王雅麗1) 史祎詩1)2)? 李拓1) 高乾坤1) 肖俊1) 張三國1)

1)(中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

2)(中國科學(xué)院信息工程研究所，信息安全國家重點實驗室，北京 100093)

(2012年8月1日收到;2012年11月21日收到修改稿)

1 引言

基于疊層成像(ptychography)原理的掃描相干衍射成像方法是由Hoppe[1,2]為了研究晶體結(jié)構(gòu)所提出的，并通過研究晶體和非晶體的掃描透射電子衍射顯微成像，驗證了此方法的有效性.Rodenburg和Faulkner等[3,4]結(jié)合相位恢復(fù)算法將此方法多次改進(jìn)，目前這種成像方法已在可見光域、X射線、電子顯微鏡等不同波段得到了實驗證實[5-10]，并發(fā)展出若干種技術(shù)以提高成像質(zhì)量以及分辨率[4,11,12]，該技術(shù)顯示了在大幅面成像和高分辨成像方面的巨大潛力.疊層成像術(shù)是通過改變照明光束和樣品的相對位置，獲得系列交疊區(qū)域的衍射圖樣，恢復(fù)得到樣品的復(fù)振幅分布.與傳統(tǒng)的衍射成像相比，此成像系統(tǒng)無須透鏡，不但避免了透鏡的像差對成像恢復(fù)質(zhì)量的影響，而且也消除了數(shù)值孔徑對樣品尺寸的限制;由于“層”與“層”之間的約束，樣品的復(fù)振幅是所有“層”的共解，因此不但成像恢復(fù)的收斂速度快，而且也消除了正確解和復(fù)共軛之間的二義性.疊層成像術(shù)可以說是一種穩(wěn)健而簡約的顯微成像技術(shù).但目前最突出的問題在于其成像效率與質(zhì)量之間的矛盾.為了進(jìn)行可見光波段的實驗，本文系統(tǒng)地研究了照明光束的交疊率、光束尺寸、噪聲以及幾何形狀等因素對成像質(zhì)量的綜合影響.通過模擬實驗研究獲得了疊層成像中影響成像恢復(fù)質(zhì)量的照明光束的關(guān)鍵參數(shù)及相互制約關(guān)系.研究結(jié)果對可見光域、X射線以及電子波段等其他波段的實驗的應(yīng)用均具有一定的指導(dǎo)作用.

2 理論分析

2.1 疊層成像的基本原理

為了獲取待測樣品的復(fù)振幅信息，移動一個全透的小孔(或樣品本身)使入射平面波照射到樣品的不同部位，即由小孔控制照明光束尺寸、幾何形狀及位置，并利用由此得到的一系列衍射強(qiáng)度圖樣重構(gòu)出樣品的振幅與位相信息，如圖1(a)—(c)所示.疊層成像術(shù)的關(guān)鍵在于：每次照射樣品的一個“層”也就是樣品的某一部分時，都要和至少一個其他的“層”發(fā)生交疊.圖1(b)為4行4列的照明光束交疊位置的示意圖.這樣就可建立一種重構(gòu)算法，在分別重構(gòu)每“層”的復(fù)振幅時也要同時滿足其他“層”衍射分布的約束，使得最后的樣品的整體復(fù)振幅信息是所有“層”的共同解.圖1(c)表示疊層成像所恢復(fù)的振幅.

圖1 疊層成像的基本原理 (a)光路;(b)小孔交疊位置;(c)疊層成像所恢復(fù)的振幅

2.2 疊層成像的迭代算法[13]

由基本原理可知，疊層成像的迭代恢復(fù)算法是通過多“層”衍射圖樣的強(qiáng)度恢復(fù)得到物面的復(fù)振幅信息.與大多數(shù)相位恢復(fù)算法不同的是：重構(gòu)每“層”的復(fù)振幅時，受其他“層”衍射分布的約束，可以快速地得到準(zhǔn)確解，因此，該迭代恢復(fù)算法具有收斂速度快、可消除解的二義性等優(yōu)點.利用迭代恢復(fù)算法獲得的物面的復(fù)振幅信息取決于像面的衍射分布.而像面的衍射分布決定于孔的復(fù)透射函數(shù).設(shè)P(r)為孔的復(fù)透射函數(shù)，即照明函數(shù)，物體的復(fù)振幅分布函數(shù)為O(r)，因此，透過物體的光場的波函數(shù)為Ψ(r)=P(r)O(r).Ri是照明光束第i個位置相對于前一次移動的矢量，n為迭代次數(shù).第一次迭代時，物體的復(fù)函數(shù)O(r)是隨機(jī)分布的.通過已知的照明函數(shù)和隨機(jī)分布的物函數(shù)可得透射波函數(shù)為

由快速傅里葉變換得到透射波在遠(yuǎn)場的振幅和相位分布：

經(jīng)過逆快速傅里葉變換可以得到一個新的輸出波函數(shù)：

在入射波平面，用一個新的物函數(shù)代替上一步得到的物函數(shù)：

其中，α，β為調(diào)節(jié)因子，α為了調(diào)節(jié)分母不等于0，β是一個反饋參數(shù)，一般取值范圍為[0.9，1].在以下的模擬中α=0.01，β=1.

疊層成像算法每次用一個已知的照明光束乘以一個新的物函數(shù)，相鄰位置的照明光束之間都是有交疊的，進(jìn)行多次迭代，求得所有“層”的共解，消除了解的二義性.對每個位置的衍射分布進(jìn)行相位恢復(fù)時都進(jìn)行了約束，因此相對于傳統(tǒng)的相位恢復(fù)算法，收斂速度提高較大.

可用相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient，Co)和均方差(mean square error，MSE)評價成像的恢復(fù)質(zhì)量[14].Co是表示恢復(fù)圖像與原始圖像相關(guān)關(guān)系密切程度的指標(biāo)，用Co值來評價恢復(fù)圖像的質(zhì)量，從而判定光束的幾項參數(shù)對于圖像質(zhì)量的影響.

其中，cov(g,go)表示恢復(fù)圖像信息g和原始圖像信息go之間的互協(xié)方差，σ為標(biāo)準(zhǔn)偏差Co取值范圍為[0，1]，其越接近1表明圖像的恢復(fù)質(zhì)量越高.需注意的是，運(yùn)用Co判定復(fù)振幅分布時，須分別對比兩者的實部與虛部，或者振幅與位相.

用輸入圖像和輸出圖像之間的MSE來評價圖像輸入端到輸出端的質(zhì)量，進(jìn)而反映各參數(shù)對圖像恢復(fù)質(zhì)量的影響.MSE的數(shù)學(xué)定義式為

其中，M×N為圖像的大小，P(i,j)表示原始圖像，P(i,j)表示恢復(fù)圖像.MSE越接近0表明恢復(fù)圖像越接近原始圖像，成像的恢復(fù)質(zhì)量越高，與評價參數(shù)Co相同，運(yùn)用MSE評價復(fù)振幅時，分別對比振幅和相位.

Co和MSE從不同角度揭示了所恢復(fù)出樣品區(qū)域的單位面積上的相對誤差量.根據(jù)(6)式可知，直接可從分母中含有面積的凈像素數(shù)容易看出，MSE描述的相對誤差是其對單位面積的折算.而Co值值域為[0，1]，即其具有歸一化的屬性，但是也并不影響其反映相對誤差的客觀性.

2.3 照明光束的關(guān)鍵參數(shù)

成像恢復(fù)質(zhì)量和照明光束的幾何形狀及尺寸等參數(shù)有關(guān)，照明光束的幾何形狀以及尺寸在模擬和實驗中均容易由小孔控制.

由疊層成像的迭代算法可知成像的恢復(fù)質(zhì)量還與層與層的交疊面積有關(guān)系，而計算絕對的交疊面積對于不同形狀的孔有不同的計算公式，為了簡單而又能說明問題，我們定義了一個參數(shù)表示相對的交疊區(qū)域的大小.這個參數(shù)是一個線性的補(bǔ)償距離.設(shè)圓孔的半徑是r，兩個圓孔的圓心與圓心之間的距離為a∈[0,2r].定義絕對的交疊區(qū)域參數(shù)是δabs=2r-a.因此相對的交疊率定義為[13]

3 模擬實驗及分析

模擬實驗中采用樣品的振幅和相位分別為圖2(a)，(b)所示的 “Lena”和 “Tower”，采樣點數(shù)均為256 pixels× 256 pixels.圖 2(c)，(d)和 (e)分別為模擬過程中采用的圓孔、方孔和六邊形孔的形狀示意圖.激光波長取532 nm，孔的移動掃描均為4行4列，如圖1(b)所給出的照明光束陣列的位置示意圖.通過移動小孔控制照明光束，獲得16幅衍射強(qiáng)度分布圖樣，利用疊層迭代相位恢復(fù)算法獲得樣品的振幅和相位信息.

圖2 樣品和孔的示意圖 (a)樣品的振幅;(b)樣品的相位;(c)圓孔;(d)方孔;(e)六邊形孔

3.1 交疊率不同對成像質(zhì)量的影響

首先模擬均采用圓孔控制波前時交疊率不同對成像恢復(fù)質(zhì)量的影響.取孔的直徑為64 pixels(1 pixel=8μm)，第一個孔的起始位置為左上角，向右依次移動.為了比較交疊率不同帶來的恢復(fù)質(zhì)量的差異，我們模擬了8種不同相對交疊率的情況.每次圓心移動 (64-n×8)pixels，n=0，1，2，3，4，5，6，7.根據(jù)(7)式，相對應(yīng)的相對交疊率分別0%，12.5%，25.0%，37.5%，50.0%，62.5%，75.0，87.5%.利用疊層迭代相位恢復(fù)算法迭代200次以后獲得對應(yīng)的振幅信息和相位信息，分別如圖3和圖4所示.由振幅和相位的恢復(fù)圖像可以直觀地看出：恢復(fù)質(zhì)量均隨著交疊率的增加而增加.當(dāng)相對交疊率達(dá)到50%時，可以獲得較好的復(fù)振幅分布.但是當(dāng)交疊率繼續(xù)增大，通過振幅和相位分布就難以分辨出成像質(zhì)量是否變得更好.

為了量化相對交疊率的不同對成像恢復(fù)質(zhì)量的影響，計算了振幅和相位的相關(guān)系數(shù)Co值以及均方差MSE，如圖5和圖6所示.

圖3 迭代200次，圓孔交疊率不同時的振幅 (a)0%;(b)12.5%;(c)25.0%;(d)37.5%;(e)50.0%;(f)62.5%;(g)75.0%;(h)87.5%

圖4 迭代200次，圓孔交疊率不同時的相位 (a)0%;(b)12.5%;(c)25.0%;(d)37.5%;(e)50.0%;(f)62.5%;(g)75.0%;(h)87.5%

圖5 采用圓孔控制波前時，200次迭代后不同交疊率的振幅和相位的相關(guān)系數(shù)

圖6 采用圓孔控制波前時，200次迭代后不同交疊率的振幅和相位的均方差

表1 迭代60次時振幅的相關(guān)系數(shù)與均方差

表2 迭代60次時，相位的相關(guān)系數(shù)與均方差

由振幅和相位的相關(guān)系數(shù)關(guān)系可知：δ=0%，即照明光束在不同的位置沒有相互交疊，相當(dāng)于普通的衍射成像，Co值較低，MSE較大，恢復(fù)圖像幾乎無法辨認(rèn);δ=87.5%時，穩(wěn)定后相位的Co值最大，振幅的MSE最小，振幅和相位得收斂速度均最快，迭代5次后，Co和MSE就趨于平穩(wěn).由表1和表2可知，當(dāng)相對交疊率達(dá)到50%及以上后，迭代60次時，成像的振幅和相位的Co值均大于0.95，MSE均小于1×10-3，表明獲得了較好的成像恢復(fù)質(zhì)量.但是交疊率50%時的收斂速度明顯低于相對交疊率大于50%的情況.上述結(jié)果表明，交疊率的增大，不但可以提高成像質(zhì)量，而且可以提高收斂速度，交疊率是影響成像質(zhì)量的關(guān)鍵參數(shù).

通過研究大量的相同面積不同復(fù)振幅分布的成像樣本，以上的結(jié)論均得到了良好的驗證，并且基于相關(guān)系數(shù)和均方差這兩個量化指標(biāo)的相關(guān)結(jié)論都顯示了很好的一致性.

隨著交疊率的增大，成像的有效恢復(fù)面積減小.定義照明函數(shù)照射的有效區(qū)域即可恢復(fù)的成像面積大小為E，樣品大小為S，因此，可恢復(fù)成像面積占總圖像面積的比值為恢復(fù)效率e，公式表示如下：

圖7 迭代60次，有噪聲和無噪聲時，振幅和相位的相關(guān)系數(shù)與均方差

根據(jù)(8)式可知，提高照明光束的相對交疊率δ，E減小，雖然提高了成像的質(zhì)量和收斂速度，但是卻損失了成像的有效面積.因此，在實驗中需要優(yōu)化以上兩個參數(shù).

接下來模擬了疊層成像恢復(fù)算法對抗噪聲的能力.將系數(shù)為0.1的隨機(jī)噪聲分布到衍射圖樣上，模擬了交疊率從0—87.5%的振幅和位相分布，直觀的效果與圖3和圖4并無差異.圖7給出了迭代60次時無噪聲和有噪聲兩種情況的成像振幅和相位的相關(guān)系數(shù)與均方差.結(jié)果表明，相關(guān)系數(shù)值和均方差基本無變化.這說明，這種成像算法對抗噪聲的效果很好.

3.2 光束尺寸不同對成像質(zhì)量的影響

模擬相對交疊率相同時，照明光束尺寸不同對成像恢復(fù)質(zhì)量的影響.我們選取了四種不同直徑的圓孔，孔的直徑大小分別為：160，120，80，40 pixels.每次圓心移動的大小為圓孔直徑的20%，則根據(jù)(5)式相對交疊率為80%.圖8和圖9是恢復(fù)得到的振幅和相位圖.由3.1可知，光束的交疊率達(dá)到50%以上，都可以獲得質(zhì)量較高的圖像.從圖7和圖8中難以直觀地分辨恢復(fù)圖像的質(zhì)量差別.

圖8 迭代200次，孔徑不同，交疊率相同時的振幅圖 (a)160 pixels;(b)120 pixels;(c)80 pixels;(d)40 pixels

圖9 迭代200次，孔徑不同，交疊率相同時的相位圖 (a)160 pixels;(b)120 pixels;(c)80 pixels;(d)40 pixels

圖10 交疊率相同、不同孔徑、200次迭代后的振幅和相位的相關(guān)系數(shù) (a)振幅;(b)相位

振幅和相位的相關(guān)系數(shù)以及均方差可以量化光束尺寸的不同對成像恢復(fù)質(zhì)量的影響，如圖10和圖11所示.由相關(guān)系數(shù)值可知，四種不同直徑的情況，振幅的Co值均在0.995以上.直徑為40 pixels的MSE值最大，迭代20次穩(wěn)定后為1.5112×10-3.而且四種情況下，成像的收斂速度都較快.通過以上關(guān)系可知，當(dāng)交疊率相同時，照明光束尺寸對成像的恢復(fù)質(zhì)量和收斂速度直接影響均不大.

因此，實驗中可以盡量增大光束尺寸，提高圖像的恢復(fù)效率.

3.3 幾何形狀不同對成像質(zhì)量的影響

最后模擬了圓孔、正方形孔和正六邊形孔三種不同的幾何形狀的照明光束對成像質(zhì)量的影響.圓孔直徑、正方形邊長以及正六邊形的對角線均為160 pixels，交疊率均為80%.圖12和圖13是恢復(fù)得到的振幅和相位圖.三種不同形狀的光束都獲得了高質(zhì)量的恢復(fù)圖像.

圖14和圖15是為了量化照明光束形狀對成像質(zhì)量的影響，計算得到的相關(guān)系數(shù)和均方差的關(guān)系圖.方孔的收斂速度明顯低于圓孔和六邊形孔的速度(如圖14所示)，振幅和相位的MSE關(guān)系也反映了同樣的收斂速度關(guān)系，相比方孔和六邊形孔，圓孔相位的MSE收斂速度更快，平穩(wěn)值更低(如圖15所示).六邊形孔和圓孔在迭代20次后，Co值趨近于1，隨后平穩(wěn).方孔迭代120次以后，Co=0.99704，與另外兩種形狀孔的Co接近.由此可知，光束的形狀主要影響圖像恢復(fù)的收斂速度.綜合考慮三種不同形狀的照明光束對成像質(zhì)量和收斂速度的影響，圓形光束和六邊形光束的效果要好于方形光束.

圖11 交疊率相同、不同孔徑、200次迭代后的振幅和相位的均方差 (a)振幅;(b)相位

圖12 迭代200次、三種形狀的照明光束交疊率均為80%時的振幅 (a)圓孔;(b)方孔;(c)六邊形

圖13 迭代200次、三種形狀的照明光束交疊率均為80%時的相位圖 (a)圓孔;(b)方孔;(c)六邊形

圖14 迭代200次、交疊率均為80%，三種形狀照明光束的振幅和相位的相關(guān)系數(shù) (a)振幅;(b)相位

圖15 迭代200次、交疊率均為80%，三種形狀照明光束的振幅和相位的均方差 (a)振幅;(b)相位

圖16 正方形孔、圓孔和六邊形孔的夫瑯禾費衍射圖樣

為了解釋這一現(xiàn)象，計算了與三種不同形狀孔的夫瑯禾費衍射圖樣[15,16]，如圖16所示.由三種的衍射圖像比較可知，圓孔和六邊形孔由低頻到高頻在360°方向都包含信息，而方孔的信息分布在x方向和y方向附近.方孔相對于圓孔和六邊形孔，遠(yuǎn)場衍射的信息度降低，影響了快速找到正確解的速度.

雖然這幾種不同形狀的孔控制波前通過多次迭代，都能達(dá)到較高的圖像恢復(fù)質(zhì)量，但是如果將這種成像技術(shù)應(yīng)用于實時成像，很明顯，采用圓形孔或者近似于圓形孔的多邊形孔控制波前，效果較好.在可見光實驗中，找一個理想的圓對稱孔不容易做到，可以做成多邊形的孔，這就是為什么很多可見光實驗中，可以采用光闌控制光束.

4 結(jié)論

本文利用疊層成像的迭代恢復(fù)算法，系統(tǒng)的模擬并分析了照明光束的系列關(guān)鍵參數(shù)：相對交疊率、光束尺寸以及幾何形狀對成像恢復(fù)質(zhì)量的影響.模擬結(jié)果表明：交疊率是影響成像質(zhì)量的關(guān)鍵因素，當(dāng)相對交疊區(qū)域增大到50%及以上時，可以獲得高質(zhì)量的復(fù)振幅，但是隨著交疊率的上升，恢復(fù)效率降低;光束尺寸對成像質(zhì)量以及收斂速度影響均不大;通過模擬三種不同幾何形狀的照明光束，發(fā)現(xiàn)利用方孔控制光束收斂速度較慢，不適于實時成像，而圓形和六邊形的照明光束在迭代5次后均可以獲得高質(zhì)量復(fù)振幅分布.因此，在實驗中盡量采用圓孔或者近似圓對稱的多邊形孔控制光束，在盡量增大孔徑的基礎(chǔ)上，優(yōu)化交疊率和恢復(fù)效率這兩個參數(shù)，獲得高質(zhì)量的樣品的復(fù)振幅信息.另外，還模擬了不同交疊率下抗噪聲的能力，模擬結(jié)果顯示是否加入噪聲對成像質(zhì)量幾乎無影響，疊層成像算法抗噪聲能力非常強(qiáng).上述結(jié)果無論是對可見光還是X射線以及電子顯微鏡等其他波段的顯微成像均具有一定的指導(dǎo)意義，并表現(xiàn)了疊層成像應(yīng)用于實時顯微成像領(lǐng)域的潛力.

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