羅躍綱，吳 斌，胡紅英，馮長建

(大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院，遼寧大連116605)

轉(zhuǎn)軸裂紋損傷是旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)常見的故障之一，其產(chǎn)生的原因主要是由于材料本身的缺陷、加工誤差、安裝失誤、意外沖擊或疲勞破損等［1］。在機(jī)組運(yùn)行過程中，若激振力頻率和軸系扭振自振頻率相近或重合(如在超臨界轉(zhuǎn)速或超超臨界轉(zhuǎn)速時)，就會誘發(fā)共振，進(jìn)而造成原有裂紋進(jìn)一步加深或者因振動應(yīng)力過大使得軸系上產(chǎn)生更多的裂紋損傷，最后甚至?xí)疠S的斷裂。轉(zhuǎn)軸裂紋損傷故障是旋轉(zhuǎn)機(jī)械后果最嚴(yán)重而又最難及時發(fā)現(xiàn)的故障，對旋轉(zhuǎn)機(jī)械的安全運(yùn)行危害性非常大，根據(jù) Muszynska［2］統(tǒng)計，在上世紀(jì)70年代，北美地區(qū)曾發(fā)生了近30起由于轉(zhuǎn)軸裂紋引起的機(jī)械設(shè)備事故，造成了巨大的經(jīng)濟(jì)損失。因此研究裂紋損傷轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性和故障機(jī)理，提高旋轉(zhuǎn)機(jī)械的可靠性與穩(wěn)定性，可以為旋轉(zhuǎn)機(jī)械的綜合設(shè)計與控制、故障診斷與預(yù)防等提供堅實的理論依據(jù)和技術(shù)保障，具有十分重要的科學(xué)意義和實用價值。

1 轉(zhuǎn)軸裂紋損傷故障研究現(xiàn)狀

1.1 裂紋損傷轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性特性分析方法研究

早期分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性特性的方法主要是傳統(tǒng)的諧波平衡法、小參數(shù)法、多尺度法、平均法和等價線性化法等近似解析方法，這些方法對二自由度以上的系統(tǒng)分析起來已經(jīng)非常復(fù)雜，且無法分析系統(tǒng)的混沌響應(yīng)。對超過4個自由度以上的高自由度系統(tǒng)，除了數(shù)值積分法以外，還沒有更好的分析方法。鑒于帶有裂紋損傷的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有高自由度和強(qiáng)非線性的特性，數(shù)值計算方法是目前分析系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)唯一有效的研究方法。對用微分方程控制的動力系統(tǒng)，求解其穩(wěn)態(tài)解的數(shù)值方法主要有參數(shù)延拓法、增量諧波平衡法以及延拓法與打靶法、諧波平衡法等的復(fù)合算法。求自治系統(tǒng)的平衡點可以歸結(jié)為一個非線性代數(shù)方程組的求解問題，在非奇異點可以用牛頓迭代法求解。為了提高算率，人們先后提出了許多求解非線性系統(tǒng)周期解的方法。將穩(wěn)態(tài)周期解求解問題轉(zhuǎn)化為常微分方程兩點邊值問題求解的思想由來已久，1957年Urabc就給出了一種計算步驟［3］。凌復(fù)華［4］較為全面地發(fā)展和論述了打靶法，并將打靶法用于求解分段線性非線性系統(tǒng)。對周期非自治系統(tǒng)，打靶法不僅可以計算出穩(wěn)定周期解，還能得到系統(tǒng)的不穩(wěn)定周期解。對自治系統(tǒng)將周期看作未知量，對打靶法稍進(jìn)行改進(jìn)即可與非自治系統(tǒng)一樣求解。關(guān)于延拓法，1983年Kubicek和Marek出版了一本專著［5］，先用延拓法求得周期解的一個近似，再用打靶法提高精度，則形成打靶延拓法。Dooren［6-7］詳細(xì)討論了打靶法和延拓法的理論基礎(chǔ)及實際應(yīng)用問題。

1.2 裂紋剛度模型研究

裂紋剛度模型作為裂紋問題研究的重點和難點之一，至今也沒有一個公認(rèn)的力學(xué)模型。為了識別裂紋位置和大小，近年來眾多研究者提出了各種不同的裂紋剛度模型，歸納起來，可以分為兩類:開裂紋模型與開閉裂紋模型［8］。開裂紋模型假設(shè)轉(zhuǎn)子作同步運(yùn)動時，轉(zhuǎn)軸裂紋的開閉形狀變化很小，可以認(rèn)為裂紋是常開的。開閉裂紋模型(呼吸裂紋模型)認(rèn)為轉(zhuǎn)軸裂紋在轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)過程中是時開時閉的，其中較有名的開閉模型有:方波模型、余弦波模型和綜合模型。方波模型由Gasch［9］首先提出，認(rèn)為裂紋開閉是在瞬時完成的，裂紋或者全開或者全閉，沒有半開半閉的情況，裂紋開閉規(guī)律可用階躍函數(shù)表示。Mayes等［10］認(rèn)為裂紋開閉應(yīng)該有一個半開半閉的過程，他認(rèn)為具有良好連續(xù)性的余弦函數(shù)能更好地描述裂紋的開閉規(guī)律。Nelson［11］用變分法建立了一個比較完善的裂紋軸單元的有限元模型，用裂紋所在位置的瞬時曲率決定裂紋的開閉規(guī)律，為多自由度的裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)分析奠定了基礎(chǔ)。孟光［12］在Gasch模型的基礎(chǔ)上，考慮了軸的位移和轉(zhuǎn)軸渦動的影響，提出一種新的裂紋開閉模型，它適用于重力占優(yōu)、非重力占優(yōu)、協(xié)調(diào)與非協(xié)調(diào)響應(yīng)等多種情形。高建民等［13］綜合了方波模型和余弦波模型的優(yōu)點，提出了一個綜合模型;陳永國等［14］比較了3個開閉裂紋模型的特點，并通過例子論述了3個模型的適用范圍，他們認(rèn)為當(dāng)轉(zhuǎn)子裂紋較小時，方波模型既簡單，又比較接近實際;當(dāng)轉(zhuǎn)子裂紋較大時，余弦波模型既簡單，又比較接近實際。

1.3 裂紋損傷轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)特性研究

轉(zhuǎn)軸出現(xiàn)裂紋時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性會發(fā)生變化，眾多研究者從理論與實驗兩方面，用不同方法，使用不同的裂紋模型研究了不同裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)行為。Henry等［15］采用帶有不對稱剛度的單盤轉(zhuǎn)子模型，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中建立運(yùn)動方程。研究發(fā)現(xiàn)周期性外激勵和裂紋故障的相互作用能引起1/2、1/3、1/5等次臨界共振現(xiàn)象，其中1/2次臨界共振最顯著。Kevin等［16］分別采用常開、常閉和呼吸裂紋模型研究了裂紋轉(zhuǎn)子的振動特性和穩(wěn)定性問題。印度理工學(xué)院的Darpe課題組近年來在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)裂紋故障的非線性問題方面做了許多研究工作，Darpe等［17］用3個裂紋模型:呼吸裂紋模型、開關(guān)裂紋模型和開裂紋模型研究了一個裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子在通過其臨界轉(zhuǎn)速和發(fā)生次諧波共振時的瞬態(tài)響應(yīng)和呼吸行為，研究發(fā)現(xiàn)呼吸裂紋能更好地模擬轉(zhuǎn)軸裂紋的呼吸行為，而且裂紋的呼吸行為受到不平衡方向角、加速度率、阻尼、裂紋深度的影響，同時裂紋的呼吸行為在轉(zhuǎn)子加速過程和降速過程中也是不同的。在此基礎(chǔ)上，Darpe等［18-19］對一個帶有橫向表面裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子在一軸向激勵下的橫向與縱向的耦合動力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了分析研究，研究發(fā)現(xiàn)裂紋引起的轉(zhuǎn)子橫向、縱向、扭轉(zhuǎn)獨(dú)有的耦合頻率特性，為裂紋故障的診斷提供了新的思路。賀爾銘等［20］運(yùn)用分岔理論和Poincaré映射分析了含裂紋轉(zhuǎn)子的非協(xié)調(diào)響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)了次諧波、周期運(yùn)動的突跳現(xiàn)象以及擬周期運(yùn)動，通過分析認(rèn)為:二次諧波的產(chǎn)生對應(yīng)于倍周期分岔，運(yùn)動的突跳現(xiàn)象對應(yīng)于鞍結(jié)分岔，擬周期運(yùn)動對應(yīng)于Naimark-Sacker分岔。鄭龍席等［21］對單盤裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子進(jìn)行了非線性響應(yīng)分析和實驗研究，數(shù)值仿真研究表明裂紋深度不同，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)具有不同的特點;實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)軸上出現(xiàn)裂紋時，盤的橫向振動響應(yīng)和擺振響應(yīng)中都會出現(xiàn)高次諧波分量。國內(nèi)外還有許多專家學(xué)者對裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性、考慮裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔混沌等方面作了比較詳細(xì)的研究，詳見參考文獻(xiàn)［22-27］。

以上研究主要是針對具有橫向裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行的研究，由于扭轉(zhuǎn)等的作用，軸上裂紋不一定是橫向裂紋，因此，一些學(xué)者研究了具有斜裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性響應(yīng)。Ichimonji等［28］定性研究了具有與轉(zhuǎn)軸成45°傾斜裂紋的轉(zhuǎn)子的振動特性，研究中假定裂紋的開閉同步變化，從而發(fā)現(xiàn)具有傾斜裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中含有等頻率成分(為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，為轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動頻率，)。Sekhar等［29］研究了具有一斜裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動，研究發(fā)現(xiàn)在轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)響應(yīng)譜上具有與扭轉(zhuǎn)頻率相對應(yīng)的次諧波頻率分量。Prabhakar等［30］研究了一斜裂紋轉(zhuǎn)子在通過它的彎曲臨界轉(zhuǎn)速時的瞬態(tài)響應(yīng)，研究表明當(dāng)裂紋轉(zhuǎn)子響應(yīng)譜上出現(xiàn)了一些次諧波和超諧波頻率分量，這些頻率分量以一定的頻率間隔均布在裂紋轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速兩邊。當(dāng)扭轉(zhuǎn)頻率接近轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速時，即使小裂紋其次諧波與超諧波分量也非常明顯。Darpe［31］基于斷裂力學(xué)理論，應(yīng)用有限元法建立了具有斜裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，并與橫向裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)特性進(jìn)行了比較分析發(fā)現(xiàn)，斜裂紋的交叉剛度使斜裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎曲-扭轉(zhuǎn)-縱向振動更大。劉長利等［32］采用有限元方法建立了裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程，詳細(xì)研究了不同深度的直裂紋和45°斜裂紋轉(zhuǎn)子，在一個穩(wěn)態(tài)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)，裂紋開閉規(guī)律以及轉(zhuǎn)軸剛度時變特性。研究表明裂紋深度的增大使裂紋轉(zhuǎn)軸的剛度變化增大，直裂紋與斜裂紋轉(zhuǎn)軸的剛度變化特性具有明顯差異，斜裂紋引起更多與更強(qiáng)的耦合振動，使轉(zhuǎn)子的動力學(xué)性能更復(fù)雜。

對于轉(zhuǎn)子多裂紋損傷故障，Tsai［33］用 TMM(Transfer Matrix Method)法研究具有多個裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)行為，論述了多個裂紋的不同位置、裂紋間距離等對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率和轉(zhuǎn)子渦動軌跡的影響。Sekhar［34］用有限元法分析了帶有兩個橫向裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特征頻率、模態(tài)振型、臨界轉(zhuǎn)速的變化情況以及轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，研究表明裂紋對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率具有顯著影響，不同深度的兩個裂紋，裂紋大的對系統(tǒng)固有頻率影響大;研究還表明小裂紋對穩(wěn)定轉(zhuǎn)速的影響非常明顯。Darpe等［35］研究了帶兩個橫向裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子的動力學(xué)行為，其中一個裂紋為常開裂紋，另一個裂紋為呼吸型裂紋，當(dāng)兩個裂紋相對角位置變化時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)也發(fā)生了顯著的變化。溫詩鑄等［36］采用數(shù)值模擬的方法研究了具有兩條裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性耦合振動響應(yīng)。研究表明:裂紋的存在引起系統(tǒng)橫向、縱向、扭轉(zhuǎn)振動相互耦合，兩條裂紋之間的夾角對系統(tǒng)非線性耦合振動有明顯的影響。陳鐵鋒等［37］運(yùn)用有限元方法對具有兩條橫向裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性進(jìn)行仿真分析，研究了不同裂紋夾角的轉(zhuǎn)子動力學(xué)行為，得到了轉(zhuǎn)動過程中兩條裂紋開閉的關(guān)系。

1.4 含有裂紋損傷耦合故障問題的研究

轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的耦合故障是指系統(tǒng)中同時存在兩種以上的故障。工程實際當(dāng)中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的耦合故障又是很普遍的，比如轉(zhuǎn)軸橫向裂紋較深的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會由于振動量過大產(chǎn)生轉(zhuǎn)定子碰摩等。耦合故障轉(zhuǎn)子的動力學(xué)行為較單一故障轉(zhuǎn)子更加復(fù)雜，并且存在許多獨(dú)特的動力學(xué)特性。李振平［38］、劉元峰等［39］采用數(shù)值方法研究了考慮非線性油膜力的碰摩-裂紋耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的復(fù)雜運(yùn)動，發(fā)現(xiàn)了該類轉(zhuǎn)子運(yùn)動過程中存在周期運(yùn)動、倍周期運(yùn)動、擬周期運(yùn)動和混沌運(yùn)動等豐富的非線性現(xiàn)象。張韜等［40］研究了有擠壓油膜阻尼器轉(zhuǎn)子與定子碰摩和轉(zhuǎn)軸上的橫向裂紋等多種非線性因素作用下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)故障的非線性特性，發(fā)現(xiàn)了3種通向混沌的道路:陣發(fā)性通向混沌，倍周期分岔通向混沌和擬周期通向混沌的道路。劉元峰等［41］研究了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在發(fā)生支承松動與裂紋耦合故障時的非線性現(xiàn)象，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)發(fā)生支承松動時很小的裂紋也能引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)出現(xiàn)分岔混沌現(xiàn)象。羅躍綱等［42］建立了雙跨裂紋-碰摩彈性轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動力學(xué)模型，并對系統(tǒng)裂紋、碰摩及其耦合故障對系統(tǒng)非線性動力學(xué)響應(yīng)的影響、周期運(yùn)動的穩(wěn)定性及失穩(wěn)規(guī)律進(jìn)行了研究。

2 轉(zhuǎn)軸裂紋損傷故障研究的趨勢和展望

從目前國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀中可以看出，雖然近年來關(guān)于裂紋損傷轉(zhuǎn)子系統(tǒng)復(fù)雜動力學(xué)特性的研究方面得到了一定的發(fā)展，取得了一些重要的研究成果，但尚有許多問題需要研究:

(1)在分析方法研究方面，雖然數(shù)值方法克服了傳統(tǒng)解析方法的不足，但數(shù)值計算的精度直接影響到對系統(tǒng)解的長期發(fā)展預(yù)測及全局特性分析，如何發(fā)展新的有效的數(shù)值方法，將其應(yīng)用于裂紋損傷轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，分析其非線性特性，特別是多吸引共存、跳躍與突變等現(xiàn)象，成為對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)裂紋損傷故障進(jìn)行診斷成敗的關(guān)鍵因素。

(2)關(guān)于裂紋剛度模型的力學(xué)描述方面，至今也沒有一個公認(rèn)的力學(xué)模型。如何建立更為合理的裂紋剛度模型上，從而使裂紋損傷轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分析結(jié)果能更好地反映出真實情況，對裂紋損傷故障現(xiàn)象做出合理解釋，為實際狀態(tài)監(jiān)測提供科學(xué)的理論指導(dǎo)，尚需要進(jìn)一步地研究探討。

(3)損傷轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模方面，現(xiàn)有的研究工作主要是以Jeffcott單跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為例進(jìn)行的，對于具有裂紋損傷故障的多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)方面的研究工作開展得還很少。然而實際的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)通常是由多跨多盤組成，而且各跨之間的運(yùn)動相互影響。

(4)多裂紋損傷旋轉(zhuǎn)機(jī)械非線性特性研究方面，現(xiàn)有的研究成果也是基于Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的兩個橫向裂紋的分析，針對多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)多數(shù)目裂紋、不同裂紋形式和不同裂紋參數(shù)以及含有裂紋損傷的兩種以上故障之間的相互耦合影響造成的更為復(fù)雜的非線性動力學(xué)響應(yīng)問題的研究，應(yīng)是今后需要研究的重要課題之一。

［1］于濤.損傷轉(zhuǎn)子動力學(xué)及其診斷技術(shù)關(guān)鍵問題的研究［D］.沈陽:東北大學(xué)，2007.

［2］MUSZYNSKA A.Shaft crack detection［J］.Seventh Machinery Dynamics Seminar，Edmonton，Canada，1982.

［3］URABC M.Numerical determination of periodic solution of nonlinear system［J］.J Sci.Hiroshima，Univ.，A-20:125-148.

［4］凌復(fù)華.常微分方程數(shù)值方法及其在力學(xué)中的應(yīng)用［M］.重慶:重慶大學(xué)出版社，1990.

［5］KUBICEK M，MAREK M.Computational methods in bifurcation:theory and dissipative structures［M］.Springer-Verlag，1993.

［6］DOOREN R V，JANSSEN H.A continuation algorithm for discovering new chaotic motions in forced Duffing systems［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，1996，66(3):527-541.

［7］DOOREN R V.Letters to the Editor-Comments on the“Harmonic Balance and Continuation Techniques in the Dynamic Analysis of Duffing’s Equation”［J］.Journal of Sound and Vibration，1999，22(3):525-529.

［8］羅躍綱.旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障的非線性問題及智能診斷技術(shù)［M］.北京:科學(xué)出版社，2009.11.

［9］GASCH R.Dynamic behavior of the Laval rotor with a cracked hollow shaft-a comparison of crack models［A］.Proceedings of the International Conference，Institution of Mechanical Engineers，1988，C314/88:463-472.

［10］MAYES I W，DAVIES W G R.Analysis of the response of a multi-rotor-bearing system containing a transverse crack in a rotor［J］.Journal of Vibration，A-coustics，Stress，and Reliability in Design，1984，106:139-145.

［11］NELSON H D，NATARAJ C.The dynamic of a rotor system with a cracked shaft［J］.Journal of Vibration，A-coustics，Stress，and Reliability in Design，1986，108:189-196.

［12］MENG Guang.The nonlinear influences of whirl speed on the stability and response of a cracked rotor［J］.Journal of Machine Vibration，1992，4:216-230.

［13］高建民，朱曉梅.轉(zhuǎn)軸上裂紋開閉模型的研究［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，1992，9(1):108-112.

［14］陳永國，趙玫，朱厚軍.橫向裂紋轉(zhuǎn)子幾種裂紋開閉模型的比較［J］.華北水利水電學(xué)院學(xué)報，2000，21(4):34-38.

［15］HENRY T A.Vibrations in cracked shafts［A］.Proceedings of the International Conference，Institution of Mechanical Engineers，1976:15-19.

［16］KEVIN D M，Yin Zhang.Vibration and stability of a cracked translating beam［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，237(2):319-335.

［17］DARPE A K，GUPTA K，CHAWLA A.Transient response and breathing behaviour of a cracked Jeffcott rotor［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，272:207-243.

［18］DARPE A K，CHAWLA A ，GUPTA K.Analysis of the response of a cracked Jeffcott rotor to axial excitation［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，249(3):429-445.

［19］DARPE A K，GUPTA K，CHAWLA A.Coupled bending，longitudinal and torsional vibrations of a cracked rotor［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，269:33-60.

［20］賀爾銘，秦衛(wèi)陽，魏道德，等.采用Poincaré映射分析含裂紋轉(zhuǎn)子的非協(xié)調(diào)響應(yīng)［J］.西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2003，21(3):277-280.

［21］鄭龍席，賀爾銘，朱述川，等.單盤含裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性響應(yīng)分析與實驗研究［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2003，25(1):1-4.

［22］GASCH R.A survey of the dynamic behavior of a simple rotating shaft with a transverse crack［J］.Journal of sound and vibration，1993，160(2):313-332.

［23］SEKHAR A S，JAYANT K D.Effects of cracks on rotor system instability［J］.Mechanism and Machine Theory，2000，35:1657-1674.

［24］FU Y M，ZHENG Y F.Analysis of non-linear dynamic stability for a rotating shaft-disk with a transverse crack［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，257(4):713-731.

［25］鄭吉兵，梁工謙，孟光，等.亞臨界情形下非線性裂紋轉(zhuǎn)子的分岔與混沌［J］.固體力學(xué)學(xué)報，1997，18(3):275-278.

［26］MENG G，GASCH R.Stability and stability degree of a cracked flexible rotor supported on journal bearing［J］.ASME Journal of Vibration and Acoustics，2000，122:116-125.

［27］傅衣銘，鄭玉芳.用線彈簧模型求解裂紋轉(zhuǎn)軸的動力穩(wěn)定性［J］.工程力學(xué)，2002，19(4):50-54.

［28］ICHIMONJI M，WATANABE S.The dynamics of a rotor system with a shaft having a slant crack(a qualitative analysis using a simple rotor model)［J］.JSME International Journal，Series III，1988，31(4)，712-718.

［29］SEKHAR A S，PRASAD P B.Dynamic analysis of a rotor system considering a slant crack in the shaft［J］.Journal of Sound and Vibration，1997，208(3):457-474.

［30］PRABHAKAR S，SEKHAR A S，MOHANTY A R.Transient lateral analysis of a slant-cracked rotor passing through its flexural critical speed ［J］.Mechanism and Machine Theory，2002，37:1007-1020.

［31］DARPE A K.Coupled vibrations of a rotor with slant crack［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，305:172–193.

［32］劉長利，李誠，周邵萍，等.直斜裂紋轉(zhuǎn)軸的時變剛度特性研究［J］.振動與沖擊，2011，30(3):165-170.

［33］TSAI T C，WANG Y Z.The vibration of multi-crack rotor［J］.International Journal of Mechanical Sciences，1997，39(9):1037-1053.

［34］SEKHAR A S.Vibration characteristics of a cracked rotor with two open cracks［J］.Journal of Sound and Vibration，1999，223(4):497-512.

［35］DARPE A K，GUPTA K，CHAWLA A.Dynamics of a two-crack rotor［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，259(3):649-675.

［36］溫詩鑄，郭丹.具有兩條裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動研究［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2005，27(2):135-139.

［37］陳鐵鋒，荊建平，孟光，等.雙裂紋轉(zhuǎn)子振動特性的有限元和實驗研究［J］.噪聲與振動控制，2010，(5):15-19.

［38］李振平.多故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)若干非線性問題的研究［D］.沈陽:東北大學(xué)，2002.

［39］劉元峰，趙玫，朱厚軍.考慮碰摩的裂紋轉(zhuǎn)子非線性特性研究［J］.振動工程學(xué)報，2003，16(2):203-206.

［40］張韜，孟光.有擠壓油膜阻尼器支承的多故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性響應(yīng)特性研究［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2003，22(4):543-546.

［41］劉元峰，趙玫，朱厚軍.裂紋轉(zhuǎn)子在支承松動時的振動特性研究［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，2003，20(3):118-121.

［42］羅躍綱，聞邦椿.雙跨轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)裂紋-碰摩耦合故障的穩(wěn)定性［J］.機(jī)械工程學(xué)報，2008，44(4):123-127.