梁秀娟，嵇海旭

（廣東海洋大學，廣東 湛江 524088）

變分法在科學技術(shù)中有著廣泛的應用，物理學中許多基本規(guī)律都是用變分原理的形式表達的，如力學中的哈密頓原理，光學中的費馬原理等等[1~2]。變分原理是反映物體整體性質(zhì)的泛函極值,而整體性是力學的基本原則,因此，用變分原理來研究物理問題更符合自然規(guī)律；此外,其作為有限元法和其他近似計算方法的理論基礎(chǔ),隨著電子計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展,愈來愈得到了人們的重視。

現(xiàn)代控制系統(tǒng)中的最優(yōu)控制歸根到底還是一個求極值的問題，利用變分法求極值很容易得到最優(yōu)控制解，所以利用變分法解決現(xiàn)代控制系統(tǒng)中的很多最優(yōu)控制具有重要意義。

1 變分法原理

變分問題一般地提法如下：

設(shè)J 為定義在集合C 上的一個泛函，則變分問題就是y*綴C，使得或者

泛函通常以積分形式出現(xiàn)，如最速落徑問題，一般地，典型的泛函可以表示為：

其中，F(xiàn)[x，y，y']稱為泛函的核，F(xiàn) 是x，y，y'的已知函數(shù)，并且假定F 對其三個變量均有二階連續(xù)偏導數(shù)[3]。

設(shè)有連續(xù)函數(shù)y（x），若y（x）為最小值要求，則其他函數(shù)與之均有一個微小的偏離tη（x），所以可以將其稍作變形而表示為y（x）+tη（x），其中t為一個小參數(shù)，則稱這個微小偏離tη（x）為y（x）的變分，記作δy=tη（x）。

在研究泛函極值時，通常將η（x）固定，η（x）是具有二級導數(shù)的任意函數(shù)，而令t 變化，這樣的規(guī)定好處在于：建立了由參數(shù)t 到泛函J[y（x）]值之間的對應關(guān)系，因此函數(shù)J[y（x）]就成為了參數(shù)t 的普通函數(shù)，則此時函數(shù)的導數(shù)就可以按照普通函數(shù)的微積分理論將其變形為：

與y（x）+tη（x）對比可知：

這說明對于一個給定的函數(shù)，變分和微分兩種運算可以互換次序。

2 Euler Equation(不動邊界問題)

設(shè)J[y（x）]的極值問題有解(極值解)y =y（x），那么現(xiàn)在來推導這個解所滿足的ODE(ordinary differentialequation)。設(shè)這個解有變分δy=tη（x），則J[y +tη（x）]可視為參數(shù)t 的函數(shù)：Φ（t）=[y +tη（x）]。當t=0時，Φ（t）=J[y]，即Φ（t）=J[y +tη（x）]取得極值。

由此原泛函極值問題得到普通函數(shù)Φ（t）的極值問題，則函數(shù)極值的必要條件是：

此即泛函極值條件的必要條件，即J 的極值函數(shù)y（x）須是滿足δJ=0的函數(shù)類y（x）。這樣就將泛函極值問題變?yōu)樽兎謫栴}了。

因此式對于任意給定（a，b）和任何的δy 都成立，所以

可將Eulerequation展開式為：

Euler equation往往不能簡單解出，但是在F[x，y，y']不顯含x，y，y'中的一個或兩個時，問題可以得以簡化:

（b）當F=F [y，y']時，F(xiàn)y'x=0，所以因此得出-Fy）=0，則一次積分后得yx'Fy'-F=C。

3 變分法在現(xiàn)代控制中的應用

在最優(yōu)控制中，泛函J 所依賴的函數(shù)要受到系統(tǒng)狀態(tài)方程的約束，即設(shè)：

系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

那么，在該狀態(tài)方程的約束條件下，如何求u*及x*（t）使J 取極值便是一個變分問題。

一般地，總是知道x（t0）=x0，xf自由或固定。類似一般函數(shù)求極值的方法，可以引入拉格朗日乘子

H（X，λ，U，t）=L（X，U，t）+λT（t）f（X，U，t）

則增廣泛函J'為：

在等式f -X觶=0約束條件下，求J 的極值，等效于求J'的極值，即把有約束的泛函極值條件變?yōu)闊o約束的泛函極值問題。

及邊界條件（δX（tf）自由時）

由

得λ（tf）=0

狀態(tài)方程與伴隨方程合稱為正則方程，寫成方程組形式為：

共有2n個變量xiλi，有2n個邊界條件

4 結(jié)束語

變分法是求泛函極值的一種方法，對工程而言往往非常重要，因為工程中的最優(yōu)控制等都要解決極值問題。變分法的出現(xiàn)，使得很多工程問題的極值求解有了強有力的數(shù)學保障。譬如，控制工程中，當我們控制的目標是最短時間或者最低能耗的時候，可以把控制問題歸結(jié)為求一個泛函的極值曲線問題。由此可見，變分法對現(xiàn)代工程而言是相當重要的。

[1]賈小勇，李躍武.變分法的一次變革:從歐拉到拉格朗日的形式化改造[J].自然科學史研究,2009,28(3):312-325.

[2]賈小勇.歐拉變分法基本方程不變性思想及其探源[J].西北大學學報(自然科學版),2011，41(3):537-542.

[3]老大中.變分法基礎(chǔ)(第2版)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2007.

[4]李少康.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)[M].陜西：西北工業(yè)大學出版社，2005.