王 建 鄧 衛(wèi)

(東南大學(xué)交通學(xué)院，南京 210096)

信號(hào)控制路網(wǎng)容量問(wèn)題是指在考慮用戶(hù)路徑選擇條件下，如何選擇信號(hào)配時(shí)參數(shù)使路網(wǎng)容量達(dá)到最大［1］.路網(wǎng)容量研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，可以減少不必要的道路建設(shè)，幫助決策者進(jìn)行信號(hào)參數(shù)優(yōu)化選擇，使得路網(wǎng)能承載高峰時(shí)段居民出行需求，還可以預(yù)先決定城市各片區(qū)土地利用強(qiáng)度，以充分挖掘現(xiàn)有路網(wǎng)的通行能力.

Wong等［2］首次探討了用戶(hù)均衡條件下的路網(wǎng)備用容量問(wèn)題，建立了雙層規(guī)劃模型，模型采用靈敏度分析法求解.Gao等［3］拓展了路網(wǎng)容量的定義，改進(jìn)了Wong等［2］設(shè)計(jì)的模型，認(rèn)為路網(wǎng)O-D需求乘子的增長(zhǎng)倍數(shù)不一定相同，具體算例顯示在該定義下路網(wǎng)可以獲得更大的備用容量.張鵬等［1，4］將信號(hào)延誤引入交通分配模型中，探討了考慮信號(hào)延誤下的路網(wǎng)容量問(wèn)題，并且進(jìn)一步研究了車(chē)道分配對(duì)路網(wǎng)容量的影響，通過(guò)分配道路雙向車(chē)道數(shù)、優(yōu)化信號(hào)配時(shí)參數(shù)等措施，達(dá)到增大路網(wǎng)容量的目的.Chiou［5］研究了信號(hào)控制路網(wǎng)總延誤最小目標(biāo)下的路網(wǎng)備用容量問(wèn)題，并利用投影擬牛頓法進(jìn)行求解.在上述研究中，用以描述駕駛?cè)藫衤沸袨榈慕煌ǚ峙淠Ｐ投际且院?jiǎn)單的兩相位信號(hào)控制為基礎(chǔ)的，而在實(shí)際城市道路網(wǎng)絡(luò)中，為了減少交叉口左轉(zhuǎn)車(chē)流與對(duì)向直行車(chē)流的沖突，交叉口大都采用三相位以上的信號(hào)進(jìn)行控制，故上述研究中的交通分配模型不能描述多相位信號(hào)控制路網(wǎng)中駕駛員的路徑選擇行為，即對(duì)于交叉口多相位信號(hào)控制的城市道路網(wǎng)絡(luò)，上述容量模型欠缺實(shí)用性.

為了提高路網(wǎng)容量模型的實(shí)際可操作性，本文建立了一種描述多相位信號(hào)控制路網(wǎng)容量的雙層規(guī)劃模型.其中，下層模型是交叉口多相位信號(hào)控制路網(wǎng)交通分配模型，該模型遵循Wardrop用戶(hù)均衡條件;上層模型是信號(hào)控制參數(shù)優(yōu)化模型，通過(guò)優(yōu)化各個(gè)交叉口綠信比、周期時(shí)間以及O-D需求量，達(dá)到路網(wǎng)容量最大化的目標(biāo).雙層規(guī)劃模型采用基于靈敏度分析的啟發(fā)式算法求解.

1 多相位信號(hào)控制路網(wǎng)容量模型

1.1 多相位信號(hào)控制路網(wǎng)用戶(hù)均衡分配模型

傳統(tǒng)的信號(hào)控制路網(wǎng)交通分配模型雖然考慮了路段的信號(hào)延誤，但都假設(shè)路網(wǎng)中各個(gè)交叉口由簡(jiǎn)單的兩相位信號(hào)進(jìn)行控制.在多相位信號(hào)控制路網(wǎng)中，由路段進(jìn)入交叉口的各個(gè)流向流量和對(duì)應(yīng)的信號(hào)延誤均不相同，交通分配模型需要對(duì)各相位下的流量和延誤加以區(qū)分.根據(jù)文獻(xiàn)［6-7］中交叉口多相位信號(hào)控制路網(wǎng)的駕駛員擇路行為，構(gòu)建出多相位信號(hào)控制路網(wǎng)的用戶(hù)均衡交通分配模型，即

式中，Z為目標(biāo)函數(shù);w為路網(wǎng)中的一個(gè)O-D對(duì);xa為路段a的總流量;ta為路段a的行駛時(shí)間;H為路網(wǎng)中所有路段的集合為進(jìn)入信號(hào)控制交叉口路段的集合;j(a)為路段a對(duì)應(yīng)的交叉口;Ij(a)為交叉口j(a)的信號(hào)相位集合;xai為路段a在交叉口j(a)處第i個(gè)相位的流量;dai為路段a對(duì)應(yīng)的第i個(gè)相位的信號(hào)延誤;λij(a)(i=1，2，…，n)為路段 a對(duì)應(yīng)信號(hào)交叉口各相位的綠信比;W為路網(wǎng)中所有O-D對(duì)的集合為O-D對(duì)w之間第k條路徑上的流量;J為路網(wǎng)中信號(hào)控制交叉口的集合;qw為O-D對(duì)w之間出行需求量;Rw為O-D對(duì)w之間所有路徑的集合為路段-路徑連接關(guān)系變量，當(dāng)O-D對(duì)w之間第k條路徑經(jīng)過(guò)路段a時(shí)1，否則=0;為路徑-路段轉(zhuǎn)向關(guān)系變量，當(dāng)O-D對(duì)w之間第k條路徑經(jīng)過(guò)路段a，且轉(zhuǎn)向后歸入路段a上的第i相位車(chē)流時(shí)=1，否則=0.給定交通網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖時(shí)，路徑-路段轉(zhuǎn)向關(guān)系變量容易確定，故可以求得路段在各個(gè)相位下的車(chē)流量.

文獻(xiàn)［7-8］證明了模型(1)滿(mǎn)足Wardrop用戶(hù)均衡條件，是一種用戶(hù)最優(yōu)的交通均衡分配模型，存在唯一的極值.可采用罰函數(shù)和逐步回歸等方法對(duì)該模型求解.

根據(jù)文獻(xiàn)［9］，目標(biāo)函數(shù)中信號(hào)交叉口各相位的信號(hào)延誤可表示為

式中，Cj(a)為交叉口j(a)的信號(hào)周期;Sai為路段a中第i相位放行車(chē)道的飽和流量.

1.2 信號(hào)控制交叉口約束模型

假設(shè)進(jìn)入交叉口存在左轉(zhuǎn)交通量的路段都設(shè)有左轉(zhuǎn)相位以及左轉(zhuǎn)專(zhuān)用車(chē)道.對(duì)單個(gè)信號(hào)控制交叉口進(jìn)行優(yōu)化配時(shí)時(shí)，各相位的有效綠燈時(shí)間應(yīng)滿(mǎn)足交叉口相應(yīng)流向流量的通行需求，信號(hào)控制設(shè)置必須使路段各相位的流量不超過(guò)該相位放行方向上設(shè)置車(chē)道的通行能力，即

式中，nai為路段 a中第 i相位的放行車(chē)道數(shù);ci(λij(a))為路段a中第i相位放行方向單個(gè)車(chē)道的通行能力.由于xai是在給定路網(wǎng)O-D需求量、周期時(shí)間以及綠信比下模型(1)的均衡分配結(jié)果，因此可以將其表示為路網(wǎng)O-D需求量、周期時(shí)間和綠信比的函數(shù)，則式(3)可以寫(xiě)成

式中，q為所有O-D需求向量;C為路網(wǎng)交叉口周期時(shí)間向量;λ為綠信比向量.

此外，信號(hào)周期時(shí)間和綠信比必須滿(mǎn)足如下的邊界約束:

式中，Cmin，Cmax分別表示周期時(shí)間的下限和上限;λmin，λmax分別表示綠信比的下限和上限.

一般而言，隨著經(jīng)濟(jì)、人口的增長(zhǎng)，各個(gè)小區(qū)的用地強(qiáng)度也會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)變化.假設(shè)這種O-D需求的變化不存在極端情況，即某個(gè)O-D對(duì)之間的需求為0，則各O-D出行需求量必須滿(mǎn)足如下的下界約束:

由于交叉口損失時(shí)間的存在，對(duì)一個(gè)信號(hào)交叉口 j(a)，有

式中，Lj(a)為交叉口j(a)一個(gè)周期的損失時(shí)間;Nj(a)為交口j(a)的相位總數(shù).

1.3 雙層規(guī)劃模型

多相位信號(hào)控制路網(wǎng)容量可以表示為

式中，Q表示路網(wǎng)出行需求總量.xai(q，C，λ)可通過(guò)求解多相位信號(hào)控制路網(wǎng)用戶(hù)均衡分配模型(1)得出.

2 模型求解算法

多相位信號(hào)控制路網(wǎng)容量模型是一個(gè)雙層規(guī)劃模型.鑒于雙層規(guī)劃模型的非凸性，全局最優(yōu)解難以求得.此外，在最大路網(wǎng)容量模型中，上層模型xai(q，C，λ)是一個(gè)非線(xiàn)性模型，并且函數(shù)形式未知，因而不能直接求解約束規(guī)劃方程.文獻(xiàn)［1-4］采用靈敏度分析方法求解類(lèi)似雙層規(guī)劃模型，即在路網(wǎng)變量(O-D需求量、周期時(shí)間以及綠信比)相互獨(dú)立的條件下，對(duì)下層用戶(hù)均衡交通分配模型進(jìn)行靈敏度分析，得到路段均衡流量對(duì)路網(wǎng)變量的導(dǎo)數(shù)，從而將上層模型中路段流量函數(shù)轉(zhuǎn)換成線(xiàn)性函數(shù)進(jìn)行求解.但是，對(duì)于用戶(hù)均衡分配模型(1)，需要考慮各相位下路段流向流量，并且路徑-路段連接關(guān)系矩陣是一個(gè)三維矩陣，故傳統(tǒng)靈敏度分析方法并不適用.

靈敏度分析的目的是為了獲得均衡狀態(tài)下路段流量對(duì)各個(gè)路網(wǎng)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在自變量變化處的變化率，可以看作函數(shù)的微分與自變量的微分之商即微商，而微商是差商的極限形式［10］，因此可通過(guò)差商的方法近似估計(jì)出路段流量對(duì)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù).這種方法不需要假設(shè)路阻函數(shù)是路段流量的單調(diào)遞增函數(shù)，相比于經(jīng)典的靈敏度分析方法，其應(yīng)用范圍更為廣泛.利用差商的方法求解均衡狀態(tài)下信號(hào)控制路段各流向流量對(duì)設(shè)計(jì)變量導(dǎo)數(shù)的過(guò)程如下:假設(shè)xai是模型(1)在控制參數(shù)(q*，C*，λ*)處的一個(gè)均衡解，將路網(wǎng)變量qw在初始值的基礎(chǔ)上增加Δqw，其他變量不變，求得變量qw變化后模型(1)的均衡解.設(shè)此時(shí)xai的均衡解相比于初始值增加了Δxai，則xai在控制參數(shù)(q*，C*，λ*)處對(duì)變量qw的導(dǎo)數(shù)可以估計(jì)為Δxai/Δqw.采用類(lèi)似的方法可求出 xai對(duì)其他路網(wǎng)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù).則路網(wǎng)容量上層模型中未知函數(shù)xai(q，C，λ)可近似表示為如下的線(xiàn)性形式:

將式(10)代入上層模型中，則上層模型變?yōu)橐粋€(gè)以O(shè)-D需求量、周期時(shí)間和綠信比為變量的普通非線(xiàn)性?xún)?yōu)化模型，可以采用序列二次規(guī)劃法求解.根據(jù)上層模型求得的最優(yōu)解，再一次求解下層交通分配模型，得到新的路段均衡流量;重復(fù)上述過(guò)程，就可以得到新的路網(wǎng)容量.如此反復(fù)計(jì)算，有望收斂于路網(wǎng)容量雙層規(guī)劃模型的最優(yōu)解.這種基于靈敏度求解雙層規(guī)劃模型的方法稱(chēng)為BLABD算法，算法過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)［10］.

3 算例分析

圖1為信號(hào)控制路網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖.由圖可知，該路網(wǎng)包含6個(gè)節(jié)點(diǎn)、3個(gè) O-D 對(duì)(A-B，B-A，C-D)和10個(gè)路段.其中，節(jié)點(diǎn)E和節(jié)點(diǎn)F為信號(hào)控制交叉口，每個(gè)O-D對(duì)之間有2條可選的路徑.由于路徑A-F-E-B以及B-E-F-A需要在相應(yīng)的路口左轉(zhuǎn)，故在路段2和路段8上設(shè)置專(zhuān)用左轉(zhuǎn)車(chē)道以及專(zhuān)用左轉(zhuǎn)相位.C-D方向沒(méi)有左轉(zhuǎn)車(chē)輛，故只設(shè)置1個(gè)相位放行直右方向的車(chē)輛.交叉口E和交叉口F的相位設(shè)置如圖2所示.路段2和路段8設(shè)置2個(gè)車(chē)道，分別為左轉(zhuǎn)專(zhuān)用車(chē)道和直右車(chē)輛放行車(chē)道，其他所有路段均只設(shè)置1個(gè)車(chē)道，單個(gè)車(chē)道的通行能力為1800 pcu/h.路段行駛時(shí)間可表示為

圖1 信號(hào)控制路網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖

圖2 交叉口E和F的相位設(shè)置

利用Matlab編程求解圖1所示的基于多相位的最大路網(wǎng)容量問(wèn)題，取收斂精度 ε1=ε2=ε3=0.001，O-D出行需求量、周期時(shí)間以及綠信比的增加量分別設(shè)為 10，5，0.05.經(jīng)過(guò) 7次迭代，計(jì)算結(jié)果滿(mǎn)足收斂精度要求.各次迭代結(jié)果見(jiàn)表2.

由表2可知，第4次迭代結(jié)果已經(jīng)接近均衡解，說(shuō)明BLABD算法收斂速度較快.到達(dá)穩(wěn)定解時(shí)，路網(wǎng)容量為2338.687 pcu/h，即在現(xiàn)有 O-D出行總量下，路網(wǎng)可以多容納94.89%的O-D出行量.最大路網(wǎng)容量下，O-D對(duì)A-B之間的最大出行量為994.518 pcu/h，較初始值增加 98.90%;O-D對(duì)B-A的最大出行量為1074.580 pcu/h，即在到達(dá)路網(wǎng)容量前，B-A出行量還可以多容納114.92%的O-D出行量;最大路網(wǎng)容量狀態(tài)下，O-D對(duì)C-D之間的出行需求量為269.589 pcu/h，較初始值增加34.79%.達(dá)到路網(wǎng)最大容量時(shí)，交叉口E各信號(hào)相位的有效綠燈時(shí)間分別為 33.08，5.87，9.77 s;交叉口F各信號(hào)相位的有效綠燈時(shí)間分別為33.39，13.90，22.26 s.表 3 給出了最大路網(wǎng)容量下的路徑流量和行駛時(shí)間.由表可知，O-D對(duì)A-B和B-A之間的各條路徑具有相同的行駛時(shí)間，而O-D對(duì)C-D之間的出行需求量全部分布在最短路徑C-EF-D中，即所有使用的路徑具有相同的行駛時(shí)間，未使用路徑的行駛時(shí)間大于使用路徑的行駛時(shí)間，因此分配結(jié)果符合用戶(hù)均衡準(zhǔn)則.需要注意的是，BLABD算法中每一次迭代都需要多次求解下層用戶(hù)均衡分配模型，故對(duì)于設(shè)計(jì)變量較多的大型路網(wǎng)，該算法的實(shí)用性會(huì)相應(yīng)降低.

表1 各交叉口信號(hào)參數(shù)和O-D需求量的初始值

表2 各次迭代中O-D需求量、周期時(shí)間、綠信比的計(jì)算結(jié)果

表3 最大路網(wǎng)容量下的路徑流量和行駛時(shí)間

4 結(jié)語(yǔ)

本文建立了一種交叉口多相位信號(hào)控制路網(wǎng)容量的雙層規(guī)劃模型.為了克服傳統(tǒng)靈敏度分析方法的局限，采用BLABD算法來(lái)求解路網(wǎng)容量模型.該算法通過(guò)差商的方法近似估計(jì)均衡狀態(tài)下信號(hào)控制路段各流向流量對(duì)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)，將上層模型中的車(chē)道飽和度約束方程轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性方程，進(jìn)而求解.算例分析結(jié)果表明，BLABD算法可有效求解多相位信號(hào)控制路網(wǎng)容量問(wèn)題.但是在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，利用差商方法進(jìn)行靈敏度分析時(shí)需要多次求解設(shè)計(jì)變量變化后的用戶(hù)均衡解，模型計(jì)算量較大，計(jì)算速度相對(duì)較慢，因此對(duì)于大型路網(wǎng)容量問(wèn)題，有必要研究新的求解多相位信號(hào)控制路網(wǎng)模型的方法.

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