江 濤，朱大昌

（江西理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西 贛州 341000）

0 引言

以往自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)常采用三腿支撐，手動(dòng)調(diào)平，存在調(diào)平耗時(shí)長(zhǎng)，自動(dòng)化程度低、精度低等缺點(diǎn)。因此國(guó)內(nèi)有學(xué)者提出采用Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)的動(dòng)基座支撐機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方案設(shè)想[1]。但是Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)又存在控制復(fù)雜問(wèn)題。少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)因具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、造價(jià)低、剛度大、承載能力強(qiáng)、控制方便等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)生產(chǎn)及其他領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。尤其是三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，譬如兩轉(zhuǎn)動(dòng)一平移(2R1T)空間三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)既具有轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)的運(yùn)動(dòng)輸出特性，又具有少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)，恰好滿(mǎn)足動(dòng)基座自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)調(diào)平特性，因此在工業(yè)生產(chǎn)中具有較高的實(shí)用價(jià)值，也漸漸地被相關(guān)學(xué)者們所關(guān)注[2-8]。本文采用螺旋理論和反螺旋理論對(duì)兩轉(zhuǎn)動(dòng)一平移具有空間三自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)型綜合，進(jìn)而從中得到一種調(diào)平性能良好的自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)的支撐機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方案，同時(shí)對(duì)選定機(jī)構(gòu)進(jìn)行了正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，獲得了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性。

1 三自由度2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型的任務(wù)即根據(jù)給定的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)自由度的要求，確定連接下平臺(tái)（基礎(chǔ)平臺(tái)）和上平臺(tái)（動(dòng)平臺(tái)）的支鏈數(shù)目以及類(lèi)型，設(shè)計(jì)其支鏈機(jī)構(gòu)則是按照所要求進(jìn)行支鏈機(jī)構(gòu)配置后的并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有給定的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行的。

基于螺旋理論和反螺旋理論并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合方法可知：并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特性完全取決與各條運(yùn)動(dòng)支鏈對(duì)機(jī)構(gòu)平臺(tái)的約束力螺旋的約束情況，該運(yùn)動(dòng)自由度的性質(zhì)和所配置的運(yùn)動(dòng)支鏈作用于平臺(tái)的約束力螺旋有直接關(guān)系。

螺旋理論中，單位螺旋包括三個(gè)因素：螺旋的軸線(xiàn)位置、方向和螺旋節(jié)距，可表示為：

這里s為螺旋軸線(xiàn)方向的單位矢量，r是由參考系坐標(biāo)的原點(diǎn)到空間矢量s上任意一點(diǎn)的矢徑，λ為螺旋的節(jié)距。如果節(jié)距等于0，可認(rèn)為一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副或者一個(gè)力矢量，簡(jiǎn)化為：

式（2）中l(wèi)，m，n分別表示的是轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)或是力線(xiàn)矢軸線(xiàn)的三個(gè)方向余弦。此外，節(jié)距λ＝∞時(shí)，可認(rèn)為一個(gè)移動(dòng)副或一個(gè)力偶矢量，表示為：

當(dāng)兩個(gè)螺旋$1＝(l1m1n1;a1b1c1)和$2＝(l2m2n2;a2b2c2)的互易積為零時(shí)，$·1$2＝l1a2+m1b2+n1c2+a1l2+b1m2+c1n2＝0稱(chēng)$1和$2互為反螺旋互逆。上式的意義就為力螺旋對(duì)運(yùn)動(dòng)螺旋所做功為零，即為作用在物體上的約束反力。

自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)闹ф準(zhǔn)蛊涮峁┧蟮募s束；而所提供約束的性質(zhì)主要取決于組成支鏈的運(yùn)動(dòng)副的類(lèi)型和相互之間的幾何關(guān)系。如果并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的一支鏈提供1個(gè)力偶約束，另兩個(gè)提供2個(gè)力約束，則該三支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)一共提供了2個(gè)約束力和1個(gè)力偶三個(gè)約束，即實(shí)現(xiàn)兩轉(zhuǎn)動(dòng)一平移。

使支鏈提供一個(gè)約束力偶的充要條件是：所有的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)必須位于垂直力偶方向的平面內(nèi)，而移動(dòng)副則可以隨意安排。在支鏈運(yùn)動(dòng)螺旋系中的任一運(yùn)動(dòng)螺旋都可以通過(guò)5個(gè)基螺旋線(xiàn)性組合而成，因?yàn)樵?系中最多只有5個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的零節(jié)距單位螺旋，因此最大的轉(zhuǎn)動(dòng)副數(shù)目為5，又因?yàn)榫€(xiàn)性獨(dú)立的無(wú)窮節(jié)距單位螺旋是3個(gè)，因此移動(dòng)副的數(shù)目最多為3，如果只用R或P，則可能的運(yùn)動(dòng)鏈為：5R、4R1P、3R2P和2R3P。

使支鏈提供一個(gè)約束力的充要條件是：轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)要與給定的約束力平行或者相交，而移動(dòng)副方向與約束力方向是正交的。

表1 約束力偶兩桿三副的可行結(jié)構(gòu)類(lèi)型

表2 約束力兩桿三副的可行結(jié)構(gòu)類(lèi)型

自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)的支撐結(jié)構(gòu)采用一支鏈PU可以同時(shí)約束兩個(gè)力和一個(gè)力偶，滿(mǎn)足2R1T的設(shè)計(jì)要求，但為了使整個(gè)動(dòng)平臺(tái)具有更好的穩(wěn)定性，可以另加幾條零終端約束的支鏈加以組合，如3-PSS/PU、 3-SPS/PU、3-UPS/PU、 3-PUS/PU等等，如圖1（a）所示。

圖1 自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)的支撐結(jié)構(gòu)可行結(jié)構(gòu)示意圖

若選用兩條支鏈R2PS，且兩轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)垂直，另一條可以選用提供限制Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)約束的支鏈，可以從提供一個(gè)力偶約束的三桿兩副表里選出一種結(jié)構(gòu)類(lèi)型進(jìn)行組合配置。如選用R1U12U21，轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線(xiàn)和兩個(gè)虎克鉸的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線(xiàn)都垂直于Z軸，如圖所示1（b）所示。

當(dāng)選用三條支鏈R2PS，上下平臺(tái)是兩個(gè)等邊三角形，三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線(xiàn)呈切向分布，移動(dòng)副垂直與轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)，每條支鏈提供的線(xiàn)矢力通過(guò)每條支鏈的球面副的球心并且同時(shí)與轉(zhuǎn)動(dòng)副平行，此時(shí)動(dòng)平臺(tái)剩下沿Z的移動(dòng)和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖1（c）所示。

2 自動(dòng)調(diào)平機(jī)構(gòu)的正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

本文自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)的支撐結(jié)構(gòu)采用第三種方案，基平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)是兩個(gè)等邊三角形，動(dòng)平臺(tái)外接圓的半徑為h，基平臺(tái)外接圓的半徑為g，點(diǎn)O和點(diǎn)P分別是基平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)的幾何中心。OX平行于轉(zhuǎn)動(dòng)副A2的軸線(xiàn)且垂直于A3的軸線(xiàn)，Z軸垂直與基平臺(tái)平面。φ1是A1B1與A1O的夾角，φ2是A2B2與A2O的夾角， φ3是l→1與A3O的夾角（見(jiàn)圖2）。

圖2 自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)的支撐結(jié)構(gòu)空間示意圖

逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)所要探討的問(wèn)題是：在已知平臺(tái)的姿態(tài) (px,py,pz,α,β,γ)的 6 個(gè)元素中只有 3 個(gè)為獨(dú)立，分別為α、β及 pz，而知道位置姿態(tài)后，其各分支桿長(zhǎng)可以由下面的式子求出：

自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的問(wèn)題恰好與逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)的情況相反，是在已知三個(gè)分支桿長(zhǎng)的前提下，欲知相對(duì)應(yīng)的調(diào)平平臺(tái)的位置姿態(tài)。由式（4）、（5）、（6）得知若給定 di，求解 α、β及 pz，此為9個(gè)非線(xiàn)性方程（7）聯(lián)立求解，如下：

3 自動(dòng)調(diào)平機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

在SolidWorks里建立調(diào)平機(jī)構(gòu)幾何模型，再導(dǎo)入ADAMS軟件中分析：在機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)上任取一點(diǎn)，在該點(diǎn)上建立一個(gè)動(dòng)作標(biāo)系并在該點(diǎn)上施加一個(gè)三維的點(diǎn)驅(qū)動(dòng)， X＝0.05·sin(time)；Y＝0.05·cos(time)； Z＝0.3·time，然后進(jìn)行20秒200步的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，得一分支中移動(dòng)副位置隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)，如圖3所示。

圖3 自動(dòng)調(diào)平支撐機(jī)構(gòu)移動(dòng)副的位置時(shí)間歷程圖

接著利用ADAMS里的樣條函數(shù)Spline函數(shù)，把所得到的三個(gè)移動(dòng)副的位移曲線(xiàn)插值離散，把所得到的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)加載到移動(dòng)副上：

motion1:AKLIPL(time，0，spline_1，0)

Motion2:AKLIPL(time，0，spline_2，0)

Motion3:AKLIPL(time，0，spline_3，0)

進(jìn)行20秒200步的運(yùn)動(dòng)仿真，可以得到自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)的動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡，即而得到了3-PRS的位姿正解，同時(shí)可得速度和加速度隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)，如圖4、5所示。

圖5 自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)的動(dòng)平臺(tái)的加速度時(shí)間歷程圖

在動(dòng)平臺(tái)上施加一個(gè)1000 N的負(fù)載，該負(fù)載方向始終垂直與地面，測(cè)量移動(dòng)副上的力隨時(shí)間的變化情況，如圖6所示。

圖6 自動(dòng)調(diào)平支撐機(jī)構(gòu)移動(dòng)副上的受力歷程圖

4 結(jié)論

本文介紹了兩轉(zhuǎn)動(dòng)一平移(2R1T)自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)的支撐機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方案，利用螺旋理論設(shè)計(jì)需要的機(jī)構(gòu)，運(yùn)用ADAMS進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析，不必花大量的時(shí)間和精力去計(jì)算，并且可以得到比較高的精度。通過(guò)虛擬樣機(jī)仿真得到機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性，為下一步自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)控制工作的開(kāi)展奠定了基礎(chǔ)。

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