李曉娥

（中鐵第四勘察設計院集團有限公司 武漢 430063）

鐵路選線設計是鐵路建設的先行，其目的是要確定線路最合適的空間位置，這一位置決定了鐵路上建筑物的位置、工程數量的大小和施工的難易，也決定了列車運行的條件和運營成本的高低。選線設計的任務就在于比選出既滿足鐵路設計規(guī)范要求又使工程運營費用最小的設計方案［1］。隨著電子計算機技術的發(fā)展，以及優(yōu)化理論、模糊數學、神經網絡和灰色理論等的逐步應用，現(xiàn)代鐵路選線設計方法較以前傳統(tǒng)方法有了很大的突破。目前，基于以上各種理論的設計方法都進行了較深入的研究，部分已形成商用軟件，運用到設計實踐中并且取得了一定的效果。其中，由于優(yōu)化方法相對簡單易懂，基于優(yōu)化方法的鐵路選線設計方法得到了最廣泛的研究和應用。

1 問題的提出與研究方法

最優(yōu)化就是從所有可能方案中選擇最合理的一種以達到最優(yōu)目的的方法。通俗地講，也就是求解多元函數約束極值問題。其數學表達為［2］：

在線路的平面位置已定的條件下，不同的變坡點位置和高程將決定不同的縱斷面設計方案?？v斷面優(yōu)化設計，就是從眾多設計方案中選出一種最佳的變坡點位置和高程組合，使相關工程費用或換算運營費用最小。構造這一問題的數學模型必須解決以下3個問題：

（1）確定縱斷面優(yōu)化設計的變量。

（2）確定縱斷面優(yōu)化設計的目標函數。

（3）確定縱斷面優(yōu)化設計的約束條件。

其中，問題（1）和（3）比較容易解決。前已述及，縱斷面優(yōu)化設計的變量一般是指縱斷面變坡點的位置和高程；而約束條件即是必須滿足規(guī)范和其他各種技術經濟要求，具體來說主要有坡段的最大坡度限制、相鄰坡段的最大坡度差限制、變坡點高程限制以及變坡點位置限制等等［3］。

問題（2）中的工程費用或換算運營費用主要包括路基土石方費、擋墻工程費、橋梁工程費、隧道工程費、鐵路用地費和其他費用。在方案確定階段，不必精確計算相關費用。為了簡化計算，可以采用各計算點的設計標高和施工標高的平方和作為生成鏈式線路平面的目標函數。即

式中：x和y為線路各變坡點的位置和高程；n為變坡點個數；Hi為i點地面高程；hi為對應位置線路點設計高程。

對于表達式比較簡單的目標函數，如式（3）可以直接寫出目標函數的顯式表達式，優(yōu)化計算時目標函數對變量的梯度也可以直接求得；如果對于一個很復雜的問題如需精確計算工程費用時，無法寫出目標函數的顯式表達式，雖然目標函數值可以通過計算分別求得，但是其對變量的梯度卻無法求得，優(yōu)化求解將陷入困境。針對這一問題，本文提出一種基于響應面理論的鐵路縱斷面優(yōu)化方法。

2 響應面方法

響應面方法是一項統(tǒng)計學的綜合試驗技術，用于處理若干變量對一個體系或結構的作用問題，也就是體系或結構的輸入與輸出的轉換關系問題，用有限的試驗來回歸擬合一個關系式，代替結構的真實響應曲面。其思想是選用一個適當的明確表達的函數來近似代替一個不能明確表達的函數，也就是利用式（3）的計算結果來擬合一個具有明確表達式的響應面以代替未知的系統(tǒng)響應曲面，從而使得各種針對顯式功能函數的分析方法可以應用于隱式功能函數問題的分析中［4］。在選擇響應面表達式形式的時候，一方面要盡可能簡潔，另一方面要能足夠靈活地反映各種不同的真實曲面形狀。通常有以下2種形式，表達式（4）為不含交叉項的二次多項式；表達式（5）為含有交叉項的二次多項式，所含的未知量個數分別為2n＋1和（n＋1）（n＋2）／2。

式中：n為設計變量的個數；a，bi，ci，di（i＝1，2，…，n）為待定因數。

本文選取不含交叉項的二次多項式（4）作為響應面表達式。對于任意xi（i＝1，…，n），均可以xi（i＝1，…，n）為中心點，在n維坐標系的各軸上，對每個xj（j＝1，…，n，j≠i）左右各設置一個適當的偏量α，得到2n＋1個響應點，見圖1。由此，可得2n＋1階線性方程組，a，bi，ci（i＝1，2，…，n）可解。如選取式（4），形式較為簡潔，計算方便，但由此可能帶來計算精度的降低。計算經驗表明，一般來說，選取這樣的表達式是合適的。

圖1 目標函數（4）的變量空間（n＝3）

為了說明響應面方法的應用，本文對于可以直接寫出顯式表達式的式（3）也用響應面方法來擬合表達式。如式（4）所示，當設計變量為n時響應面表達式有2n＋1個待定系數需要確定。分別變化變量x1，x2，…，xn的值，根據式（3）計算得到函數值如式（6）右端項，構造2n＋1階線性方程組如下：

式中：α為響應面偏量；a～cn為擬合多項式系數；F1～F2n＋1為目標函數值。

求解式（6）即得到擬合多項式，進而變量梯度可以求解，對問題的優(yōu)化也就迎刃而解。

3 問題的優(yōu)化求解

目前，對于優(yōu)化問題式（1）的求解方法比較成熟［2］。在用響應面求得目標函數的顯式表達式之后，目標函數對變量的梯度易求如式（7）所示，優(yōu)化求解可采用梯度方法如“DFP”算法，此法是目前為止處理無約束優(yōu)化問題的最有效的方法之一。

對于約束優(yōu)化問題，本文采用內部懲罰函數法，又稱內點法，它對企圖從內部穿越容許集邊界的點在目標函數中加入相應的“懲罰”，距邊界越近，懲罰越大，在邊界上給以無窮大的懲罰，從而保證迭代點一直在容許集內部移動，也就保證了約束條件的作用。構造如下的增廣目標函數就可以實現(xiàn)上述想法：

圖2 計算流程圖

4 算例及結論

根據以上方法，筆者編制了計算機程序，設計簡單算例如圖3以驗證方法在理論上的正確性。為簡單起見，優(yōu)化計算時用式（3）計算目標函數值，用響應面方法擬合目標函數表達式，并且未嚴格按照規(guī)范要求約束最大坡度和坡度差，只對最大坡度和坡度差作了簡單約束。計算結果表明，優(yōu)化后的線路變坡點基本與地面點重合，目標函數值接近于0，優(yōu)化結果令人滿意。本文方法的正確性在理論上得到驗證。

圖3 算例

作為工程應用，筆者將本文方法用于某鐵路縱斷面優(yōu)化計算，線路起始里程CK9＋900，終止里程CK32＋600，全長22.7km，共設橋梁1座，隧道4座，地面地形點最大高程差79.1m。人工設計線路縱斷面變坡點個數22個，為了增加優(yōu)化效果，將全部線路分成4段計算：第一段CK9＋900～CK15＋300，線路長度5.4km；第二段CK15＋300～CK20＋700，線路長度5.4km；第三段CK20＋700～CK28＋100，線路長度7.4 km；第四段CK28＋100～CK32＋600，線路長度4.5km?？v斷面優(yōu)化結果見表1，計算中目標函數收斂趨勢見圖4。經過優(yōu)化計算，各坡段的目標函數值都有明顯減小，變坡點在縱向和豎向都發(fā)生位移，線路縱斷面更趨合理。限于篇幅，此處無法給出優(yōu)化前后的縱斷面對比圖。經粗略估算，可節(jié)約工程費用約6%。

表1 縱斷面優(yōu)化結果

圖4 目標函數值－迭代次數關系曲線

鐵路縱斷面優(yōu)化是一項涉及面很廣的綜合性技術，需要各相關學科理論知識的相互協(xié)調配合。本文應用響應面方法擬合目標函數顯式表達式，對鐵路縱斷面進行優(yōu)化，理論計算和工程實際算例均表明了該方法的正確性和有效性。

［1］詹振炎.鐵路選線設計的現(xiàn)代理論和方法［M］.北京：中國鐵道出版社，2001.

［2］薛嘉慶.最優(yōu)化原理與方法［M］.北京：冶金工業(yè)出版社，1992.

［3］GB50090－2006鐵路線路設計規(guī)范［S］.北京：中國鐵道出版社，2006.

［4］佟曉利，趙國藩.一種與結構可靠度分析幾何法相結合的響應面方法［J］.土木工程學報，1997，30（4）：51－57.