傅澄宇，楊 波，李正達(dá)

（上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

引 言

LED具有體積小、高亮度、低熱量、長(zhǎng)壽命等優(yōu)點(diǎn)，就目前的LED技術(shù)可以將LED的發(fā)光光譜擴(kuò)展到很寬的范圍，因此它被廣泛地認(rèn)為是下一代的照明光源。針對(duì)LED光源的特點(diǎn)，為了在照明系統(tǒng)中能夠優(yōu)化照明系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，減小系統(tǒng)的體積，以及得到更好的照明效果并提高光能利用率，自由曲面器件正得到越來越多的應(yīng)用。以傳統(tǒng)自由曲面建模方法擬合得到的自由曲面誤差較大，并容易產(chǎn)生曲面間不能無縫拼接的問題，針對(duì)這種情況，本文提出一種自由曲面反射器的設(shè)計(jì)方法，采用變步長(zhǎng)的龍格－庫塔算法，通過降低自由曲面中心位置采樣數(shù)，以減少擬合誤差，通過Light tools軟件仿真證明，該算法在提高光能利用率的同時(shí)，保證了被照明面照度均勻性。

1 連續(xù)自由曲面下的矩形照明斑分析

在現(xiàn)代照明需求中，很多場(chǎng)合需要得到均勻的矩形照明光斑，例如LED路燈、紫外曝光機(jī)［1］等。矩形照明斑與常見的圓形照明斑不同，其并非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。首先需要建立照明光源與被照明面的光能量傳遞關(guān)系，如圖1所示，然后根據(jù)能量守恒以及反射定律建立自由曲面上各點(diǎn)法向量的微分方程，根據(jù)初始點(diǎn)坐標(biāo)即可解出曲面上各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而用軟件將數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合成曲面［2］。

不同于圓形照明斑，矩形照明斑在建立光源出射面與被照面時(shí)所呈現(xiàn)的形狀是不同的，是一個(gè)圓弧面與多邊形面之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。由于微分的關(guān)系，可以將此多邊形近似看作是一個(gè)小的矩形部分。在原點(diǎn)處建立一個(gè)Lambertian點(diǎn)光源來仿真LED光源，在Z＝－5mm處建立一個(gè)能量接收器，并設(shè)置此接收器的Mesh為41×41分區(qū)，此時(shí)的峰值誤差為1.78%。通過追跡100萬條光線，得到仿真結(jié)果如圖2所示。其中亮色部分為相對(duì)光強(qiáng)較大的部分，而深色部分則為光強(qiáng)較低的部分。設(shè)置入射能量為1lm，在無吸收情況下，能量接收器的平均照度為3 906lx。此時(shí)的能量利用率較高，在無吸收的情況下大于95%，同時(shí)被照明面上的照明均勻性很差，邊緣銳度也不好，使得整體照明面無法實(shí)現(xiàn)矩形，形變較大。

圖1 光源與被矩形照明面的光能量傳遞關(guān)系Fig.1 Relationship between light source and rectangle illuminated surface

圖2 連續(xù)自由曲面反光碗及矩形照明斑照明仿真結(jié)果Fig.2 Free－form reflector and the simulation result of rectangle lighting

被照面不是方形且均勻性低的原因，除了算法本身的誤差和仿真軟件的仿真誤差外，最主要是由于矩形照明斑具有不可導(dǎo)位置，而一體的自由曲面具有連續(xù)性，因此無法實(shí)現(xiàn)方正的矩形。為了克服這個(gè)問題，本文將利用分割自由曲面的方法來實(shí)現(xiàn)矩形照明斑。

2 自由曲面的子面分割

分割自由曲面是為了克服被照明面在某些位置的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)性［3－5］，其方法是將一個(gè)整體自由曲面沿著不同緯線進(jìn)行分割，從而得到局部區(qū)域可導(dǎo)，由此便可以避免被照明面的不可求導(dǎo)點(diǎn)。為實(shí)現(xiàn)此算法，必須在進(jìn)行點(diǎn)云計(jì)算時(shí)，將經(jīng)線的點(diǎn)位置進(jìn)行單獨(dú)計(jì)算，而不是將緯線與經(jīng)線的點(diǎn)位置互相聯(lián)系。當(dāng)然，如果在緯線方向上不可導(dǎo)，亦可以從緯線方向斷開來解決這個(gè)問題。為了能夠提高曲面的精度，可以使用四階龍格－庫塔法或變長(zhǎng)度的龍格－庫塔法。

解析出的點(diǎn)云文件，可以通過CAD軟件，對(duì)點(diǎn)云進(jìn)行NUBERS樣條曲線擬合，其擬合結(jié)果如圖3所示。

圖3 子面拼接的結(jié)構(gòu)Fig.3 Sub－surface splice structure

將此曲面保存為STP或者IGS格式，再導(dǎo)入Light Tools軟件中，并修改反射面的反射率為99.8%，通過設(shè)置邊緣屬性為機(jī)械吸收100%來模擬反射面邊緣涂黑漆狀況，以消除邊緣反射光線導(dǎo)致的雜散光問題。將修改參數(shù)后的結(jié)構(gòu)導(dǎo)入Light Tools軟件，得到的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

與之前相同，在原點(diǎn)處建立朗伯光源，用以仿真LED，在相同位置建立照度接收器，設(shè)置接收器Mesh為41×41分區(qū)，追跡100萬條光線，通過仿真，得到峰值誤差為2.59%，光能利用率僅為58.9%。分析可知，能量利用率低的原因是各個(gè)子面拼接之間有縫隙，從而有部分能量從這些縫隙中流失。中心均勻度約為12%，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到設(shè)計(jì)要求，但是由圖5可以看到，照明斑的邊緣與直角已經(jīng)更加清晰，且沒有發(fā)生如圖2的變形現(xiàn)象。

圖4 子面拼接后的自由曲面結(jié)構(gòu)Fig.4 Free－form surface structure after sub－surface splice

圖5 子面拼接后的照明仿真結(jié)果Fig.5 Simulation result after sub－surface splice

3 算法改進(jìn)

由仿真結(jié)果可知，照明斑雖然輪廓分明，但均勻性和能量利用率還不能令人滿意，這就是子面拼接算法大多運(yùn)用在折射系統(tǒng)中的原因。

如圖6所示，由于整個(gè)系統(tǒng)為等距分割，曲面中心與邊緣的分割步長(zhǎng)相同，如此會(huì)導(dǎo)致中心分割度過高，透過率很大，能量利用率很低，因此照明斑的中心能量很低，而整個(gè)系統(tǒng)的能量利用率只有不到60%，其原因也是由于子面拼接后各個(gè)子面之間的空隙很大。同時(shí)，由于各個(gè)子面的形狀類似一個(gè)U型，這樣分割時(shí)，中心區(qū)域的子面形狀便如一條直線，對(duì)光線的反射能量就非常低；但如果采樣率過低，光斑形狀的控制能力又會(huì)降低。為了平衡這個(gè)矛盾，本文提出了遞進(jìn)采樣率算法，如變步長(zhǎng)的龍格－庫塔算法，可以有效平衡這個(gè)矛盾，增大系統(tǒng)的能量利用率。

圖6 U型子面Fig.6 U－shape sub－surface

所謂遞進(jìn)采樣率算法，是指在系統(tǒng)的中心時(shí)采樣率低，采樣率隨著向外輻射距離的增大而增大。這樣可以有效降低中心的采樣率，從而改善中心的能量損失。變步長(zhǎng)的龍格－庫塔算法是一種以龍格－庫塔算法為基礎(chǔ)的變化采樣步長(zhǎng)算法，單從每一步看，步長(zhǎng)越小，截?cái)嗾`差就越小，但隨著步長(zhǎng)的縮小，在一定求解范圍內(nèi)所要完成的步數(shù)就增加了。步數(shù)的增加不但引起計(jì)算量的增大，而且可能導(dǎo)致舍入誤差的嚴(yán)重積累。

因此在選擇步長(zhǎng)上，不能一味地增加階數(shù)以求獲得更高的精度，如四階龍格－庫塔算法，其局部截?cái)嗾`差為O（h5）。如下式中，h為采樣步長(zhǎng)，y是x的函數(shù)，式（1）表示為實(shí)際x點(diǎn)的y值與擬合的y值之間的誤差，步長(zhǎng)折半后的表達(dá)式如式（2）：

將兩式相除，則步長(zhǎng)折半后的誤差可以減少到原來的1／32。

設(shè)二者相差的精度為：

因此只要控制給定的精度，便可以自動(dòng)地變換步長(zhǎng)達(dá)到想要的解。

在本文中，自由曲面中心采用4倍于原本步長(zhǎng)的算法，這樣計(jì)算自由曲面是因?yàn)楣庠粗行膮^(qū)域產(chǎn)生的光線與自由曲面近似垂直接觸。當(dāng)選取4倍步長(zhǎng)時(shí)，其截?cái)嗾`差為O（h3），對(duì)曲面中心緯線的低采樣可以減少兩條緯線上點(diǎn)的位置不同，從而增大整體曲面在中心處的貼合度及平滑中心子面的平整度，使子面中心的反射能力大大增強(qiáng)。中心位置采用大步長(zhǎng)算法不但不會(huì)影響算法的精度，反而可以使得中心能量利用率得到提高。

將采用改進(jìn)算法的自由曲面反射面結(jié)構(gòu)導(dǎo)入Light Tools軟件中，如圖7所示，從圖中可以看出到中心子面的密集度增大了，這樣增大了中心的能量利用率，而整體算法由于變步長(zhǎng)的緣故，該算法的計(jì)算時(shí)間也有所減少。

按照前述方式，在Light tools中建立仿真模型，接收器上的照明斑結(jié)果如圖8所示。從圖中可以看出，中心的能量利用率大大提高，整體的照明均勻性也有所提高。追跡100萬條光線后，峰值誤差為0.85%，光能利用率為75.4%。能量利用率相對(duì)于未改進(jìn)算法提高了將近15%；中心均勻度為4.7%，小于5%，達(dá)到了實(shí)用要求。

圖7 采用改進(jìn)算法后的自由曲面反射面結(jié)構(gòu)Fig.7 Surface structure after progressive algorithm

圖8 變步長(zhǎng)算法的照明結(jié)果Fig.8 Simulation result after variable step size

4 結(jié) 論

在矩形光斑自由曲面反射器的優(yōu)化中，提出使用變步長(zhǎng)的龍格－庫塔算法，克服了子面拼接算法導(dǎo)致的照明效率及照明均勻性低下的問題。通過仿真分析可以看出，子面拼接算法雖然解決了照明斑的形狀控制問題，但中心能量的利用率過低，主要原因是曲面中心的采樣密度過高。因此，通過調(diào)整可變采樣密度，采用變步長(zhǎng)的龍格－庫塔算法，在較少改變整體系統(tǒng)誤差情況下，降低了自由曲面中心位置采樣數(shù)，從而解決了由于中心采樣過密集導(dǎo)致的能量損失與均勻性差的問題。通過仿真實(shí)驗(yàn)證明，使用變步長(zhǎng)龍格－庫塔算法子面拼接，比僅僅使用子面拼接算法時(shí)的光能利用率提高了近15%，中心均勻度也達(dá)到了實(shí)用的要求。

［1］趙新才，吳云峰.PCB曝光機(jī)照明系統(tǒng)的均勻性仿真與研究［J］.光學(xué)儀器，2010，32（4）：52－57.

［2］丁 毅，顧培夫.實(shí)現(xiàn)均勻照明的自由曲面反射器［J］.光學(xué)學(xué)報(bào)，2007，27（3）：80－81.

［3］王東霞，溫秀蘭，趙藝兵.基于CAD模型引導(dǎo)測(cè)量的自由曲面定位及輪廓度誤差評(píng)定［J］.光學(xué) 精密工程，2012，20（12）：2720－2727.

［4］李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2008：286－290.

［5］陳維恒.微分幾何初步［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1990：22－25.