王春茹，任學(xué)明，呂敏紅

(1．西安建筑科技大學(xué)華清學(xué)院，陜西西安710043;2．西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西西安710055;3．西安航空學(xué)院，陜西西安710077)

1 準(zhǔn)備知識

作為廣義正則半群的推廣，1997年，文獻(xiàn)［1］介紹了廣義Green＊＊-關(guān)系，如果 S是半群，對于任意a，bS，(a，b)L＊＊，當(dāng)且僅當(dāng)對于任意x，yS1，(ax，ay)R?(bx，by)R，其中，R是通常Green-關(guān)系中的R ．而且文獻(xiàn)［1］證明了L＊＊是半群S上的右同余．根據(jù)文獻(xiàn)［2］，我們給出wlpp半群的定義:

定義1［2］半群S稱為wlpp半群，如果滿足:

(i)S的每一個R＊＊類至少包含S中的一個冪等元．

定義2［2］設(shè)S是wlpp半群，如果對于任意x，yS1，x≠1 有 xey=xye，其中 eE(S)，則S稱為右-e wlpp半群．

引理1 如果半群S是右-e wlpp半群，則S的每一個R＊＊類包含唯一一個冪等元．

半群S中的R＊a＊-類中的唯一冪等元記為a?．因?yàn)镾是右-e wlpp半群，所以對任意aS，有 aa?=a=a?a．

引理2 如果S是右-e wlpp半群，則R＊＊是S上的一個同余．

證明 顯然 R＊＊是自反的、對稱的．先證明R＊＊是傳遞的．

再證明 R＊＊是相容的．設(shè)(a，b)R＊＊，a，bS，則 a?=b?．如果對任意 x，yS1，cS，有(xac，yac)L．因?yàn)?c，c?)R＊＊，則(xac?，yac?)=(xa?ac?，ya?ac?)L，即(xa?c?a，ya?c?a)L．又因?yàn)?a，b)R＊＊，所以 a?=b?，進(jìn)而(xa?c?b，ya?c?b)L，因此(xb?c?b，yb?c?b)=(xb?bc?，yb?bc?)，根據(jù)(c，c?)R＊＊，可得(xbc，ybc)L．

引理3 設(shè)S是一個右-e wlpp半群，對于任意a，bS，有(ab)?=a?b?．

定義3 令S為一個右-e wlpp半群，在S上定義關(guān)系 ρ:對于任意 a，bS，aρb 當(dāng)且僅當(dāng)存在 fE(b?)使得 a=fb．

引理4 令S為右-e wlpp半群，則上述的關(guān)系ρ是S上的同余．

其次證明 ρ 是傳遞關(guān)系．假設(shè) aρb，bρc，則E(a?)=E(b?)=E(c?)且 a=fb，b=gc(f，gE(b?)(=E(c?))．因?yàn)?E(b?)是一個左零帶，因此a=fb=f(gc)=fc．所以，ρ是S上的等價(jià)關(guān)系．

引理5 令S是一個右-e wlpp半群，如果對任意 a，bS，aL＊＊b，則 aρL＊＊s/ρbρ．

證明 如果 aR＊＊b，則對任意 x，yS1，xρ，yρ(S/ρ)1．由((xa)ρ，(ya)ρ)LS/ρ推出((xb)ρ，(yb)ρ)LS/ρ．

引理6 如果S是一個右-e wlpp半群，則

定義4［2］如果半群S的每一個R＊＊-類僅含有一個冪等元，并且S的所有冪等元是它的中心，則稱S是一個C-wlpp半群．

定理1 如果S是一個右-e wlpp半群，則ρ是半群S上的一個最小的C-wlpp半群同余關(guān)系．

證明 假設(shè)S是一個右 -e wlpp半群，則S/ρ是一個wlpp半群．再證S/ρ的每一冪等元是S/ρ的中心．任取xρS/ρ，eρE(S/ρ)，則 ex=exe=(ex?(xe))．因?yàn)?x?e)(ex?)=x?e，且 (ex?)(x?e)=ex?，所以 ex?E(x?e)=E((xe)?)．因此，由 ρ 的定義，可知(ex，xe)ρ，所以(xρ)(eρ)=(eρ)(xρ)．這就證明了S/ρ是一個C-wlpp半群．

最后證明ρ是半群S上的一個最小的C-wlpp半群同余關(guān)系．假設(shè)τ是半群S上的一個同余關(guān)系，則S/τ是一個 C-wlpp半群．設(shè)(a，b)ρ，則 a=fb(fE(b?))，因?yàn)?S/ρ 是一個 C-wlpp 半群，E(b?)是一個左零帶，則 aτ=fτb τ=(bb?)τfτ=b τ(b?f)τ=(bb?)τ=b τ，所以 ρ?τ．

2 主要結(jié)果

定理2 令S是一個半群，則下面結(jié)論等價(jià):(i)S是一個右-e wlpp半群．

(ii)S是C-wlpp半群和左正規(guī)帶關(guān)于半格Y的織積．

(iii)S是一個L右可消半群Mα×Eα的強(qiáng)半格．

證明 (i)?(ii)假設(shè)S是一個右-e wlpp半群．則S/ρ是一個C-wlpp半群，意味著S/ρ的冪等元在中心．據(jù)文獻(xiàn)［3］，S/ρ可表示為L-右可消幺半群Mα(αY)的強(qiáng)半格，記為:［Y;Mα;Φα，β］，其中Mα是 S/ρ 的R＊＊-類，Y=(S/ρ)/R＊＊．易得=JE(S)．因?yàn)镋(S)是一個左正規(guī)帶，所以E(S)=［Y;Eα;Φα，β］．其中，Y=E(S)E(S)是Eα的左零帶．于是構(gòu)造出S/ρ和E(S)關(guān)于半格Y的織積［4］，記為:T=∪αY(Mα×Eα)．其中 T上的乘法定義為:(m，i)·(n，j)=(mn，ij)，mn 是 S/ρ中m和n的乘積，ij是E(S)中i和j的乘積．

證明 S?T，先定義一個映射 θ:S→T，即sa(sρ，s?)．

(st)θ =(stρ，(st)?)=(sρ，s?)(tρ，t?)=(sθ)(tθ)，所以θ是同態(tài)映射．S同構(gòu)于C-wlpp半群和左正規(guī)帶關(guān)于半格Y的織積．

(ii)?(iii)．假設(shè)S=∪Mα×Eα是一個C-wlpp半群 M=［Y;Eα;Φα，β］和一個左正規(guī)帶 E=［Y;Mα;Φα，β］關(guān)于半格 Y 的織積［6］．則對任意 α，βY，α≥β，且(a，i)，(b，j)Mα×Eα，定義一個映射Φα，β:S→S，即:(a，i)Φα，β=(aΦα，β，iΨα，β)，其中Φα，β和 Ψα，β是關(guān)于 M 和 E 的結(jié)構(gòu)同態(tài)．假設(shè)(a，i)，(b，j)S，則

所以Φα，β是一個同態(tài)映射．顯然Φα，α是一個恒等映射．對任意 α，β，ρY，α≥β，β≥ρ，有 Φα，β·Φβ，ρ= Φα，ρ．設(shè)(m，k)Mα×Eα，(n，j)Mβ×Eβ，且記 ρ=α·β，則

因此，S是一個L右可消半群Mα×Eα的強(qiáng)半格．

(iii)?(i)．假設(shè)S是一個L右可消半群Mα×Eα的強(qiáng)半格，Φα，β是一個結(jié)構(gòu)同態(tài)，Sα=Mα×Eα．任取(a，i)E(S)，則存在 αY，使得(a，i)E(Sα)．因?yàn)?a，i)2=(a2，i)=(a，i)，顯然 a2=a(a，a2L(Mα))，所以(1α，a)L(Mα)，又因?yàn)镸α是L右可消幺半群，所以1α=ua(uMα)．因此 a=1αa=ua·a=ua2=ua=1α．所以 E(S)?∪{(1α，i):1α是Mα的一個恒等元，iEα}．反之亦然．所以E(S)=∪{(1α，i):1α是Mα的一個恒等元，iEα}．

因此

同理，得 abe=(aΦα，δ)(bΦβ，δ)(eΦρ，δ)=(xy，i)．

因此aeb=abe．所以S是一個右-e wlpp半群．

［1］TANG Xiangdong．On a theorem of C-wrpp semigroups［J］．Commun Algebra，1997，25(5):1499-1504．

［2］DU Lan，SHUM K P．On left C-wrpp semigroups［J］．Forum，2003，67:373-387．

［3］REN X M，DING X L，SHUM K P．A new structure theorem of left C-wrpp semigroups［J］．International Journal of Algebra，2007，1:41-49．

［4］TANG Xiangdong．Semilattice of L＊＊-simple semigroup［J］．Semigroup Forum，1998，57:37-41．

［5］THOMASW H．Algebra［M］．Seattle，Washington:Springer Press，1973．

［6］HOWIE J M．Fundamentals of semigroup theory［M］．Oxford:Clarendon Press，1995．