陳仁新

（湖南科技大學商學院 湖南·湘潭 411201）

邊際替代率是微觀經(jīng)濟學和國際貿(mào)易學等經(jīng)濟學類課程中的一個重要概念。以國際貿(mào)易理論而論，邊際替代率是理解比較優(yōu)勢理論、絕對優(yōu)勢理論以及現(xiàn)代貿(mào)易理論中關(guān)于規(guī)模經(jīng)濟的理論的一個基礎(chǔ)性概念。但筆者在教學中發(fā)現(xiàn)，學生對邊際替代率的理解比較膚淺。所以，根據(jù)古代算題“百錢百雞”問題，設(shè)計了一個“聰明女兒”的故事，作為教學案例。通過對該案例的運用與討論，加深學生對邊際替代率的理解。

一、邊際替代率及其教學案例

（一）邊際替代率的概念

邊際替代率（Marginal rate of substitution）是指消費者在保持相同的滿足程度或維持效用不變的情況下，增加一單位某種商品的消費數(shù)量時所需要的放棄的另一種商品的消費數(shù)量。

它衡量的是，從無差異曲線上的一點轉(zhuǎn)移到另一點時，為保持滿足程度不變，兩種商品之間的替代比例。邊際替代率是一個點概念，即其在無差異曲線上的各點取值不同。在無差異曲線上任一點的邊際替代率等于該點上無差異曲線的斜率的絕對值。

邊際替代率取值為負，是因為要保證效用水平的不變，在增加一種商品X消費數(shù)量的同時，必須減少對另一種商品Y的消費數(shù)量。隨著對X消費數(shù)量的不斷增加，由于該商品所能帶來的邊際效用不斷減少，增加一單位的X商品所能替代的Y商品的數(shù)量不斷減少。也即消費者為了得到一個單位的X所愿意放棄的商品Y的數(shù)量不斷減少。這也就是邊際替代率遞減規(guī)律。

但對于完全替代的兩種商品，它們之間的邊際替代率為一常數(shù)，這時無差異曲線為一直線，斜率不變。這種情形表明消費者關(guān)心的是兩種商品的總數(shù)量，而非其差異。下面的案例就是這種情形。

（二）教學案例：“聰明女兒”的故事

從前一個媽媽很勤勞，很愛養(yǎng)雞。一天，她對她女兒說，“女兒啊，現(xiàn)在市面上有小雞可買了，你給我去買一些雞回來?！眿寢尳唤o女兒100元錢，要她買100只雞回來。當時，市面上的公雞一只值5元錢，母雞一只值3元錢，小雞呢，三只才要1元錢。但是媽媽要求不能只買小雞，因為她覺得，當時公雞和母雞的價格也很合算。這個女兒很聰明，知道雖然只有100元錢，但是媽媽心里自然愿意要多買大雞的。為了能夠多買大雞，她當然是把這100元全花掉，然后很快就算出來了每種雞應(yīng)該購買的數(shù)量。別小看這個題，這可是曾經(jīng)難住過好多人的古代算題。當時的人也不像現(xiàn)代人懂代數(shù)，全憑心算。就算現(xiàn)代人，以中學數(shù)學教學內(nèi)容而言，也是很難解答這個問題的，因為這里有三個未知數(shù)，但是只有兩個條件，屬于“不定方程”的內(nèi)容，不在中學教學內(nèi)容的基本要求中。但我們追蹤一下中國傳統(tǒng)算法，就會知道，聰明女兒已經(jīng)懂得經(jīng)濟學里關(guān)于邊際替代率的原理，原來是使用了經(jīng)濟學原理在解題呢。

二、對教學案例的分析與運用

（一）教學案例中的經(jīng)濟學概念

這個教學案例中主要使用兩個經(jīng)濟學概念，一是邊際替代率，另一個是約束條件下的決策優(yōu)化問題。

首先，因為預(yù)算約束是已知的，一共就100元錢，為了能讓媽媽滿意，盡量多買大雞，當然是把錢全花掉。這是約束條件下的決策優(yōu)化問題。

其次，如果沒有要求買100只雞的話，這是一個幼兒園小朋友都會算的問題，就買20只公雞得了，正好100元。但如果要求買100只雞，怎么辦呢？女兒是這樣想的，100元可以買20只公雞，但是，公雞5元一只，母雞3元一只，小雞3只1元，母雞和小雞便宜一些，按照價值相等的原理，把其中的部分公雞換成母雞和小雞，這樣雞的數(shù)量就會增加，就可能湊成100只雞。這就是邊際替代的原理，其中需要使用邊際替代率的概念。

（二）教學案例的運用

我們來追蹤一下聰明女兒的解法。

首先，由于公雞5元一只，母雞3元一只，小雞3只1元，可以得知，公雞對小雞的邊際替代率是15，母雞對小雞的邊際替代率是9。換言之，把一只公雞換成小雞，可換15只；把一只母雞換成小雞，可換9只。所以，在把一只公雞換成15只小雞時，買雞的錢沒增加，但雞的數(shù)量增加了14只；而把一只母雞換成9只小雞時，買雞的錢數(shù)同樣也保持不變，但雞的數(shù)量增加了8只。把公雞換成母雞的話雞的數(shù)量也同樣有增加，由于公雞對母雞的邊際替代率是5／3，所以可以用3只公雞換5只小雞，這時買雞的總錢數(shù)（也就是第一段邊際替代率概念中的總效用）同樣也沒有變化，但雞的數(shù)量增加了2只。需要注意的是，我們這里的邊際替代率都是常數(shù)。

其次，我們在滿足“100元錢”這個約束條件下，思考如何滿足“100只雞”的問題。

我們從先買20只公雞出發(fā)，通過把部分公雞換成母雞和小雞來湊成100只雞。由于100元錢是買20只公雞，雞的數(shù)量離要求的100只還差80只。讓雞的數(shù)量增長最快的辦法是把公雞換成小雞。一只公雞換成小雞的話可以增加14只雞，所以首先把5只公雞換成75只小雞，這時公雞15只，小雞75只，雞的數(shù)量增加70只，達到90只，還應(yīng)該增加10只。

接下來，讓雞的數(shù)量增長次快的辦法，是把母雞換成小雞。一只母雞換9只小雞，雞的數(shù)量增加8只，還差2只；把3只公雞換成5只母雞，正好增加2只，100只雞湊成。當然，合理的說法是，先把3只公雞換成5只母雞，這時雞增加2只，再把1只母雞換成小雞，這時再增加8只，湊成100只。這時，公雞12只，母雞4只，小雞84只。

在“公雞15只，小雞75只”時，我們當然也可以考慮用讓雞的數(shù)量增長最慢的辦法，即一次交換中用3只公雞換5只母雞，每次增加2只，只要做5次交換就能增加10只，從而滿足100只的要求。這時，母雞25只，小雞還是75只，公雞0只！如果沒買公雞，媽媽可能覺得不滿意，但這也滿足“100元錢100只雞”這兩個條件啊。

在“公雞15只，小雞75只”時，我們還可以考慮做2次、3次或者4次“用3只公雞換5只母雞”的交換。分析如下：

（1）考慮做2次“用3只公雞換5只母雞”的交換。用6只公雞換10只母雞，雞數(shù)增加4只，還差6只。6是14和8的差，所以再用1只公雞換成15只小雞，并用9只小雞換1只母雞。這時公雞8只，母雞11只，小雞81只。

（2）考慮做3次“用3只公雞換5只母雞”的交換。用9只公雞換15只母雞，這時雞數(shù)增加6只，還差4只。 4＝14×2－8×3，所以可以這樣做，用 2 只公雞換 30只小雞，再用27只小雞換3只母雞。這時，公雞4只，母雞18只，小雞78只。

（3）考慮做4次“用3只公雞換5只母雞”的交換，用12只母雞換20只母雞，這時雞數(shù)增加8只，還差2只，繼續(xù)把剩下的3只公雞換成5只母雞，公雞0只，母雞25只，小雞75只。

這樣，我們知道，所有可能的答案是四組：公雞12只，母雞4只，小雞84只；或者公雞8只，母雞11只，小雞81只；或者公雞4只，母雞18只，小雞78只；或者公雞0只，母雞25只，小雞75只。聰明女兒肯定是找到了這四組答案中的一個，而且善解人意的她很可能知道媽媽對下蛋母雞的偏愛，她買的是4只公雞，18只母雞，78只小雞。

三、啟示

通過“聰明女兒”的故事，我們得到以下幾點啟示：

（一）傳統(tǒng)算題中含有豐富的經(jīng)濟學智慧，值得我們?nèi)ラ_掘

“百錢百雞”問題是我國古代數(shù)學家張丘建所編的題，見于他所著的《算經(jīng)》，原文是：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁母雛各幾何？”我們將其改編為一個“聰明女兒”的故事，運用邊際替代率、規(guī)劃優(yōu)化等經(jīng)濟學概念，將其非常巧妙地解答出來。古人設(shè)題，通常只附有非常簡明的解法，具體他是如何想的，后人難以知道。比如張丘建自己所擬的解答是：“術(shù)曰：雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三，即得。答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞雛七十八，值錢二十六；又答：雞翁八，值錢四十；雞母十一，值錢三十三；雞雛八十一，值錢二十七；又答：雞翁十二，值錢六十；雞母四，值錢十二；雞雛八十四，值錢二十八?！逼浣夥芍^語焉不詳。筆者曾經(jīng)學習《中算導論》課程，得知中國傳統(tǒng)算法不僅講究解題技巧，同時講究解題思路的實際意義，所以如果所設(shè)題目涉及經(jīng)濟與日用生活時，其解法通常就具有經(jīng)濟學意義。

（二）案例教學對培養(yǎng)經(jīng)濟學運用能力具有至關(guān)重要的意義

邊際替代率是一個艱深的經(jīng)濟學概念，是一般均衡論和帕累托最優(yōu)理論的基礎(chǔ)概念，在很多經(jīng)濟學課程中都有運用。西方經(jīng)濟學家傾向于運用越來越深奧的高等數(shù)學來進行闡述，不要說很多學生學習了之后感覺云里霧里，就是一些老師也感覺現(xiàn)代西方經(jīng)濟學者的論著有如天書。原因可能還在于我們對這些概念運用得太少。通過案例討論來運用經(jīng)濟學概念、培養(yǎng)運用經(jīng)濟學原理解決實際問題可能是一個方便的法門。以“聰明女兒”的故事而言，我們把“公雞5元一只，母雞3元一只，小雞3只一元”解釋成“公雞對小雞的邊際替代率是15，母雞對小雞的邊際替代率是9”，可謂是對邊際替代率的簡單、形象的解釋；運用邊際替代的辦法求解，可謂是深合人們?nèi)粘Ｓ嬎愕膶嶋H，非常巧妙而實用?！鞍馘X百雞”問題也可以從先滿足“百雞”再通過邊際替代的辦法求解，可以想象為一個只想從媽媽那里撈點好處的兒子去幫媽媽買雞的故事，首先想到的是買99只小雞和1只母雞，以便省點錢來買零食，但當媽媽要求買雞的錢必須滿100元時，只好通過用公雞、母雞換小雞的辦法來增加雞的價值，最終滿足100元的要求，同樣也可以很方便很巧妙的解出來，在此就不再贅述。

（三）要重視從不同學科中吸收經(jīng)濟學教學案例

經(jīng)濟學屬于社會科學，更是一門與日用生活息息相關(guān)的學問。如果能夠在實際生活中或者其他學科中選擇與設(shè)計案例，就可能激發(fā)學生學習興趣，從而引導他們走入經(jīng)濟學理論之門，并登堂入室。

［1］楊君昌.微觀宏觀經(jīng)濟學［M］.立信會計出版社，1998.40－44.

［2］張守一.對一般均衡論和帕累托最優(yōu)的新解釋［J］.經(jīng)濟問題，2010（11）.

［3］鄒樓海.一次愉悅的數(shù)學課外活動——百錢百雞問題的多種解法［J］.數(shù)學通訊，2010（10）.

［4］林即.趣題“百錢買百雞”［J］.湖南教育，2009（10）.

［5］黃建偉.案例教學與創(chuàng)新思維能力并重——經(jīng)濟學教學方法探微 ［J］.上海工程技術(shù)大學教育研究，2008（3）.