李 昂 ， 李 安 ，2， 覃方君 ， 胡柏青

（1.海軍工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430033；2.海軍工程大學(xué) 科研部，湖北 武漢 430033）

光纖陀螺是一種利用薩格奈克效應(yīng)進(jìn)行測角的慣性元件，因具有全固態(tài)、耐沖擊、測量范圍大等優(yōu)點(diǎn)，近年來逐漸成為國內(nèi)外學(xué)者的研究重點(diǎn)[1]。由于受光、電路元器件加工制造等多種因素影響，光纖陀螺白噪聲比一般轉(zhuǎn)子式機(jī)械陀螺要大得多[2-4]。一般地，人們采用角速度隨機(jī)游走（Angle Random Walk，簡稱ARW）來定量表征光纖陀螺輸出信號中白噪聲強(qiáng)度。目前采用 Allan方差法求取ARW系數(shù)是國內(nèi)外的標(biāo)準(zhǔn)方法，如美國IEEE （Std 952?-1997，R2008）和我國國軍標(biāo)（GJB 2426A-2004）均推薦使用Allan方差求取ARW系數(shù)大小[5-7]。Allan方差是20世紀(jì)60年代由David W.Allan為研究振蕩穩(wěn)定性建立起來的時(shí)域分析方法，這種方法的特點(diǎn)是能夠比較容易的對各種誤差源統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行細(xì)致的表征和辨識(shí)。由于Allan方差是一種非實(shí)時(shí)、離線、事后處理方法，需要存儲(chǔ)大量測試數(shù)據(jù)（一般需保存數(shù)小時(shí)甚至十幾小時(shí)數(shù)據(jù)），耗費(fèi)大量處理時(shí)間[8-9]。本文作者研究發(fā)現(xiàn)，采用我們前期研究的自適應(yīng)卡爾曼濾波技術(shù)方法[10]，可以方便地實(shí)現(xiàn)光纖陀螺ARW系數(shù)的在線、實(shí)時(shí)估計(jì)，從而避免存儲(chǔ)大量歷史數(shù)據(jù)，減小數(shù)據(jù)處理時(shí)間。

1 濾波模型的建立

由于量化噪聲在提高數(shù)據(jù)采樣率后會(huì)顯著降低，速度斜坡噪聲本質(zhì)上是一種確定性誤差，且僅在較低頻段才出現(xiàn)。一般情況下兩者均可以忽略。為了建模方便，現(xiàn)在僅考慮角度隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機(jī)游走3種主要噪聲的數(shù)學(xué)模型。 依據(jù) IEEE Std 952?-1997（R2008）[5]，根據(jù)線性系統(tǒng)理論，角度隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機(jī)游走3種噪聲可以采用以下模型描述：

式（1）對應(yīng)的微分方程為：

式中 uarω、ubs、urrω分別為相互獨(dú)立的高斯白噪聲， 其均值為0，方差為1。根據(jù)微分方程組，其對應(yīng)的離散化形式狀態(tài)空間方程為：

式中ΔT為離散化步長，z（k）表示k時(shí)刻陀螺儀噪聲的觀測輸出。

由式（3）可知，只要采用自適應(yīng)濾波算法，將系統(tǒng)噪聲以及觀測噪聲估計(jì)統(tǒng)計(jì)特性出來，即可將角度隨機(jī)游走N、零偏不穩(wěn)定性B、角速率隨機(jī)游走系數(shù)K全部估計(jì)出來。這僅是一種十分理想的結(jié)果，實(shí)際研究發(fā)現(xiàn)不能實(shí)現(xiàn)3種系數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)。零偏不穩(wěn)定性B必定受到β的影響。零偏不穩(wěn)定性噪聲和角速率隨機(jī)游走噪聲都處于低頻噪聲，頻段比較接近，因此B與K是耦合在一起的，導(dǎo)致了B與K無法準(zhǔn)確估計(jì)。因此文中僅立足于角度隨機(jī)游走N的估計(jì)。

2 基于自適應(yīng)Kalman算法的ARW系數(shù)的估計(jì)

為了表述簡便起見，將濾波模型式（3）中狀態(tài)方程和觀測方程分別寫成以下形式：

其中 Xk是 k 時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)量；F（k+1，k）是系統(tǒng)一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；wk為系統(tǒng)噪聲，其協(xié)方差陣為Qk；Hk+1是系統(tǒng)觀測矩陣；Zk+1是k+1時(shí)刻系統(tǒng)量測值；vk+1為觀測噪聲，其協(xié)方差陣為Rk+1。

以新息形式表示的離散型線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波的一般算法為[10-11]：

濾波增益：Kk+1=P（k+1，k）HTk+1CIV-1k+1（6）

狀態(tài)估計(jì)：

其中IVk+1為k+1時(shí)刻新息狀態(tài)，CIVk+1為其方差：

為了解決離散線性系統(tǒng)卡爾曼濾波算法中噪聲統(tǒng)計(jì)特性（Q、R）的不確定性問題，可以利用新息序列實(shí)現(xiàn)Q、R的自適應(yīng)估計(jì)。在系統(tǒng)噪聲和量測噪聲服從不相關(guān)的高斯分布，且新息序列具有遍歷性時(shí)，可以證明，式（10）是新息方差最大似然的最優(yōu)估計(jì)：

其中，N是新息序列滑動(dòng)窗口的寬度，j0=k-N+1。

2.1 基于新息的系統(tǒng)噪聲協(xié)方差陣Q的自適應(yīng)估計(jì)

因?yàn)樵跒V波穩(wěn)定時(shí)，均方誤差陣P趨近于0，因此有如下以近似關(guān)系：

將式（6）代入 Kk+1CIVk+1可得：

因此，基于新息的系統(tǒng)噪聲協(xié)方差陣Q的自適應(yīng)估計(jì)可表示為：

2.2 基于新息的量測噪聲協(xié)方差陣的自適應(yīng)估計(jì)

由式（9）變形即可直接獲得基于新息的量測噪聲協(xié)方差陣的自適應(yīng)估計(jì)：

由式（3），角度隨機(jī)游走N可由下式確定：

3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證分析

表1 Allan方差與本文方法系數(shù)估計(jì)對比（仿真試驗(yàn)，單位：）Tab.1 Allan variance with the proposed method coefficient estimates contrast（simulation test， °/h/

表1 Allan方差與本文方法系數(shù)估計(jì)對比（仿真試驗(yàn)，單位：）Tab.1 Allan variance with the proposed method coefficient estimates contrast（simulation test， °/h/

序號 理論值 Allan擬合值 本文方法均值 方差1 1.800 0 1.811 2 1.798 0 0.036 3 2 0.300 0 0.300 1 0.299 2 0.006 5 3 0.065 0 0.064 0 0.0647 5 0.001 5

由表1和圖1圖2可知，在設(shè)置的不同條件仿真試驗(yàn)中，Allan方差方法和本文提出的在線估計(jì)方法均能較準(zhǔn)確地估計(jì)出光纖陀螺的噪聲系數(shù)，Allan方差方法求得系數(shù)相對于仿真條件的最大相對誤差為1.54%，本文在線方法估計(jì)均值相對于仿真條件的最大相對誤差為0.27%。文中方法精度與經(jīng)典Allan方差方法精度基本一致。

圖2 本文方法與Allan方差系數(shù)估計(jì)結(jié)果（仿真試驗(yàn)，N=0.300 0°/h/Fig.2 Proposed method and the Allan variance coefficient estimates（simulation test， N=0.300 0°/h/）

4 結(jié)束語

運(yùn)用Allan方差法求取光纖陀螺ARW系數(shù)是目前國內(nèi)外的標(biāo)準(zhǔn)方法。根據(jù)Allan方差方法原理，只能實(shí)現(xiàn)采集數(shù)據(jù)的離線、事后處理。測試過程中需要存儲(chǔ)大量數(shù)小時(shí)甚至十幾小時(shí)的陀螺輸出數(shù)據(jù)，耗費(fèi)大量時(shí)間。本文在角度隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機(jī)游走3種主要噪聲的數(shù)學(xué)特性分析基礎(chǔ)上，建立了光纖陀螺現(xiàn)代狀態(tài)空間噪聲模型，提出采用自適應(yīng)卡爾曼濾波技術(shù)方法，實(shí)現(xiàn)光纖陀螺ARW系數(shù)的在線、實(shí)時(shí)估計(jì)，并進(jìn)行了數(shù)字試驗(yàn)。結(jié)果表明本文方法精度略優(yōu)于Allan方差方法。

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