李亞亞，胡婭婭

（銀川能源學(xué)院，銀川 750105）

非完整統(tǒng)計(jì)在完全開(kāi)放系統(tǒng)中的概率分布

李亞亞，胡婭婭

（銀川能源學(xué)院，銀川 750105）

非完整統(tǒng)計(jì)是非廣延統(tǒng)計(jì)力學(xué)發(fā)展的一個(gè)分支。在簡(jiǎn)要介紹非完整統(tǒng)計(jì)思想的基礎(chǔ)上，根據(jù)最大熵原理，結(jié)合非完整熵推導(dǎo)了完全開(kāi)放系統(tǒng)中的概率分布和配分函數(shù)，以此分布可以直接得出其他實(shí)際可用的6種統(tǒng)計(jì)分布。這對(duì)研究多粒子體系的復(fù)雜物理系統(tǒng)提供理論依據(jù)。

非完整統(tǒng)計(jì)；概率分布；完全開(kāi)放系統(tǒng)

熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理是物理學(xué)的基礎(chǔ)理論之一，其研究對(duì)象是由大量微觀粒子組成的宏觀物體或者物體系。主要研究組成宏觀物體的大量粒子的熱運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及熱運(yùn)動(dòng)對(duì)物體宏觀性質(zhì)的影響，同時(shí)從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，對(duì)為什么能夠發(fā)生此類現(xiàn)象給予本質(zhì)的解釋。統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)可以分為兩個(gè)部分，即熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理，前者是熱現(xiàn)象的宏觀理論，后者是熱現(xiàn)象的微觀理論。這兩部分的研究對(duì)象相同，但觀點(diǎn)、方法不同，以實(shí)驗(yàn)事實(shí)總結(jié)得出4條定律的熱力學(xué)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法、經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯推理就可以得出系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)和各種宏觀性質(zhì)之間的關(guān)系，以及宏觀物理過(guò)程進(jìn)行的方向和限度。但是，熱力學(xué)理論只著眼現(xiàn)象的聯(lián)系而不考慮物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)，對(duì)熱運(yùn)動(dòng)規(guī)律不能做本質(zhì)的解釋。而統(tǒng)計(jì)物理是從物質(zhì)的微觀運(yùn)動(dòng)來(lái)闡明宏觀熱性質(zhì)的科學(xué)，它從系統(tǒng)是由大量微觀粒子組成這一事實(shí)出發(fā)，在合理的基礎(chǔ)上作出基本假設(shè)，揭示出大量粒子所特有的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。在對(duì)系統(tǒng)的微觀結(jié)構(gòu)作出某些假設(shè)之后，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)理論可以求出系統(tǒng)的具體性質(zhì)。當(dāng)然，由于對(duì)物質(zhì)結(jié)構(gòu)做了簡(jiǎn)化假設(shè)，理論的具體結(jié)論就帶有近似性〔1〕。

傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)（廣延統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)）經(jīng)過(guò)幾個(gè)世紀(jì)的發(fā)展，已經(jīng)非常完美。它的成功，使物理學(xué)發(fā)展到了一個(gè)前所未有的高度。人們用廣延統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)指導(dǎo)生產(chǎn)實(shí)踐和生活實(shí)踐，提高了社會(huì)勞動(dòng)效率，促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。但是，科學(xué)發(fā)展表明，任何理論都不是永恒不變的，都隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步而不斷發(fā)展，廣延統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)也不例外。近年來(lái)的研究表明：在存在長(zhǎng)程相互作用系統(tǒng)和長(zhǎng)時(shí)記憶效應(yīng)等系統(tǒng)，廣延統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)遇到了困難〔2-4〕。鑒于此，非廣延統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)就誕生了〔5〕。非廣延統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)作為一門新興的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)科，已成為國(guó)際研究的熱點(diǎn)，得到了各國(guó)基礎(chǔ)物理研究者的重視。所謂廣延量是指系統(tǒng)中的物理量是由構(gòu)成它的小系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)量的簡(jiǎn)單相加。如系統(tǒng)的體積、內(nèi)能、熵等。“非廣延”是針對(duì)“廣延”而言的，即系統(tǒng)中原來(lái)可以簡(jiǎn)單相加的物理量不再滿足簡(jiǎn)單的加法法則。其原因是，與高度理想化的廣延統(tǒng)計(jì)而言，非廣延統(tǒng)計(jì)模型的限制條件就比較寬松，更加接近真實(shí)世界〔4〕。換句話說(shuō)，非廣延統(tǒng)計(jì)物理是廣延統(tǒng)計(jì)物理的延伸和擴(kuò)展。

1988年，巴西物理學(xué)家C.Tsallis在對(duì)熵取最優(yōu)化的基礎(chǔ)上〔4-5〕，提出了非廣延熵的表達(dá)式，其中k是玻爾茲曼常量，pi為系統(tǒng)的第i個(gè)微觀態(tài)出現(xiàn)的概率，q為非廣延參數(shù)，w表示系統(tǒng)可能出現(xiàn)的微觀狀態(tài)數(shù)目。除此之外，還要再加上歸一化條件和內(nèi)能的限制條件。以這種非廣延熵為基礎(chǔ)建立的統(tǒng)計(jì)力學(xué)稱為非廣延統(tǒng)計(jì)力學(xué)，或廣義統(tǒng)計(jì)力學(xué)〔2，5〕。

目前，非廣延統(tǒng)計(jì)物理發(fā)展的分支除了有Tsallis統(tǒng)計(jì)，還有非完整統(tǒng)計(jì)，q-變形統(tǒng)計(jì)，卡帕統(tǒng)計(jì)，超統(tǒng)計(jì)等等。這些分支在世界各國(guó)都有不同程度的發(fā)展和重視〔6〕，幾乎涉及物理學(xué)的所有領(lǐng)域，比如包含長(zhǎng)程相互作用的自引力系統(tǒng)〔7〕等。

1 非完整統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)介

在統(tǒng)計(jì)物理中，只要知道了系統(tǒng)的所有微觀可能狀態(tài)數(shù)之后，根據(jù)其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，便可求得概率分布函數(shù)和配分函數(shù)，而相應(yīng)的熱力學(xué)量便是所有微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值。但是由于系統(tǒng)內(nèi)粒子與粒子之間相互作用的復(fù)雜性等其它因素的影響，無(wú)法準(zhǔn)確統(tǒng)計(jì)可能出現(xiàn)的微觀態(tài)，即不能精確得到概率分布函數(shù)和配分函數(shù)，導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)信息不完全。利用哈密頓正則方程（經(jīng)典系統(tǒng)）或薛定諤方程（量子系統(tǒng)），如果能精確解得系統(tǒng)的微觀狀態(tài)或?qū)?yīng)的概率，說(shuō)明系統(tǒng)信息統(tǒng)計(jì)完全，這時(shí)就稱為完整統(tǒng)計(jì)。所對(duì)應(yīng)的概率分布為{pi}，pi表示第i個(gè)微觀狀態(tài)的概率，i=1，2，3，…，w。如果不能精確解得系統(tǒng)的微觀狀態(tài)或?qū)?yīng)的概率，這時(shí)統(tǒng)計(jì)信息就不完整，所對(duì)應(yīng)的概率分布為{p’i}，p’i表示第i個(gè)微觀狀態(tài)的概率，i=1，2，3，…，v。其中v可能大于w，v也可能小于w。把這時(shí)的概率分布就稱為非完整概率分布。于是，2001年Q.A.Wang〔8〕提出了非完整統(tǒng)計(jì)，且對(duì)Tsallis熵歸一化條件進(jìn)行修改后引入非完整熵，同時(shí)對(duì)Shannon熵進(jìn)行了變形，應(yīng)用到復(fù)雜的物理系統(tǒng)，對(duì)解決理想氣體的多體問(wèn)題〔4〕，系統(tǒng)的熱力學(xué)問(wèn)題和非歸一化問(wèn)題〔8〕提供依據(jù)等。

上式中，k是玻爾茲曼常數(shù)。當(dāng)q=1時(shí)，就回到傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)力學(xué)。

非完整統(tǒng)計(jì)如同Tsallis統(tǒng)計(jì)，已發(fā)展成為非廣延統(tǒng)計(jì)力學(xué)的一個(gè)分支，成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)，受到統(tǒng)計(jì)物理研究者的重視，尤其在研究粒子之間具有復(fù)雜相互作用的多粒子系統(tǒng)，相空間表現(xiàn)為分形或混沌結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，以及考慮邊緣效應(yīng)的系統(tǒng)等。

2 基于非完整熵在完全開(kāi)放系統(tǒng)中的概率分布

下面主要推導(dǎo)非完整熵在完全開(kāi)放系統(tǒng)中的概率分布。所謂完全開(kāi)放系統(tǒng)，就是與外界既交換能量又做功且可交換粒子數(shù)的系統(tǒng)。在完全開(kāi)放系統(tǒng)中，當(dāng)系統(tǒng)和源達(dá)到平衡后，相應(yīng)的平均值N、E、V都是一定的，則應(yīng)有：

顯然，這與Tsallis統(tǒng)計(jì)中在完全開(kāi)放系統(tǒng)的熵的結(jié)果是不同的〔6〕。

根據(jù)（3）、（4）、（5）式，可以計(jì)算出熱力學(xué)量的表達(dá)式：

式（9）（10）是非完整統(tǒng)計(jì)在完全開(kāi)放系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分布（稱為IsN-E-V分布）和廣義配分函數(shù)。根據(jù)統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性，一旦知道了系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分布，便可計(jì)算系統(tǒng)的熱力學(xué)量，這就是有用性的體現(xiàn)。

3 其余系綜中的統(tǒng)計(jì)分布

3.1 E-V分布若系統(tǒng)和熱源之間只有力的和熱的相互作用，可以忽略系統(tǒng)的粒子數(shù)漲落而認(rèn)為系統(tǒng)各微觀態(tài)的粒子數(shù)N不變。在系統(tǒng)和源達(dá)到平衡后，相應(yīng)的平均值E、V都是一定的，這便是E-V分布。根據(jù)非完整統(tǒng)計(jì)思想，結(jié)合（4）、（5）、（6）、（7）式，根據(jù)最大熵原理，我們所求的統(tǒng)計(jì)分布應(yīng)使非完整熵在約束下取極值。

很顯然，當(dāng)q=1時(shí)，就回到傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)力學(xué)。

如果系統(tǒng)與源之間的相互作用只有兩種或者一種，那么由（3）、（4）、（5）式表示的統(tǒng)計(jì)平均值就會(huì)相應(yīng)的減少一個(gè)或者兩個(gè)。采用與推導(dǎo)IsN-E-V分布相同的步驟，就可得到其他幾種分布。由于篇幅限制，不必重復(fù)推導(dǎo)過(guò)程，可以直接從IsN-E-V分布出發(fā)，給與特殊條件，得出剩余5種分布。

3.2 N-V分布當(dāng)系統(tǒng)與源之間僅有力相互作用和粒子交換，而系統(tǒng)各微觀態(tài)的能量保持一定值E，即可得到N-V分布。在（9）式中無(wú)右端的第三項(xiàng)，即：

當(dāng)Zq（α，κ）已知時(shí)，系統(tǒng)的熱力學(xué)量可以通過(guò)對(duì)Zq（α，κ）求導(dǎo)數(shù)和四則運(yùn)算得到。

3.3 N-E分布當(dāng)系統(tǒng)與外界之間不僅有粒子交換，還有熱交換時(shí)，這里忽略體積的漲落而認(rèn)為系統(tǒng)的各微觀態(tài)的體積具有一個(gè)固定值V，即可得到N-E分布。即（9）式中無(wú)右端的第四項(xiàng)，概率分布為：

3.4 E分布若系統(tǒng)與環(huán)境之間只有熱交換，這里忽略系統(tǒng)的粒子數(shù)漲落和體積漲落而認(rèn)為各微觀態(tài)的粒子數(shù)和體積取一定值N、V，在（9）式中無(wú)右端的第二、四項(xiàng)，就能得到E分布。

若系統(tǒng)與環(huán)境之間只有粒子數(shù)交換，這里忽略系統(tǒng)的能量漲落和體積漲落而認(rèn)為各微觀態(tài)的能量和體積取一定值E、V，就能得到N分布；若系統(tǒng)與環(huán)境之間只有力相互作用，這里忽略系統(tǒng)的粒子數(shù)漲落和能量漲落而認(rèn)為各微觀態(tài)的粒子數(shù)和能量取一定值N、E，就能得到V分布。相應(yīng)N分布，V分布的概率函數(shù)和配分函數(shù)便可直接從（9）式改寫(xiě)，這里不在贅述。

4 總結(jié)

不管是廣延統(tǒng)計(jì)力學(xué)，還是后來(lái)由C.Tsallis等人建立起來(lái)了非廣延統(tǒng)計(jì)力學(xué)（也稱廣義統(tǒng)計(jì)力學(xué)）都是以微正則系綜、正則系綜和巨正則系綜為研究對(duì)象，缺少完全開(kāi)放系綜（統(tǒng)），原因是還沒(méi)有完全開(kāi)放系統(tǒng)的概率分布函數(shù)（統(tǒng)計(jì)分布）。完全開(kāi)放系統(tǒng)是自然界中最普遍存在的系統(tǒng)，其它系統(tǒng)只是完全開(kāi)放系統(tǒng)的特殊情況。所以，研究完全開(kāi)放系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分布就非常有必要，本文根據(jù)非完整統(tǒng)計(jì)的思想，基于非完整熵推導(dǎo)了完全開(kāi)放系統(tǒng)的概率分布和配分函數(shù)，且依據(jù)該分布可得出其他6種有用的統(tǒng)計(jì)分布，對(duì)研究多粒子體系的復(fù)雜物理系統(tǒng)提供理論依據(jù)。

〔1〕張奎，李鶴齡.統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)〔M〕.銀川：寧夏人民出版社，1999：1-7.

〔2〕曹克非，王參軍.Tsallis熵與非廣延統(tǒng)計(jì)力學(xué)〔J〕.云南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，27（6）：514-520.

〔3〕王素云.非廣延統(tǒng)計(jì)中離子聲波的不穩(wěn)定性的研究〔D〕.天津：天津大學(xué)，2008.

〔4〕歐聰杰.非廣延統(tǒng)計(jì)物理中的四個(gè)基本問(wèn)題與廣義量子氣體的熱力學(xué)性質(zhì)〔D〕.廈門：廈門大學(xué)，2006.

〔5〕Tsallis C.Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics〔J〕.J Stat Phys，1988，52（1-2）：479-487.

〔6〕Li Heling，Xiong Ying，Li Yaya.The Tsallis statistical distribution in completely open system〔J〕.Physica A，2011，390（15）：2769-2775.

〔7〕Henry E Kandrup.Mixing and“violent relaxation”for the one-dimensional gravitational Coulomb gas〔J〕.Phys Rev A，1989，40（12）：7265-7274.

〔8〕Wang Qiuping A.Incomplete statistics and nonextensive generalizations of statistical mechanics〔J〕.Chaos，Solitons and Fractals，2001（12）：1431-1437.

The Probability Distribution of Incomplete Statistics in Completely Open Systems

LI Yaya，HU Yaya
（College of Yinchuan Energy,Yinchuan 750105,China）

A branch of the development of the nonextensive statistics is incomplete statistics.In this paper,the idea of nonextensive statistics is introduced briefly.According to the maximum entropy principle,the probability distribution based on the incomplete entropy is deduced in the completely open system,and the other six actual usable probability distributions can be obtained directly from it,which have provided theoretical basis for studying the particle system of complex physical systems.

incomplete statistics；probability distribution；completely open system

0414

A

1672-2345（2013）04-0033-04

2012-10-24

2013-01-18

李亞亞，碩士研究生，主要從事反常統(tǒng)計(jì)物理研究.

（責(zé)任編輯 袁 霞）

10.3969/j.issn.1672-2345.2013.04.009