段 焱，鄭世強(qiáng)

（北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電學(xué)院，北京 100038）

0 引言

隨著主動(dòng)磁軸承應(yīng)用范圍的逐步擴(kuò)大，主動(dòng)磁軸承的可靠性也變得越來(lái)越重要。主動(dòng)磁軸承的可靠性已成為其廣泛應(yīng)用的一大障礙。根據(jù)電磁軸承獨(dú)特的冗余結(jié)構(gòu)，在部分線圈（功放）故障的情況下，可對(duì)其進(jìn)行容錯(cuò)控制，以保證電磁軸承系統(tǒng)穩(wěn)定可靠地運(yùn)行。

二十世紀(jì)九十年代，美國(guó)弗吉尼亞大學(xué)的Maslen和Meeker[1]針對(duì)任意結(jié)構(gòu)的徑向磁軸承提出了廣義偏流線性化理論，該理論提出一種通用的將電磁力和控制電流兩者關(guān)系顯性化的方法，當(dāng)線圈（或功放）全部正常工作時(shí)，可以得到電磁力和控制電流之間的線性化控制關(guān)系，當(dāng)部分線圈（或功放）失效的情況，利用廣義偏流線性化仍然可以電磁力與控制電流之間的線性化關(guān)系。因此，廣義偏流線性化理論可以為磁軸承系統(tǒng)執(zhí)行器容錯(cuò)控制提供理論基礎(chǔ)。Schroder[2]和Ming[3]在Maslen的基礎(chǔ)上采用拉格朗日法進(jìn)行了電流分配矩陣的求解，Na[4,5]在此基礎(chǔ)上又進(jìn)行了仿真分析。Won[6,7]針對(duì)一種永磁偏置四磁極結(jié)構(gòu)，利用拉格朗日乘子法計(jì)算電流分配矩陣。

國(guó)內(nèi)對(duì)這方面研究比較少，吳步洲[8,9]等根據(jù)文獻(xiàn)[1]中提到的磁軸承結(jié)構(gòu)和容錯(cuò)控制方法進(jìn)行了參數(shù)計(jì)算和仿真。韓輔君[10]針對(duì)一種Homopolar結(jié)構(gòu)的永磁偏置結(jié)構(gòu)磁軸承，根據(jù)力不變?cè)淼玫焦收锨昂罂刂齐娏鞯年P(guān)系，進(jìn)而得到相應(yīng)的電流分配矩陣。本文在Maslen和Meeker提出的廣義偏流線性化的基礎(chǔ)上，針對(duì)某種八極點(diǎn)磁軸承進(jìn)行了五種故障模式分析，并且利用一種類似牛頓-拉普遜的數(shù)值方法進(jìn)行每種故障模式下電流分配的計(jì)算，仿真結(jié)果表明，這種方法所求出的電流分配矩陣能夠在線圈五種故障模式下實(shí)現(xiàn)磁軸承線圈容錯(cuò)的目的，提高了磁軸承系統(tǒng)的可靠性，最后還對(duì)每種故障模式下電磁軸承的軸承承載力進(jìn)行了計(jì)算和分析。

1 軸承電磁力的一般表達(dá)式

主動(dòng)磁軸承閉環(huán)控制系統(tǒng)的執(zhí)行器是電磁軸承定子線圈，指定大小和方向的電磁力可通過(guò)控制每個(gè)線圈上的電流產(chǎn)生。以一個(gè)八磁極的徑向電磁軸承為例（結(jié)構(gòu)示意圖以及磁路模型如圖1所示），利用磁路法推導(dǎo)軸承所產(chǎn)上的電磁力。

圖1 磁軸承結(jié)構(gòu)示意和磁路模型

首先假定鐵磁體工作在線性區(qū)，設(shè)磁通φj的正方向如圖1中箭頭方向所示，每個(gè)磁極的電流方向均與φj符合右旋法則。由安培環(huán)路定律，可以得到7個(gè)獨(dú)立等式，由磁通守恒定律又可得到1個(gè)獨(dú)立等式，將這8個(gè)獨(dú)立等式寫(xiě)成矩陣的形式，得

本文以NNSS磁極結(jié)構(gòu)為例，可以引入一個(gè)電流方向矩陣Id來(lái)描述實(shí)際的電流方向：

因此電流向量可表示為：

磁場(chǎng)中的所有能量可看作存儲(chǔ)在整個(gè)氣隙中，其表達(dá)式為：

根據(jù)虛位移原理，磁場(chǎng)在x，y方向上產(chǎn)生的力分別為：

2 廣義偏置電流線性化

采用廣義偏流線性化的方法可以將任意情形下的電磁力轉(zhuǎn)換為電流的線性函數(shù)。首先，假設(shè)軸承力已經(jīng)被線性化成電流的函數(shù)，即每個(gè)方向的軸承力正比于這個(gè)方向的控制電流，即：

其中c0是偏置電流，cx、cy分別為x方向軸承力Fx，y方向軸承力Fy對(duì)應(yīng)的控制電流。而在實(shí)際控制中，為了將c0、cx和cy與實(shí)際電流Ir對(duì)應(yīng)起來(lái)，可引入一個(gè)電流分配矩陣W，滿足：

由（11）式可知，只要W已知就可得到軸承力和電流的線性關(guān)系。為了得到電流分配矩陣W，首先將（10）式帶入（8）式可得：

對(duì)照（12）和（13）可得電流分配矩陣滿足的條件為：

3 電流分配矩陣求解

電流分配矩陣W首先應(yīng)該滿足式（14）這一約束條件，然后利用文獻(xiàn)[1]中總所提到的類似牛頓-拉普遜的數(shù)值方法可以分別求解得到五種故障模式下電流分配矩陣。

五種故障模式下電流分配矩陣定義為：線圈無(wú)故障時(shí)的電流分配矩陣為Wm，線圈出現(xiàn)故障時(shí)的電流分配矩陣為Wmfx，x表示故障線圈編號(hào)，具體數(shù)值計(jì)算如下。

4 仿真與分析

4.1 容錯(cuò)方案

本文的容錯(cuò)方案可描述為：在容錯(cuò)控制時(shí)，根據(jù)檢測(cè)到相應(yīng)的故障模式，電流分配矩陣模塊切換到相應(yīng)的電流分配矩陣W，W將一路偏置電流c0和兩路PID控制器輸出的控制電流cx、cy經(jīng)過(guò)功放分配到八個(gè)磁極上，并且結(jié)合轉(zhuǎn)子當(dāng)前位置，計(jì)算軸承電磁力，在對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行控制，最終實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮。根據(jù)上述的容錯(cuò)控制方案，可設(shè)計(jì)如圖2所示的磁軸承線圈容錯(cuò)控制系統(tǒng)。

圖2 電磁軸承容錯(cuò)控制系統(tǒng)模型

4.2 仿真模型

控制系統(tǒng)模型參數(shù)的具體取值如表1所示，電磁極中心線與x軸夾角如表2所示。

表1 仿真系統(tǒng)參數(shù)表

表2 磁極中心線與x軸夾角表

4.3 仿真條件

1）磁軸承轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型為

2）故障設(shè)定：t=0.01s時(shí)線圈1發(fā)生故障，t=0.03s時(shí)線圈1和線圈2同時(shí)發(fā)生故障，t=0.05 s時(shí)線圈1、線圈2和線圈4同時(shí)發(fā)生故障，t=0.07 s時(shí)線圈1、線圈2、線圈4和線圈6同時(shí)發(fā)生故障，t=0.09 s時(shí)線圈1、線圈2、線圈4、線圈6和線圈7同時(shí)發(fā)生故障。

4.4 仿真結(jié)果

圖3和圖4為電磁軸承容錯(cuò)控制系統(tǒng)在磁軸承在正常模式與五種故障模式下系統(tǒng)的位移與電流響應(yīng)波形圖。

在電磁軸承系統(tǒng)容錯(cuò)控制時(shí)，以轉(zhuǎn)子在x軸的位移輸出為例從圖3可以看出在t0=0 s時(shí)刻，磁軸承控制系統(tǒng)開(kāi)始調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子的初始位置，使其穩(wěn)定在x=0，y=0的位置上，很快磁軸承轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮在初始位置。

圖3 電磁軸承容錯(cuò)控制位移波形圖

圖4 電磁軸承容錯(cuò)控制電流波形圖

分別在t1=0.01s，t2=0.03s，t3=0.05s，t4=0.07s時(shí)刻，電磁軸承系統(tǒng)分別有一個(gè)線圈，兩個(gè)線圈，三個(gè)線圈和四個(gè)線圈發(fā)生故障，觀察位移波形圖中可知系統(tǒng)容錯(cuò)過(guò)程都比較快，迅速的就可以過(guò)渡到平穩(wěn)狀態(tài)。從電流波形圖如圖4所示中也可以清晰的看到這一過(guò)程中八個(gè)線圈中電流的變化情況。

在t5=0.09s時(shí)刻，有五個(gè)線圈同時(shí)發(fā)生了故障，磁軸承控制系統(tǒng)再一次進(jìn)入容錯(cuò)調(diào)節(jié)過(guò)程，觀察位移波形可知電磁軸承系統(tǒng)進(jìn)入了一個(gè)比較緩慢的衰減震蕩的容錯(cuò)過(guò)程，最終趨于穩(wěn)定。由容錯(cuò)過(guò)程時(shí)間較長(zhǎng)，振幅較前四種模式增大，可知這種故障模式下系統(tǒng)穩(wěn)定性較前四種模式有所降低。

根據(jù)圖3和圖4可知電磁軸承容錯(cuò)過(guò)程調(diào)節(jié)時(shí)間很短，振幅也比較小，調(diào)節(jié)過(guò)程基本上保持了快速平穩(wěn)的過(guò)渡。

5 結(jié)論

仿真結(jié)果表明，當(dāng)若干個(gè)磁軸承定子線圈或功放故障時(shí)，利用本文計(jì)算出的每種故障模式下電流分配矩陣和容錯(cuò)控制方法，都可以確保系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行。

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