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        重心插值Galerkin 法求解梁彎曲變形問題

        2013-08-29 09:39:06綦甲帥王兆清
        山東科學(xué) 2013年3期

        綦甲帥,王兆清

        (山東建筑大學(xué)工程力學(xué)研究所,山東 濟(jì)南 250101)

        在處理梁彎曲問題時(shí),經(jīng)常遇到非連續(xù)載荷作用,解析方法需要在間斷處分段,在每一段分別處理,然后在分段處通過施加連續(xù)性條件和邊界條件來求解,導(dǎo)致積分常數(shù)很多,計(jì)算過程復(fù)雜。在這種情況下,常采用數(shù)值方法求解[1-3]。利用廣義函數(shù)來表示非連續(xù)載荷的分布集度,不需要分段,可在全梁范圍內(nèi)建立統(tǒng)一的梁彎曲變形控制方程,使計(jì)算過程大為簡(jiǎn)化[4]。

        最常用的廣義函數(shù)是Delta 函數(shù)。這種函數(shù)最早出現(xiàn)于20 世紀(jì)30年代,是由著名物理學(xué)家Dirac[5]在量子力學(xué)研究中引入和定義的,后來被命名為Delta 函數(shù)。50年代Schwarz[6]在深入研究Delta 函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了分布論(亦稱廣義函數(shù)論)。2000年,Yavari 等[7-8]研究了廣義函數(shù)在梁彎曲問題上的應(yīng)用。Falsone[9]給出了利用廣義函數(shù)Delta 函數(shù)分析不連續(xù)梁彎曲問題的解析方法。

        有理函數(shù)插值有時(shí)比多項(xiàng)式插值具有更好的精度。在經(jīng)典的有理插值中,對(duì)于給定的n +1 個(gè)節(jié)點(diǎn),人們尋求如pM/qN的有理函數(shù)插值,其中pM、qN分別為次數(shù)不超過M、N 的多項(xiàng)式,且M+N=n。這種有理函數(shù)的主要缺點(diǎn)是,在插值區(qū)間內(nèi)無法控制極點(diǎn)的產(chǎn)生。Berrut 等[10]提出利用高次多項(xiàng)式來構(gòu)造有理函數(shù)插值,這樣可以避免插值區(qū)間內(nèi)極點(diǎn)的產(chǎn)生。2005年,Berrut 等[11]對(duì)重心型有理函數(shù)插值作了總結(jié),利用n 次多項(xiàng)式構(gòu)造的有理函數(shù)插值,可以寫成重心形式。2006年Floater 等[12]提出一類重心型有理函數(shù)插值,該插值在整個(gè)數(shù)軸上都不存在極點(diǎn),插值函數(shù)具有無窮次光滑性。基于微分方程弱形式的Galerkin 法[13],可以降低近似函數(shù)的連續(xù)性要求,并且利用Delta 函數(shù)關(guān)于積分的篩選性,Galerkin 法可以消除求解問題中的奇異項(xiàng)[14]。

        本文利用重心有理插值函數(shù)作為試函數(shù),運(yùn)用廣義函數(shù)建立梁彎曲變形的控制方程,利用Delta 函數(shù)的積分篩選性,提出求解梁彎曲變形問題的重心插值Galerkin 法。

        1 廣義函數(shù)定義

        (1)Heaviside 函數(shù)定義為:

        (2)Delta 函數(shù)也稱為脈沖函數(shù),其一般定義為:

        2 重心有理插值Galerkin 法

        以重心有理插值作為試函數(shù),采用Galerkin 法建立數(shù)值求解梁彎曲變形控制方程的公式。對(duì)于在集度為q(x)的荷載作用下的細(xì)長(zhǎng)梁,在彈性范圍內(nèi)發(fā)生線性彎曲,其控制方程為:

        采用加權(quán)殘數(shù)法建立方程(1)的積分弱形式,取加權(quán)函數(shù)W,有

        對(duì)方程左邊分部積分二次,可得

        式中,W 為加權(quán)函數(shù)。在Galerkin 法中,權(quán)函數(shù)取為插值的基函數(shù)。

        對(duì)于求解區(qū)間的一組節(jié)點(diǎn)0=x1<x2<… <xn=l,通過重心有理插值,梁的撓度可寫成

        式中,φk(x)為重心有理插值基函數(shù)。

        Jk={i ∈I:k- d ≤i ≤k},I={0,1,2,…,n},d 為重心有理插值參數(shù),滿足0 ≤d ≤n。

        在Galerkin 過程中,令Wk=φk,將φk(x)代入(3)式得到

        其中φ(x)=[φ0(x),φ1(x),…,φn(x)]T,u=(u0,u1,…,un)T。方程(7)寫成矩陣的形式為

        通過施加邊界條件,可以消除向量b 的未知導(dǎo)數(shù)。由于插值基函數(shù)為有理函數(shù)形式,采用數(shù)值積分計(jì)算矩陣A 和向量b。

        3 數(shù)值算例

        本文算例的計(jì)算程序采用MATLAB 編寫,除了主程序外,還有計(jì)算基函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的子函數(shù)和施加邊界條件的子函數(shù)。

        圖1 梁受集中力載荷Fig.1 An beam with concentrated load

        算例1 兩端簡(jiǎn)支梁,長(zhǎng)L=50 cm,高2 cm,寬1 cm,彈性模量為10 GPa,受如圖1 所示集中力F=50 N,集中力作用于梁跨中,運(yùn)用廣義函數(shù)表示的載荷集度q(x)=Fδ(x-x0),x0為集中力作用點(diǎn)。計(jì)算節(jié)點(diǎn)采用等距節(jié)點(diǎn),Galerkin 法中的積分采用小區(qū)間[xi,xi+1]上的3 點(diǎn)Gauss數(shù)值積分計(jì)算,插值參數(shù)d=4。梁各點(diǎn)的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差分別定義為Er=|uc-ue|/|ue|,Ea=|uc-ue|。不同數(shù)量節(jié)點(diǎn)計(jì)算的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差分別定義為Er=‖uc-ue‖2/‖ue‖2,Ea=‖uc-ue‖2,其中uc,ue分別為函數(shù)的數(shù)值計(jì)算值和解析解值列向量,‖·‖2為向量的2 范數(shù)。數(shù)值計(jì)算得到梁軸線的各節(jié)點(diǎn)撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩與解析解比較如表1 所示(選取30 個(gè)節(jié)點(diǎn)計(jì)算,表中只列舉了有代表性的11 個(gè)節(jié)點(diǎn)),不同數(shù)量節(jié)點(diǎn)計(jì)算誤差如表2 所示,解析解見文獻(xiàn)[15]。

        表1 算例1 梁各點(diǎn)撓度、轉(zhuǎn)角和彎矩解析解與本文解比較Table 1 The comparion of analytical solution and the presented solution of beam deflection,angle and moment of each point for instance 1

        算例2 受如圖2 所示荷載,q=200 N/m,其他參數(shù)同算例1,運(yùn)用廣義函數(shù)表示的載荷集度q(x)=qH(x-xi),得到梁軸線的各節(jié)點(diǎn)撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩與解析解比較如表3 所示(選取30 個(gè)節(jié)點(diǎn)計(jì)算,表中只列舉了有代表性的11 個(gè)節(jié)點(diǎn)),不同數(shù)量節(jié)點(diǎn)計(jì)算誤差如表4 所示。

        表2 算例1 不同數(shù)量節(jié)點(diǎn)的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差Table 2 Relative and absdute errors of different number of nodes for instance 1

        圖2 梁受部分均布載荷Fig.2 An beam with partial uniform load

        表3 算例2 梁各點(diǎn)撓度、轉(zhuǎn)角和彎矩解析解與本文解比較Table 3 The comparion of analytical solution and the presented solution of beam deflection,angle and moment of each point for instance 2

        表4 算例2 不同數(shù)量節(jié)點(diǎn)的計(jì)算相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差Table 4 Relative and absolate errors of different number of nodes for instance 2

        算例3 受如圖3 所示部分三角形荷載,q=200 N/m,其他參數(shù)同算例1,運(yùn)用廣義函數(shù)表示的載荷集度q(x)=qxH(x -xi)/L,得到梁軸線的各節(jié)點(diǎn)撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩與解析解比較如表5 所示(選取30 個(gè)節(jié)點(diǎn)計(jì)算,表中只列舉了有代表性的11 個(gè)節(jié)點(diǎn)),不同數(shù)量節(jié)點(diǎn)計(jì)算誤差如表6 所示。

        圖3 梁受部分三角形載荷Fig.3 An beam with partial triangular load

        表5 算例3 梁各點(diǎn)撓度、轉(zhuǎn)角和彎矩解析解與本文解比較Table 5 The comparion of analytical solution and the presented solution of beam deflection,angle and moment of each point for instance 3

        表6 算例3 不同數(shù)量節(jié)點(diǎn)計(jì)算相對(duì)誤差Table 6 Relative and absolate errors of different number of nodes for instance 3

        分析上述3 個(gè)數(shù)值算例的結(jié)果,可以得出以下結(jié)論:(1)重心有理插值Galerkin 法有很好的精度,并且計(jì)算精度隨計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)量的增加而提高;(2)由于求導(dǎo)過程中喪失精度,因此轉(zhuǎn)角和彎矩的精度比撓度的精度差一些;(3)算例1 中的計(jì)算精度高于算例2、3,是因?yàn)樗憷? 中的未知函數(shù)比算例2、3 中的光滑性好。

        4 結(jié)論

        重心有理插值Galerkin 法可以快速的求解梁彎曲變形問題,并得到具有無窮次光滑性質(zhì)的數(shù)值解。對(duì)于非連續(xù)載荷等復(fù)雜載荷的計(jì)算,利用廣義函數(shù)以及Delta 函數(shù)的積分篩選性建立梁彎曲變形的控制方程,不需要分段,大大簡(jiǎn)化了求解過程,并且少量的節(jié)點(diǎn)即可得到較高的精度,為這類問題提供了新的方法和思路。該方法原理簡(jiǎn)單,易于程序?qū)崿F(xiàn),在力學(xué)和結(jié)構(gòu)分析中有良好的應(yīng)用前景。

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