肖帥帥

（上海海事大學(xué)商船學(xué)院，中國(guó)上海201306）

0 引言

船舶航行的軌跡是船東監(jiān)測(cè)船舶營(yíng)運(yùn)的重要指標(biāo)。船舶偏離計(jì)劃軌跡可能給船舶航行帶來(lái)危險(xiǎn)，然而船舶在海上航行受海浪、海風(fēng)及海流等環(huán)境擾動(dòng)的影響力作用較大，所以如何對(duì)給定的一段航行軌跡有所偏差，在不能及時(shí)發(fā)覺(jué)時(shí)，可能會(huì)使船舶偏離船舶航行的軌跡。

插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，它來(lái)自于生產(chǎn)實(shí)踐。 早在一千多年前，我國(guó)數(shù)學(xué)家在研究歷法上就應(yīng)用了線性插值與二次插值，但它的基本理論和結(jié)果卻是在微積分產(chǎn)生之后才逐步完善的，其應(yīng)用也日益增多，特別是在電子計(jì)算機(jī)廣泛使用以后，由于航空、造船、航海等實(shí)際問(wèn)題的需要，使插值法在實(shí)踐上或理論上顯得更為重要，并得到進(jìn)一步發(fā)展，更獲得了廣泛的應(yīng)用[1]。船舶AIS 數(shù)據(jù)大量且長(zhǎng)時(shí)間保存AIS 信息需要很大的儲(chǔ)存空間，這使實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)航行的軌跡帶來(lái)很大不便。當(dāng)只知道船舶航行的幾個(gè)點(diǎn)后，用插值法推算航行的航跡，船東可以隨時(shí)觀察船舶是否按規(guī)定的軌跡航行。監(jiān)測(cè)船舶航跡目的是了解和掌握某個(gè)水域內(nèi)的船舶交通狀況和船舶行為規(guī)律，通過(guò)返回的若干離散的船舶航行軌跡點(diǎn)來(lái)繪制船舶航行曲線。 針對(duì)此，通過(guò)數(shù)值分析方法來(lái)處理船舶航行返回的離散數(shù)據(jù)。

針對(duì)船舶航行情況，本文在數(shù)值分析的基礎(chǔ)上，提出一種基于拉格朗日和牛頓差值推算船舶航行的軌跡，仿真實(shí)驗(yàn)證明該方法能有效地推算船舶航行中的軌跡。

1 理論分析

1.1 獲取船舶位置的AIS 信息

圖1 水域中船舶航行軌跡點(diǎn)

AIS 的信息包括靜態(tài)信息、動(dòng)態(tài)信息、與航次有關(guān)的信息、與安全有關(guān)的短電文、AIS 船舶報(bào)告。主要使用靜態(tài)信息和動(dòng)態(tài)信息。動(dòng)態(tài)信息包括船位及其精度標(biāo)示和完好性狀態(tài)；協(xié)調(diào)世界時(shí)UTC 標(biāo)記的定位時(shí)間、船舶的對(duì)地航向（COG）、對(duì)地航速、航行狀態(tài)和旋回速率。 其中包括交通流量、速度和占有率。 主要包括海上移動(dòng)通信業(yè)務(wù)標(biāo)識(shí)（mmsi）、航速（speed，單位“kn”）、經(jīng)度（lon，單位“′”）、緯度（lat，單位“′”）、艏向（heading，單位“（°）”）、船長(zhǎng)（length，單位“m”）、船寬（width，單位“m”）[7]。

顯然，船舶的航行曲線是一條連續(xù)不間斷的航線。 因此在給定的一個(gè)區(qū)域內(nèi)船舶航跡雖只給出一些離散點(diǎn)（如圖1 所示），我們?nèi)钥赏ㄟ^(guò)數(shù)值分析中的插值法來(lái)推算完整的航跡。

圖1 為船舶在水域返回的若干航行軌跡點(diǎn)，對(duì)此數(shù)據(jù)下面我們引入拉格朗日插值法來(lái)處理。

1.2 拉格朗日插值簡(jiǎn)介

設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上有定義，且已知在點(diǎn)a≤x0＜x1＜…

成立，就稱P（xi）為f（x）的插值函數(shù)，點(diǎn)x0，x1，…，xn稱為插值節(jié)點(diǎn)，求插值函數(shù)P（xi）的方法稱為插值法。 若P（xi）是次數(shù)不超過(guò)n 的代數(shù)多項(xiàng)式，即

就稱P（xi）為插值多項(xiàng)式。

圖2 水域中船舶航行軌跡線

從幾何上看，插值法就是求曲線y=P（xi）使其通過(guò)給定的n+1 個(gè)點(diǎn)（xi，yi），i＝0，1，…，n，并用它近似已知曲線y=f（x）。

下面給出拉格朗日插值公式：

其中

ωn＋1（x）=（x－x0）（x－x1）…（x－xn）

利用已知的船舶航行數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)，根據(jù)拉格朗日插值法可繪制出如圖2 曲線[5]。

1.3 誤差估計(jì)

考慮在一個(gè)固定的區(qū)域內(nèi)插值去逼近船舶的航行路線，顯然拉格朗日插值中使用的點(diǎn)越多，插值多項(xiàng)式的次數(shù)就越高。 而并不是因此繪制出的航跡就越準(zhǔn)確，同時(shí)隨著插值節(jié)點(diǎn)的增多，需要記錄存儲(chǔ)的船舶航跡點(diǎn)就越多。 下面是Runge 給出的一個(gè)例子。

考慮在區(qū)間-1≤x≤1 上的函數(shù)：

構(gòu)造等距節(jié)點(diǎn)上的拉格朗日插值多項(xiàng)式。當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加時(shí)，插值多項(xiàng)式的次數(shù)隨之而增加。 在Matlab 上運(yùn)行程序可發(fā)現(xiàn)當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增多時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果并非越來(lái)越好，這一現(xiàn)象如今已得到越來(lái)越多人的關(guān)注。

值得提出的是，隨著船舶返回的節(jié)點(diǎn)的增加，又得重新進(jìn)行拉格朗日插值工作，計(jì)算量可想增大。 因此在拉格朗日插值的基礎(chǔ)上引入牛頓插值來(lái)解決這一缺憾。

2 牛頓插值

2.1 均差

利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日插值多項(xiàng)式，擔(dān)當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個(gè)公式也將發(fā)生變化，這在實(shí)際計(jì)算中很不方便，為了克服這一點(diǎn)，可把插值多項(xiàng)式表示如下便于計(jì)算的形式：

其中a0，a1，…，an為待定系數(shù)，可有插值條件確定。

表1 均差表

2.2 牛頓插值公式

根據(jù)均差定義，把x 看成[a，b]上的一點(diǎn)，可推得牛頓均差公式為[4]：

Nn（x）=f（x0）+f[x0，x1]（x－x0）+…f[x0，…，xn]（x－x0）…（x－xn-1）

圖3 水域中船舶航行軌跡線

它比拉格朗日差值計(jì)算量省，且便于程序設(shè)計(jì)。 對(duì)于船舶航行提供的若干點(diǎn)可以方便的繪制出船舶航行曲線， 同時(shí)當(dāng)節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，前面的工作可以為后面的計(jì)算提供幫助，大大節(jié)省了計(jì)算量。 而對(duì)于插值結(jié)果，它們兩個(gè)所得到的船舶航行軌跡線是是相同的，如圖3 所示。

2.3 精度檢驗(yàn)

檢測(cè)精度的計(jì)算公式：中誤差按下列公式計(jì)算。

式中：M檢——中誤差

n——檢測(cè)點(diǎn)數(shù)

△——平面較差

選取實(shí)際部分點(diǎn)與插值生成后的點(diǎn)數(shù)據(jù)誤差比較如表2：

表2 誤差統(tǒng)計(jì)表

由此可以看出牛頓插值可以用來(lái)較好的推算船舶運(yùn)行航跡。

實(shí)際船舶航行的曲線與經(jīng)過(guò)牛頓插值推算后的曲線比較如圖4。

圖4 航行軌跡與推算航跡

3 結(jié)論

本文對(duì)船舶航跡推算所涉及到的數(shù)值分析方法進(jìn)行了分析和論證，設(shè)計(jì)了基于插值法對(duì)船舶航行軌跡推算算法。 理論分析了插值法解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)及誤差分析，并給出了相關(guān)公式，對(duì)相關(guān)理論進(jìn)行了Matlab 仿真，通過(guò)分析得到以下結(jié)論：拉格朗日插值法在處理船舶航行節(jié)點(diǎn)時(shí)有簡(jiǎn)單之處，但隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，計(jì)算量也大大增加。 運(yùn)用牛頓插值推算船舶航跡相比拉格朗日差值計(jì)算量大大減小，而且有較高的精度，得出了數(shù)值分析推算船舶航行軌跡的可行性。 可以推算船舶航行過(guò)的航跡，船東可以根據(jù)少量的數(shù)據(jù)點(diǎn)，清晰地了解船舶在海上運(yùn)動(dòng)的連續(xù)軌跡，并且也可以根據(jù)它推算出船舶在繼續(xù)航行的前方是否存在危險(xiǎn)，對(duì)事故的鑒定與預(yù)防有很重大的意義。 用此方法推算船舶航行軌跡有重大的參考意義。

［1］李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.

［2］吳兆麟.海上交通工程[M].大連：大連海事大學(xué)出版社，2004.

［3］白峰杉.數(shù)值計(jì)算引論[M].北京：高等教育出版社，2004.

［4］李慶揚(yáng)，關(guān)治，白峰杉.數(shù)值計(jì)算原理[M].北京：清華大學(xué)出版社，2000.

［5］劉衛(wèi)國(guó).MATLAB 程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2006.

［6］李慶揚(yáng)，關(guān)治，白峰杉.數(shù)值計(jì)算原理[M].北京：清華大學(xué)出版社，2000.

［7］林袆珣.數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)在海上交通特征分析中的應(yīng)用研究[D].集美大學(xué)，2011，6.