,214,216,218,220的系統(tǒng)進(jìn)行集團(tuán)的動(dòng)態(tài)生長(zhǎng),統(tǒng)計(jì)平均次數(shù)在103—105,其中,Radicchi和Fortunato[29]在對(duì)ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的模擬中,鍵占據(jù)率只能處于0,1之間,而在我們的定義中,鍵占據(jù)率p的最大值為(N?1)/2.另外,在乘積定則下,當(dāng)選擇的一條鍵連接的是集團(tuán)內(nèi)部的兩個(gè)格點(diǎn)時(shí),如圖1中c3鍵,取這條鍵的權(quán)重為其所屬集團(tuán)的尺寸平方.

本文采用有限尺寸標(biāo)度理論[30]來(lái)分析滲流物理量在相變點(diǎn)處的標(biāo)度行為.有限尺寸標(biāo)度理論廣泛用于相變的數(shù)值分析,對(duì)連續(xù)相變,由于系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度在閾值pc處無(wú)限大,pc附近的每個(gè)物理量R都與系統(tǒng)尺寸無(wú)關(guān),并且

這里ω是一個(gè)臨界指數(shù).在一個(gè)尺寸為N的有限系統(tǒng)上,變量R在閾值附近具有下列標(biāo)度形式:

這里ν是表征關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度的臨界指數(shù),F是一個(gè)普適函數(shù).當(dāng) p=pc時(shí),R ～ N+(?)ω/ν,由此得以確定臨界指數(shù)比ω/ν.如果 pc,ω和ν都已知,通過(guò)做出RN?(+)ω/ν關(guān)于 (p? pc)N1/ν變化的函數(shù)曲線,可以得到普適函數(shù)F.由于F并不依賴N,所以對(duì)不同的系統(tǒng)尺寸,各條曲線能夠很好地塌縮到一條曲線上.

3 計(jì)算結(jié)果與討論

3.1 序參量

對(duì)無(wú)法定義自由能的非平衡問(wèn)題,相變類型仍然可以根據(jù)序參量來(lái)判定[31].若序參量在相變點(diǎn)處驟增,相變?yōu)橐患?jí)相變;否則,相變被標(biāo)識(shí)為連續(xù)相變.相比于規(guī)則網(wǎng)格,一般的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)并沒(méi)有滲流集團(tuán)的概念,在ER網(wǎng)絡(luò)這類隨機(jī)圖中,若用最大集團(tuán)來(lái)代替滲流集團(tuán),〈smax/N〉即表示通常的序參量滲流概率P∞.

圖2給出了不同系統(tǒng)尺寸下P∞隨占據(jù)率p變化的函數(shù)曲線,從左到右各條曲線分別對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)尺寸依次增加.由圖2可以看出,隨著系統(tǒng)尺寸的增加,RG模型的序參量一直保持平緩增長(zhǎng),而對(duì)PR模型,在較小尺寸時(shí),序參量呈現(xiàn)平緩增長(zhǎng),在較大尺寸時(shí),則呈現(xiàn)尖銳變化,出現(xiàn)爆炸滲流相變,并且不同系統(tǒng)尺寸下的序參量變化曲線在相變點(diǎn)附近交叉聚合為一點(diǎn).此外,當(dāng)系統(tǒng)尺寸增大到一個(gè)確定值時(shí),兩種模型的P∞-p曲線都完全重合為一條曲線,由此可以預(yù)測(cè)對(duì)于更大的系統(tǒng)尺寸,序參量都不再受有限系統(tǒng)尺寸的影響.以上計(jì)算結(jié)果說(shuō)明兩種模型的序參量在相變點(diǎn)處具有明顯不同的臨界行為,這就反映了最小乘積定則的引入確實(shí)改變了網(wǎng)絡(luò)中集團(tuán)的動(dòng)力學(xué)演化方式,在足夠大的系統(tǒng)尺寸下,當(dāng)達(dá)到相變點(diǎn)時(shí),相比于表現(xiàn)出連續(xù)相變的RG模型,PR模型中序參量在相變點(diǎn)處尖銳變化,表現(xiàn)出了一級(jí)相變的特征.

圖2 ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上P∞隨鍵占據(jù)率p變化的關(guān)系曲線,圖中從左到右各條曲線對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)尺寸N分別為28,210,212,214,216,218,220 (a)RG模型;(b)PR模型

圖3給出了RG模型和PR模型的序參量P∞在pc處隨系統(tǒng)尺寸N變化的雙對(duì)數(shù)關(guān)系曲線,這里RG模型和PR模型的滲流閾值pc分別取0.5和0.888.由圖3中相應(yīng)線性擬合直線的斜率可以得到各模型序參量的有限尺寸標(biāo)度指數(shù)比?β/ν.在誤差允許的范圍內(nèi),對(duì)RG模型,β/ν=0.326±0.004.事實(shí)上,對(duì)于不連續(xù)相變,有限尺寸標(biāo)度理論將不再適用,此時(shí),PR模型的序參量指數(shù)比β/ν應(yīng)為零.而根據(jù)我們的計(jì)算結(jié)果,對(duì)PR模型,序參量隨系統(tǒng)尺寸N以斜率β/ν=0.022±0.001的近乎平坦的曲線變化,這也和以上在相變點(diǎn)處觀察到的序參量急劇變化的現(xiàn)象相符合.這里PR模型中β/ν的微小性使得爆炸滲流相變很難與一個(gè)不連續(xù)相變相區(qū)分,但是其非零的數(shù)值又表明,對(duì)這種相變,表征連續(xù)相變特征的冪律標(biāo)度行為仍然存在,由此可以判斷PR模型中的爆炸滲流相變并不是標(biāo)準(zhǔn)的不連續(xù)相變.

圖3 ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上P∞(○)以及平均集團(tuán)尺寸S(□)隨系統(tǒng)尺寸N變化的雙對(duì)數(shù)關(guān)系 (a)RG模型;(b)PR模型

3.2 平均集團(tuán)尺寸

平均集團(tuán)尺寸可以描述系統(tǒng)中集團(tuán)尺寸的均勻程度,被定義為

其中,ns(p)為集團(tuán)尺寸分布函數(shù),上式求和不包括最大集團(tuán)的尺寸.

圖4給出了不同系統(tǒng)尺寸下RG模型和PR模型的平均集團(tuán)尺寸S隨鍵占據(jù)率p變化的函數(shù)曲線,從下到上各條曲線分別對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)尺寸逐漸增加.比較圖4中(a),(b)兩圖,可以清晰地觀察到,在相同的系統(tǒng)尺寸下,PR模型的平均集團(tuán)尺寸總要比RG模型大.這個(gè)結(jié)果表明對(duì)PR模型,由于集團(tuán)演化受到最小乘積定則的約束,使得網(wǎng)絡(luò)中最大集團(tuán)的尺寸并不明顯地比平均集團(tuán)尺寸大,各個(gè)集團(tuán)的尺寸能夠保持相對(duì)均勻.而RG模型中最大集團(tuán)以完全隨機(jī)的方式生長(zhǎng),由此導(dǎo)致在系統(tǒng)尺寸一定時(shí),Achlioptas過(guò)程的平均集團(tuán)尺寸與隨機(jī)過(guò)程差別顯著.

圖4 ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上S隨鍵占據(jù)率p變化的關(guān)系曲線,圖中從下到上各條曲線對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)尺寸N分別為28,210,212,214,216,218,220 (a)RG模型;(b)PR模型

滲流閾值pc處兩種模型的平均集團(tuán)尺寸S隨系統(tǒng)尺寸N變化的雙對(duì)數(shù)關(guān)系如圖3所示,圖3中相應(yīng)的線性擬合直線的斜率對(duì)應(yīng)平均集團(tuán)尺寸的有限尺寸標(biāo)度指數(shù)比γS/ν,RG模型和PR 模型的 γS/ν 分別為 γS/ν=0.339±0.002和γS/ν=0.482±0.004,由以上結(jié)果可知,對(duì)Achlioptas過(guò)程下的PR模型,其平均集團(tuán)尺寸同樣遵循連續(xù)相變的冪律標(biāo)度定律,并且由于定則的引入促進(jìn)了集團(tuán)尺寸的均勻分布,使得冪律關(guān)系中PR模型的標(biāo)度指數(shù)比稍大于RG模型的結(jié)果.另外,通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn),RG模型的β/ν和γS/ν的值近似滿足超標(biāo)度關(guān)系γS/ν+2β/ν=1[32],而在PR模型中這個(gè)關(guān)系卻不成立,這表明對(duì)于以PR模型為代表的一類爆炸滲流模型,盡管其特征物理量仍然滿足冪律標(biāo)度行為,但已經(jīng)與表現(xiàn)出連續(xù)相變的常規(guī)隨機(jī)滲流模型處于不同的普適類.

3.3 二階矩和標(biāo)準(zhǔn)偏差

在滲流模型中,將二階矩定義為M2(p)=∑ss2ns(p)=(1/N)2,其中si為第i個(gè)格點(diǎn)所屬集團(tuán)的尺寸.圖5給出了不同系統(tǒng)尺寸下M2(p)/N隨鍵占據(jù)率p變化的函數(shù)曲線.根據(jù)定義,二階矩又可以表達(dá)為M2(p)=(smax+S)·p,從以上關(guān)系看,M2(p)描述的是系統(tǒng)中總集團(tuán)尺寸的變化趨勢(shì).對(duì)照?qǐng)D5中的(a),(b)兩圖,在相同的系統(tǒng)尺寸下,兩種模型中的M2(p)/N隨鍵占據(jù)率p的增加都呈逐漸增大的趨勢(shì),所不同的是,隨著系統(tǒng)尺寸依次增加,隨機(jī)過(guò)程中RG模型的M2(p)/N一直保持平緩增長(zhǎng),而Achlioptas過(guò)程下PR模型的情況,則是從平緩到尖銳變化,此外,PR模型的各條曲線又一次在相變點(diǎn)附近交叉聚合為一點(diǎn).相同地,當(dāng)系統(tǒng)尺寸大于某一個(gè)確定值后,兩種模型的二階矩都不再受有限系統(tǒng)尺寸的影響.以上計(jì)算表明,PR模型中鍵添加方式的非隨機(jī)性也對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的總系統(tǒng)尺寸產(chǎn)生了顯著影響.當(dāng)系統(tǒng)尺寸足夠大時(shí),在滲流閾值附近,由于最大集團(tuán)尺寸的劇增,導(dǎo)致了二階矩曲線的驟變.類似于序參量的變化趨勢(shì),二階矩的這種特征再一次反映了爆炸滲流相變性質(zhì)的特殊性.

圖5 ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上M2(p)/N隨鍵占據(jù)率p變化的關(guān)系曲線,圖中從左到右各條曲線對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)尺寸N分別為28,210,212,214,216,218,220 (a)RG模型;(b)為PR模型

M2(p)/N在相變點(diǎn)pc處的標(biāo)度行為如圖6所示,以?γM/ν表示其有限尺寸標(biāo)度指數(shù)比.根據(jù)圖6中相應(yīng)的線性擬合直線的斜率,可得到RG模型中γM/ν=0.662±0.002,PR模型的計(jì)算數(shù)據(jù)也顯示遵從冪律行為,為γM/ν=0.122±0.001.說(shuō)明兩種模型在不同的鍵添加方式下,雖然PR模型的二階矩隨鍵占據(jù)率的改變表現(xiàn)出不同的分布特征,但是對(duì)二階矩標(biāo)度行為的計(jì)算中,連續(xù)相變中的有限尺寸標(biāo)度定律依然成立.

標(biāo)準(zhǔn)偏差χ為表征系統(tǒng)中最大集團(tuán)尺寸smax漲落大小的物理量,定義為

圖7給出了不同系統(tǒng)尺寸下標(biāo)準(zhǔn)偏差χ/N隨占據(jù)率 p變化的函數(shù)曲線.如圖7(a)所示,對(duì)RG模型,χ/N隨著系統(tǒng)尺寸的增加逐漸減小,而圖7(b)中PR模型的情況則是χ/N隨系統(tǒng)尺寸的增加逐漸增大,并且在無(wú)限大系統(tǒng)尺寸下,χ/N在相變點(diǎn) pc處驟增,其峰值為一個(gè)常數(shù).假設(shè)以?λχ/ν作為比標(biāo)準(zhǔn)偏差χ/N的有限尺寸標(biāo)度指數(shù)比,從χ的定義以及〈smax〉/N在 pc處的標(biāo)度行為,可以推導(dǎo)出λx/ν=β/ν.如圖6中所示,在RG模型中,χ(pc)/N 以N?0.321±0.003減小為零,即λx/ν=0.321±0.003,在誤差允許的范圍內(nèi),λx/ν≈β/ν,滿足推導(dǎo)關(guān)系.對(duì)于PR模型,系統(tǒng)尺寸足夠大時(shí),λx/ν近似為零,且χ/N的峰值達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值χ/N=0.265±0.002.這表明在定則的作用下,最大集團(tuán)的生長(zhǎng)受到強(qiáng)加的延遲,當(dāng)鍵占據(jù)率達(dá)到閾值時(shí),尺寸均勻的集團(tuán)之間通過(guò)合并,導(dǎo)致最大集團(tuán)的尺寸瞬間增加,尺寸漲落達(dá)到最大,并且不再受有限尺寸效應(yīng)的影響.同樣地,PR模型中χ/N在相變點(diǎn)pc處又一次表現(xiàn)出冪律標(biāo)度行為,且與其隨占據(jù)率p變化的分布特征相符合.

圖6 ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上M2/N(○)以及χ/N(□)隨系統(tǒng)尺寸N變化的雙對(duì)數(shù)曲線 (a)RG模型;(b)PR模型

3.4 集團(tuán)尺寸不均勻性

最近,Lee等[25]首次提出用集團(tuán)不均勻性H的概念來(lái)表征滲流相變,這里H被定義為不同集團(tuán)尺寸的數(shù)目.考慮集團(tuán)尺寸分布函數(shù)ns,當(dāng)p=0時(shí),所有的格點(diǎn)都是尺寸為1的孤立集團(tuán),分布函數(shù)ns具有單分散性,H=0;在亞臨界相,隨著p的增加,集團(tuán)之間相互合并形成更多尺寸不同的集團(tuán),集團(tuán)尺寸分布變得寬泛.進(jìn)入超臨界相后,有限尺寸的集團(tuán)逐漸被并入無(wú)限大集團(tuán),不同尺寸的集團(tuán)數(shù)目減少,H逐漸減小.因此可以預(yù)測(cè),H可能在滲流相變點(diǎn)附近達(dá)到一個(gè)最大值.Noh等[33]研究了d=2,3,···,6維的正方形網(wǎng)格和三角形網(wǎng)格中常規(guī)點(diǎn)滲流和鍵滲流的集團(tuán)不均勻性,并建立了它們的有限尺寸標(biāo)度形式.我們基于二維ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò),得到了RG模型和PR模型的集團(tuán)不均勻性H隨占據(jù)率p變化的函數(shù)曲線,如圖8所示.將圖8中各條曲線的峰值記為(p?,H?),正如預(yù)測(cè)的那樣,對(duì)于RG模型,不同系統(tǒng)尺寸下的p?幾乎等于閾值pc.這說(shuō)明由于集團(tuán)演化的完全隨機(jī)性,導(dǎo)致了在不同的系統(tǒng)尺寸下,不同集團(tuán)的數(shù)目即集團(tuán)不均勻性都會(huì)在閾值處達(dá)到最大的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.而PR模型的情況則是,p?隨著N的增加而向pc逐漸靠近,當(dāng)系統(tǒng)尺寸足夠大時(shí),p?等于相應(yīng)的滲流閾值pc,這個(gè)結(jié)果表明了雖然定則的引入會(huì)抑制集團(tuán)尺寸間的較大差異,由此減小了集團(tuán)不均勻性,但是隨著系統(tǒng)尺寸的增加,這種影響逐漸降低.

圖7 ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上χ/N隨鍵占據(jù)率p變化的關(guān)系曲線,圖中從上到下各條曲線對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)尺寸N分別為28,210,212,214,216,218,220 (a)RG模型;(b)PR模型

假設(shè)H的有限尺寸標(biāo)度指數(shù)比用γH/νH來(lái)表示,根據(jù)標(biāo)度理論,當(dāng) p=p?時(shí),(pc?p?)N1/νH為一個(gè)確定的常數(shù),并且在這一點(diǎn),H?～NγH/νH.由以上標(biāo)度假設(shè),在圖9中給出了(pc?p?)-1/N以及H?-N的雙對(duì)數(shù)關(guān)系曲線.由線性擬合直線的斜率可以得到,對(duì) RG 模型,1/νH=0.205±0.002,γH/νH=0.397±0.001;對(duì) PR 模型,1/νH=0.378±0.003,γH/νH=0.484±0.002.根據(jù)計(jì)算所得的標(biāo)度指數(shù),分別做出兩種模型的 HN?λH/νH-(p? pc)N1/νH變化曲線,如圖10所示.此時(shí)圖8中不同系統(tǒng)尺寸下的H-p曲線都極好地塌縮到一條曲線上,這表明PR模型的集團(tuán)不均勻性也表現(xiàn)出了很好的標(biāo)度特征,適用于連續(xù)相變的有限尺寸標(biāo)度規(guī)律仍然可用于描述集團(tuán)不均勻性的標(biāo)度行為.

圖8 ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上H隨鍵占據(jù)率p變化的關(guān)系曲線,圖中從下到上各條曲線對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)尺寸N分別為28,210,212,214,216,218,220 (a)RG模型;(b)PR模型

圖9 ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上(pc?p?)隨1/N以及H?隨N變化的雙對(duì)數(shù)關(guān)系 (a)pc?p?-1/N;(b)H?-N

圖10 ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上集團(tuán)不均勻性H的標(biāo)度分析曲線 (a)RG模型,(b)PR模型

4 結(jié)論

基于改進(jìn)了的Newman和Ziff算法以及有限尺寸標(biāo)度理論,本文對(duì)ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上PR模型的相變過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值研究.通過(guò)對(duì)表征滲流相變基本物理量,包括序參量、平均集團(tuán)尺寸、二階矩、標(biāo)準(zhǔn)偏差及尺寸不均勻性進(jìn)行詳盡的計(jì)算分析發(fā)現(xiàn),PR模型中以上滲流物理量隨鍵占據(jù)率變化的分布特征與RG模型的結(jié)果有顯著差別.特別地,在足夠大的系統(tǒng)尺寸下,PR模型的序參量在滲流相變點(diǎn)處呈現(xiàn)出具有不連續(xù)相變特征的尖銳躍變,然而包括序參量在內(nèi)的各個(gè)滲流量在相變點(diǎn)處卻都表現(xiàn)出連續(xù)相變的冪律標(biāo)度行為.因此嚴(yán)格地說(shuō),PR模型中的爆炸滲流相變是一種奇異相變,它既不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的不連續(xù)相變,又與RG模型表現(xiàn)出的典型連續(xù)相變處于不同的普適類.

另外,與熱力學(xué)相變相比,滲流相變是由于系統(tǒng)幾何結(jié)構(gòu)的改變導(dǎo)致它的某種性質(zhì)發(fā)生突變的現(xiàn)象,即是一種幾何相變,那么這種幾何相變的階數(shù)不能被嚴(yán)格限定.在一級(jí)相變與二級(jí)相變之間,可能會(huì)存在交叉混合相變,如Achlioptas過(guò)程下爆炸滲流模型的奇異相變.此外,爆炸滲流的本質(zhì)問(wèn)題之所以會(huì)存在爭(zhēng)議,還在于研究者考慮的切入點(diǎn)的不同.鑒于此,爆炸滲流模型相變類型的統(tǒng)一判據(jù)也是今后值得研究的問(wèn)題.

[1]Zalle R(translated by Huang Y)1998 Amorphous Solid State Physics(Beijing:Peking University Press)(in Chinese)[Zalle著 (黃畇譯)1998非晶態(tài)固體物理學(xué)(北京:北京大學(xué)出版社)]

[2]de Arcangelis L,Redner L,Coniglio A 1985 Phys.Rev.B 31 4725

[3]Henley C L 1993 Phys.Rev.Lett.71 2741

[4]Moore C,Newman M E J 2000 Phys.Rev.E 61 5678

[5]Jovanovi? B,Buldyrev S V,Havlin S,Stanley H E 1994 Phys.Rev.E 50 2403

[6]SolomonS,WeisbuchG,deArcangelisL,JanN,StaufferD2000Physica(Amsterdam)277A 239

[7]Stauffer D,Aharony A 1991 Introduction to Percolation Theory(2nd Ed.)(London:Taylor and Francis)

[8]Erd?s P,Rényi A 1960 Publ.Math.Inst.Hungar.Acad.Sci.5 17

[9]Callaway D,Hopcroft J,Kleinberg J,Newman M,Strogatz S 2001 Phys.Rev.E 64 041902

[10]Kim J,Krapivsky P,Kahng B,Redner S 2002 Phys.Rev.E 66 055101

[11]Achlioptas D,Souza R M D,Spencer J 2009 Science 323 1453

[12]Ziff R M 2009 Phys.Rev.Lett.103 045701

[13]Ziff R M 2010 Phys.Rev.E 82 051105

[14]Radicchi F,Fortunato S 2009 Phys.Rev.Lett.103 168701

[15]Cho Y S,Kim J S,Park J,Kahng B,Kim D 2009 Phys.Rev.Lett.103 135702

[16]Araújo N A M,Herrmann H J 2010 Phys.Rev.Lett.105 035701

[17]Moreira A A,Oliveira E A,Reis S D S,Herrmann H J,Andrade Jr J S 2010 Phys.Rev.E 81 040101(R)

[18]Friedman E J,Landsberg A S 2009 Phys.Rev.Lett.103 255701

[19]Souza R M D,Mitzenmacher M 2010 Phys.Rev.Lett.104 195702

[20]Araújo N A M,Andrade Jr J S,Ziff R M,Herrmann Jr H 2011 Phys.Rev.Lett.106 095703

[21]Manna S S,Chatterjee A 2011 Physica(Amsterdam)390A 177

[22]Pan R K,Kivela M,Saramaki J,Kaski K,Kertesz K 2011 Phys.Rev.Lett.83 046112

[23]Grassberger P,Christensen C,Bizhani G,Son S W,Paczuski M 2011 Phys.Rev.Lett.106 255701

[24]Riordan O,Warnke L 2011 Science 333 322

[25]Lee H K,Kim B J,Park H 2011 Phys.Rev.E 84 020101

[26]da Costa R A,Dorogovtsev S N,Goltsev A V,Mendes J F F 2010 Phys.Rev.Lett.105 255701

[27]Newman M E J,Ziff R M 2000 Phys.Rev.Lett.85 4104

[28]Newman M E J,Ziff R M 2001 Phys.Rev.E 64 016706

[29]Radicchi F,Fortunato S 2010 Phys.Rev.E 81 036110

[30]Landau D P,Binder K 2000 A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics(England:Cambridge University Press)

[31]ódor G 2004 Rev.Mod.Phys.76 663

[32]Cohen R,ben-Avraham D,Havlin S 2002 Phys.Rev.E 66 036113

[33]Noh J D,Lee H E,Park H 2011 Phys.Rev.E 84 010101