王志如 梁作論 袁競峰 李啟明

(1東南大學土木工程學院，南京 210096)

(2中國電子科技集團公司南京第十四研究所，南京 210031)

網(wǎng)絡的標度特性是復雜網(wǎng)絡研究的一個重要領(lǐng)域［1－4］.網(wǎng)絡的標度特性決定網(wǎng)絡演化的連接機制［2］.對地鐵網(wǎng)絡標度特性的研究是了解地鐵網(wǎng)絡的內(nèi)在演化機制、建立地鐵網(wǎng)絡演化模型及研究地鐵網(wǎng)絡動力學問題的基礎.

目前對地鐵網(wǎng)絡標度特性的研究，主要有數(shù)學歸納法和數(shù)理統(tǒng)計法.基于數(shù)學歸納法的地鐵網(wǎng)絡節(jié)點度分布模型的假設條件比較嚴格，如Angeloudis等［5］構(gòu)造的地鐵網(wǎng)絡節(jié)點度(節(jié)點被連接次數(shù))均為偶數(shù)，與實際并不相符.基于數(shù)理統(tǒng)計的地鐵網(wǎng)絡標度特性研究分為以節(jié)點(地鐵車站)被連接次數(shù)作為節(jié)點度計算指標和以經(jīng)過節(jié)點的線路數(shù)目作為節(jié)點度計算指標.前者指該車站連接到其他車站的次數(shù)，經(jīng)實證分析得到地鐵網(wǎng)絡度分布服從指數(shù)分布［6－7］、Possion 分布［8］、冪律分布［9－10］.后者指經(jīng)過該車站的地鐵線路數(shù)目，Derrible等［1，11］通過實證分析得到15個地鐵網(wǎng)絡度分布服從冪律分布.

在以線路為演化單位的交通網(wǎng)絡中，“節(jié)點被連接次數(shù)”不能夠反映實際網(wǎng)絡的演化機理，而以“經(jīng)過車站的線路數(shù)目”作為評價度分布的指標才具有實際意義.雖然 Derrible等［1，11］提出的“經(jīng)過車站的線路數(shù)目”的評價方法有很大改進，但由于因變量“給定節(jié)點度對應的節(jié)點數(shù)目”因網(wǎng)絡規(guī)模而異，不同網(wǎng)絡之間不具有可比性，頻次不同于概率值，運營線路數(shù)目不具有唯一性.基于以上不足，本文提出基于經(jīng)過車站拓撲線路數(shù)目的節(jié)點度分布評價方法，通過改進線路計量方法、函數(shù)因變量方面的不足，增加擬合回歸樣本，改進擬合方法，得到地鐵網(wǎng)絡節(jié)點度分布函數(shù).

1 地鐵網(wǎng)絡標度評價方法

1.1 拓撲線路定義

節(jié)點度定義為經(jīng)過車站的拓撲線路數(shù)目.拓撲線路是指網(wǎng)絡中存在的有固定的、物理形態(tài)上的復線軌道(復線是指含有雙向獨立軌道的線路)，不同于運營中所指的線路.運營線路依賴與拓撲線路，相同的拓撲線路可以有不同的運營方式，例如，在圖1所示的拓撲網(wǎng)絡中，最多可以產(chǎn)生6條運營線路，分別是:運營線路 1－4，4－2，4－3，1－2，1－3，2－3，6條線路通過不同的組合可以產(chǎn)生多種運營方式.因此，拓撲線路具有唯一性，而運營線路不具有唯一性.

圖1 含有2條拓撲線路的網(wǎng)絡

1.2 標度評價指標

給定地鐵網(wǎng)絡中含有拓撲線路 L1，L2，…，La，節(jié)點i的度Li定義為經(jīng)過該節(jié)點的拓撲線路數(shù)目，令 Lj=1，j=1，2，…，a，節(jié)點 i的度表示為

地鐵網(wǎng)絡節(jié)點度的分布用分布函數(shù)P(L)來描述，P(L)表示一個隨機選定的節(jié)點度恰好為L的概率，viL表示如果節(jié)點i的度為L，則記為1，否則為0;V表示地鐵網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)目，基于經(jīng)過節(jié)點線路數(shù)目的度分布函數(shù)表示為

將被解釋變量P(L)作為函數(shù)的因變量，是基于如下2個原因:① 原始的解釋變量和被解釋變量的函數(shù)形式與其累計分布一般都不相同［12］，也就是說，無法通過累計的度分布函數(shù)得到地鐵網(wǎng)絡的演化機制.②雙對數(shù)化過程會導致殘差的增加，影響擬合效果.

1.3 回歸檢驗方法

最大似然估計(MLE)和普通最小二乘法(ordinary least squares，OLS)是最為常見的統(tǒng)計擬合準則.Goldstein等［13］認為 MLE 結(jié)合 Kolmogorov－Smirnov(KS)檢驗更加適用于冪律分布的參數(shù)估計.然而，MLE適用于大樣本參數(shù)估計，在小樣本中會低估殘差值.由于52個地鐵網(wǎng)絡樣本中，數(shù)據(jù)點最大為6個，因此 MLE不適用于本研究.而OLS無論樣本大小都是取殘差平方的最小值，因此本文選取OLS作為參數(shù)估計方法.

擬合效果檢驗通過非線性回歸的擬合優(yōu)度系數(shù) R2和殘差平方和 SSE 檢驗［12］，當 R2接近于 1，且SSE接近于0時，認為擬合效果很好.

2 案例分析及討論

2.1 基礎數(shù)據(jù)

地鐵網(wǎng)絡按照單模式網(wǎng)絡 L－Space建模方式［14］;采用人工識別方法統(tǒng)計拓撲線路數(shù)目;節(jié)點度由線路搜索算法計算;52個地鐵網(wǎng)絡樣本節(jié)點度分布部分基礎數(shù)據(jù)見表1.

2.2 節(jié)點度分布函數(shù)擬合

在52個地鐵網(wǎng)絡樣本中，10個地鐵網(wǎng)絡樣本含有大于3個數(shù)據(jù)點(見表1)，21個地鐵網(wǎng)絡樣本含有3個數(shù)據(jù)點，21個地鐵網(wǎng)絡樣本有2個數(shù)據(jù)點.由于度分布函數(shù)至少含有1個回歸系數(shù)、1個常量，所以在52個地鐵網(wǎng)絡樣本中，剔除含有2個數(shù)據(jù)點的21個樣本.含有大于3個數(shù)據(jù)點的10個地鐵網(wǎng)絡樣本的度分布折線圖如圖2所示.

圖2 含有大于3個數(shù)據(jù)點的10個地鐵網(wǎng)絡樣本的度分布折線圖

表1 52個地鐵網(wǎng)絡樣本的標度分析部分基礎數(shù)據(jù)

由圖2可見，在地鐵網(wǎng)絡中，只有1條拓撲線路經(jīng)過的節(jié)點概率為0.743～0.946，有2條拓撲線路經(jīng)過的節(jié)點概率急速下降到0.054～0.176，節(jié)點同時被3條及以上拓撲線路經(jīng)過的概率就更加小.這種現(xiàn)象與冪律分布中“大多數(shù)節(jié)點只有比較少的連接，而少數(shù)節(jié)點有大量的連接”性質(zhì)［15］一致，因此，初步估計地鐵網(wǎng)絡度分布形式為冪律分布.本文選取3種函數(shù)對地鐵網(wǎng)絡度分布進行擬合，分別是一般形式的冪律函數(shù)［16］f(x)=axb、漂移冪律(shifted power law，SPL)［17］f(x)=(x+a)b，及縱軸平移(longitudinal shifted power law，LSPL)的f(x)=axb+c冪律函數(shù)，擬合回歸參數(shù)及檢驗結(jié)果見表2.

表2 3種函數(shù)對含有大于3個數(shù)據(jù)點的10個樣本的擬合回歸參數(shù)及檢驗結(jié)果

由表2可見，在置信度為95%的情況下，3種分布函數(shù)擬合得到的R2都接近于1，SSE接近于0，這說明擬合效果非常好.對于含有大于3個數(shù)據(jù)點的10個地鐵網(wǎng)絡樣本，L－SPL分布函數(shù)擬合得到的R2和SSE要優(yōu)于SPL分布函數(shù)和一般形式冪律函數(shù)，SPL分布函數(shù)擬合結(jié)果優(yōu)于一般形式冪律函數(shù).以紐約地鐵網(wǎng)絡為例，6個數(shù)據(jù)點都較好地落在了3條擬合曲線上(見圖3).

圖3 3種分布函數(shù)對紐約地鐵網(wǎng)絡度分布擬合曲線

為了進一步證明L－SPL分布函數(shù)能夠很好地描述節(jié)點度分布，本文對3種度分布函數(shù)的預測值與真實值進行分析，并比較殘差大小.以紐約地鐵網(wǎng)絡為例，取該樣本中的前5個數(shù)據(jù)點，通過對3種分布函數(shù)擬合，得到3種度分布函數(shù)的回歸參數(shù)，由擬合得到的回歸方程預測第6個數(shù)據(jù)點.第6個數(shù)據(jù)點的預測數(shù)據(jù)與真實值的殘差見圖4.

由圖4可見，與SPL和一般冪律形式的分布函數(shù)擬合得到的殘差值相比，L－SPL度分布函數(shù)擬合得到的殘差值更加接近于零.但是，從預測值來看，L－SPL度分布函數(shù)預測的節(jié)點度L=6的度分布值 P(L=6)=－0.00397，小于0(見圖5)，而度分布為頻次的百分比值，不可能出現(xiàn)負值.從LSPL解析式可知，解析式中包含的參數(shù)c是一個加性誤差項，由表2給出的10個地鐵網(wǎng)絡樣本的3種度分布函數(shù)擬合得到的回歸參數(shù)可以看出，參數(shù)c在10個樣本中只有2個為正值，其余都為負值，所以會導致度分布隨著節(jié)點度的增加而出現(xiàn)負值.因此，L－SPL函數(shù)不適用于地鐵網(wǎng)絡度分布擬合.

圖4 3種冪律函數(shù)擬合殘差圖

圖5 3種分布函數(shù)預測結(jié)果

SPL分布和一般形式冪律分布對節(jié)點度為6的度分布預測值都為正值，當節(jié)點度增大時，2種分布函數(shù)的預測值都無限接近于0，且SPL分布的收斂速度要大于一般形式冪律分布(見圖5).在實際建設中，若一個地鐵車站同時有多條線路經(jīng)過，則車站容量及換乘設施必須滿足大客流需求，因此會增加施工難度并導致建設成本過高;同時，一個車站發(fā)生故障，經(jīng)過該車站的線路越多，受影響的范圍越大，同時還會產(chǎn)生嚴重的社會影響;因而在規(guī)劃地鐵站時，會避免多條線路同時經(jīng)過一個地鐵車站，所以，地鐵網(wǎng)絡中不可能出現(xiàn)擁有幾十條線路的站點.因此，當節(jié)點度趨向于100時，收斂速度快的分布函數(shù)更適合于地鐵網(wǎng)絡度分布;其次，通過R2和SSE比較，SPL分布要優(yōu)于一般形式冪律分布.由此認為，SPL分布形式更加符合地鐵網(wǎng)絡度分布，即地鐵網(wǎng)絡度分布為漂移冪律SPL分布，由于漂移程度參數(shù)的a值非常小，故不影響其冪律分布的實質(zhì).

2.3 結(jié)果分析及討論

在大于等于3個數(shù)據(jù)點的31個地鐵網(wǎng)絡樣本中，香港地鐵網(wǎng)絡的SPL函數(shù)擬合得到的非線性回歸的擬合優(yōu)度系數(shù)R2=0.9675，在31個樣本中的擬合程度最低;相比其他30個樣本，香港地鐵網(wǎng)絡的殘差平方和為SSE=0.005，大了1個數(shù)量級，因此認為，香港地鐵網(wǎng)絡度分布擬合效果最差.究其原因，香港地鐵網(wǎng)絡中存在大量共線拓撲線路，導致共線段的車站都有2條線路經(jīng)過，從而增加了節(jié)點度為2的車站數(shù)目，使節(jié)點度為1的車站數(shù)目到節(jié)點度為2的節(jié)點數(shù)目平緩下降，因而產(chǎn)生“肥尾”特征，標度系數(shù)b=－2.312，然而，同時有3條線路經(jīng)過的車站的增長速度遠小于有2條線路經(jīng)過的共線車站增長速度，導致節(jié)點度為3的車站數(shù)目稀少，無法落到肥尾曲線上.除香港地鐵外，其他30個城市地鐵網(wǎng)絡的擬合優(yōu)度系數(shù)R2都大于0.99，擬合效果良好.

52個地鐵網(wǎng)絡樣本的標度系數(shù)－b在2～5范圍內(nèi)，且在只含有2個數(shù)據(jù)點的21個樣本中，標度系數(shù)－b隨著節(jié)點度為1的度分布值與節(jié)點度為2的度分布值的比值的增大而增大，標度系數(shù)－b越接近5，換乘車站在網(wǎng)絡中占的比例越小，吸引力強的點越少，網(wǎng)絡的異質(zhì)程度越低;標度系數(shù)－b越接近2，換乘車站在網(wǎng)絡中占的比例越多，吸引力強的點越多，網(wǎng)絡的異質(zhì)程度越高.標度系數(shù)最大的日本Sapporo地鐵網(wǎng)絡，為典型的星型網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，共含有2個換乘車站，一個位于城市中心，有3條徑向線路同時經(jīng)過，另一個車站有2條徑向線路同時經(jīng)過.因此，同等規(guī)模的地鐵網(wǎng)絡中，星型結(jié)構(gòu)的標度系數(shù)最大.

在節(jié)點數(shù)目大于300的紐約、巴黎、倫敦、柏林4個大規(guī)模網(wǎng)絡中，標度系數(shù)－b落在了2～3之間(見表2)，表明在規(guī)模較大的地鐵網(wǎng)絡中，存在較多吸引力強的節(jié)點，如在紐約地鐵網(wǎng)絡中，存在6條線路同時經(jīng)過的節(jié)點，換乘站點在網(wǎng)絡中所占比例較高，度分布曲線呈“肥尾”.在8個發(fā)達城市(地鐵網(wǎng)絡站點數(shù)目大于200的城市)，除上海地鐵網(wǎng)絡之外，標度系數(shù)都小于3，說明地鐵網(wǎng)絡隨著網(wǎng)絡化程度的提高，標度系數(shù)會同其他大多數(shù)大規(guī)模網(wǎng)絡一樣，落在2～3范圍內(nèi)，這也表明連接偏好現(xiàn)象存在于地鐵網(wǎng)絡中.

3 結(jié)語

本文提出的基于經(jīng)過站點的拓撲線路數(shù)目的地鐵網(wǎng)絡節(jié)點度分布評價方法，能夠反映地鐵網(wǎng)絡的內(nèi)在演化機制，突出以線路為演化單位的公共交通網(wǎng)絡與以節(jié)點為演化單位的社會網(wǎng)絡、航空網(wǎng)絡、WWW網(wǎng)絡等的區(qū)別，且拓撲線路數(shù)目的量化標準相比運營線路，其結(jié)果具有唯一性;通過3種分布函數(shù)對52個地鐵網(wǎng)絡樣本節(jié)點度分布的擬合，證明了漂移冪律SPL分布函數(shù)對地鐵網(wǎng)絡度分布擬合效果最好，SPL函數(shù)實質(zhì)上是一種介于指數(shù)和冪律之間的分布，當常數(shù)項a=0時，SPL函數(shù)為冪律分布;當a→∞時，SPL函數(shù)趨于指數(shù)分布;由于擬合結(jié)果中52個地鐵網(wǎng)絡樣本a分布在0～1范圍內(nèi)，說明了地鐵網(wǎng)絡度分布是介于冪律和指數(shù)分布之間的漂移冪律函數(shù)，這與實際現(xiàn)象相吻合.

References)

［1］Derrible S，Kennedy C.The complexity and robustness of metro networks［J］.Physica A，2010，389(17):3678－3691.

［2］Albert R，Barabási A L.Statistical mechanics of complex networks［J］.Reviews of Modern Physics，2002，74(1):47－97.

［3］汪小帆，李翔，陳關(guān)榮.復雜網(wǎng)絡理論及其應用［M］.北京:清華大學出版社，2006:8－14.

［4］張君超.基于復雜網(wǎng)絡的城市公交網(wǎng)絡特性分析與演化研究［D］.成都:西南交通大學交通運輸規(guī)劃與管理學院，2010.

［5］Angeloudis P，F(xiàn)isk D.Large subway systems as complex networks［J］.Physica A，2006，367:553－558.

［6］汪濤.城市公交網(wǎng)絡的拓撲結(jié)構(gòu)和演化模型研究［D］.南京:南京航空航天大學經(jīng)濟與管理學院，2009.

［7］王燚，楊超.上海市軌道交通網(wǎng)絡的復雜網(wǎng)絡特征研究［J］.城市軌道交通研究，2009(2):33－36.Wang Yi，Yang Chao.Characteristics of the complex network in shanghai urban rail transit［J］.Urban Mass Transit，2009(2):33－36.(in Chinese)

［8］Han C，Liu L.Topological vulnerability of subway networks in China［C］//IEEE Management and ServiceScience.Wuhan，China，2009:1－4.

［9］王志強，徐瑞華.基于復雜網(wǎng)絡的軌道交通道路網(wǎng)可靠性仿真分析［J］.系統(tǒng)仿真學報，2009，21(20):6670－6674.Wang Zhiqiang，Xu Ruihua.Reliability simulation analysis of urban rail transit networks based on complex network ［J］.Journal of System Simulation，2009，21(20):6670－6674.(in Chinese)

［10］王云琴.基于復雜網(wǎng)絡理論的城市軌道交通網(wǎng)絡連通可靠性研究［D］.北京:北京交通大學交通運輸學院，2008.

［11］Derrible S，Kennedy C.Characterizing metro networks:state，form，and structure［J］.Transportation，2010，37(2):275－297.

［12］何曉群，劉文卿.應用回歸分析［M］.2版.北京:中國人民大學出版社，2007:294－295.

［13］Goldstein M L，Morris S A，Yen G G.Problem with fitting to the power－law distribution ［J］.European Physical Journal B，2004，41(2):255－258.

［14］葉青.基于復雜網(wǎng)絡理論的軌道交通網(wǎng)絡脆弱性分析［J］.中國安全科學學報，2012，22(2):122－126.Ye Qing.Vulnerability analysis of rail transit based on complex network theory［J］.China Safety Science Journal，2012，22(2):122－126.(in Chinese)

［15］Barabási A L，Albert R.Emergence of scaling in random networks［J］.Science，1999，286(5439):509－512.

［16］何大韌，劉宗華，汪秉宏.復雜系統(tǒng)與復雜網(wǎng)絡［M］.北京:高等教育出版社，2009:267－269.

［17］Chang H，Su B B，Zhou Y P，et al.Assortativity and act degree distribution of some collaboration networks［J］.Physica A，2007，383(2):687－702.