巴彥縣第一中學(xué) 張晶

識(shí)圖，巧用根的判別式：

例 1：已知：如下圖 1△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為BC上的一點(diǎn)，以BD為直徑作⊙O，交AB于點(diǎn)E，連結(jié)CE交⊙O于點(diǎn)F，BF的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)G，若BD、DC 的長(zhǎng)是關(guān)于 x的方程（m2+1）x2－2（m+1）x+2=0的兩根.

求證：GF·CA=CF·EA；

求tan∠BGC的值.

求作以線段AE、BE的長(zhǎng)為根的一元二次方程.

圖1

第（1）問(wèn)屬于正常思路.第（2）問(wèn)若求 tan∠BGC 的值，在Rt△BCG中需求出BC，CG的值，思路自然轉(zhuǎn)到BD，DC 的長(zhǎng)是方程（m2+1）x2－2（m+1）x+2=0的兩根上，如何處理BD、DC之間的關(guān)系將成為解決此題的關(guān)鍵，通過(guò)分析、識(shí)圖發(fā)覺(jué)BD、DC有相等的可能，于是先用根的判別式（“Δ”）：Δ=[-2（m+1）]2－4（m2+1）×2=-4（m-1）2.因?yàn)锽D、DC的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以Δ≥0，而Δ=-4（m-1）2≥0，只有 Δ=0，即 m-1=0，m=1.從而突破難點(diǎn)，此題不再難解.

三角形相似、平行線分線成比例與圓冪定理的結(jié)合應(yīng)用：

其實(shí)在解決這類(lèi)問(wèn)題中，較常用、較奏效的方法莫過(guò)于三角形相似、平行線分線段成比例與圓冪定理的結(jié)合應(yīng)用，追溯哈爾濱近幾年的中考試題中的第29題，還是以用三角形（包括構(gòu)造三角形）相似、平行線分線段成比例，并結(jié)合圓冪定理的應(yīng)用居多.

例2：已知：如圖2，點(diǎn)O2是⊙O1上一點(diǎn)，⊙O2與⊙O1相交于A、D兩點(diǎn)，BC⊥AD，垂足為D，分別交⊙O1、⊙O2于 B、C 兩點(diǎn)，延長(zhǎng) DO2交⊙O2于 E，交 BA 的延長(zhǎng)線于F，BO2交AD于G，連結(jié)AC.

求證：∠BGD=∠C；

若∠DO2C=45°，求證：AD=AF；

若BF=6CD，且線段BD、BF的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2－(4m+2)x+4m2+8=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求BD、BF的長(zhǎng).

本題僅介紹第（3）問(wèn)的思路：

∵BF=6CD，∴設(shè)CD=K，則BF=6K.連結(jié) AE，則 AE⊥AD，∴AE∥BC，∴∴AE·BF=BD·AF.

又由△AO2E≌△DO2C，∴AE=CD=K，∴6K2=BD·AF=（BC－CD）（BF－AB）.

可求得：BC=3K，或 BC=4K.當(dāng) BC=3K 時(shí)，BD=2K，此時(shí) Δ＜0，當(dāng) BC=4K 時(shí)，BD=3K，可求得 m1=m2=4，進(jìn)而求得BD、BF的長(zhǎng).

圖2

除此以外還有其他尋求根之間的關(guān)系的辦法：

例 3：如圖 3，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，內(nèi)切圓 O與AB、BC、CA分別切于D、E、F三點(diǎn)，AO交⊙O于M、N兩點(diǎn)，交BC于G，已知⊙O的半徑為2，且AC、CG是關(guān)于 x的方程 x2－（2n+1）x+n2+2=0 的兩根.

圖3

求AC、AB.tan∠ADM的值.

下面簡(jiǎn)介尋求根之間關(guān)系的辦法：

解：連結(jié) OF、OE，（OF⊥OE）

即 2AC=CG·AC－2CG，

2（AC+CG）=CG·AC.

解方程，將根用系數(shù)表示：

例4：如圖4，已知：四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線 AC、BD 交于 E，且 AC⊥BD，若 AE2=BE·DE.

判斷四邊形ABCD的形狀,

若AC=2BD，且AD、BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程,

x2-（2n+1）x+n2+n-2=0 的兩根，求 n 值.

圖4

以下僅介紹②問(wèn)的解法：

方法（一）：由 AE2=BE·DE 推導(dǎo)△ABE∽△ADE，進(jìn)而得到∠BAD=90°，解方程 x2-（2n+1）x+n2+n-2=0，得 x1=n+1，x2=n+2，由圖知 BC=n+2，AD=n-1，再由△ABD∽△ABC得，，即由于可得BC=2AB=4AD，即 n+2=4（n－1），解得 n=2.

方法（二）：可以從BC=4AD起利用根與系數(shù)關(guān)系，

BC+AD=2n+1，

BC·AD=n2+n－2，

解方程組求n，此時(shí)n1=-3，n2=2，還需說(shuō)明n1=-3不合題意，舍去，顯然不如方法一簡(jiǎn)捷.

根的轉(zhuǎn)移：

例 5：如圖 5Rt△ABC 中，AC=BC，AB=2，AD⊥L，BE⊥L，過(guò) C 作直線 L，AD、BE 是關(guān)于 x的方程 x2－（m+3）x+m2+2=0的兩根.

①當(dāng)AB在L同側(cè)時(shí)，判斷AD、BE和DE的關(guān)系，并求DE的值.

②當(dāng)A、B兩點(diǎn)在L兩側(cè)時(shí)，畫(huà)圖并求DE，并判斷AD、BE和DE的關(guān)系.

圖5

AD、BE從表面看似乎沒(méi)有任何關(guān)系，然而要求DE的值時(shí)，盡管我們會(huì)由全等證出DE=BE+AD，但要求值，還得首先求出m，這就迫使我們不得不尋找兩根AD、BE之間的關(guān)系，而此時(shí)將一根BE（AD）轉(zhuǎn)移是再好不過(guò)的方法了.比如將BE轉(zhuǎn)用DC代替（因?yàn)椤鰽DC≌△CEB），兩根就同時(shí)位于△ADC中，由勾股定理即可建立兩根之間的關(guān)系：AD2+DC2=AC2，而AC在等腰直角三角形ACB中，由可求得，即，從而恒等變形為可以用根與系數(shù)關(guān)系的形式，（AD+BE）2-2AD·BE=10，再將AD+BE=m+3，AD·BE=m2+2代入得到一個(gè)關(guān)于m的一元二次方程：（m+3）2-2(m2+2)=10，解得m=1或m=5，而當(dāng)m=5時(shí)，Δ＜0，只取m=1，從而求得DE=BE+AD=1+3=4.

第②問(wèn)可同①理.

這類(lèi)問(wèn)題有的是直接轉(zhuǎn)移根，有的也轉(zhuǎn)移與根有關(guān)的等式，現(xiàn)再舉一例僅供參考：

例6：如圖 6在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D為 AB 中點(diǎn)，過(guò)C、D兩點(diǎn)作⊙O分別交AC、BC于E、F，交AB于G.

①求證：AE2+BF2=DE2+DF2；

②若AE2+BF2=85，且CE、CF的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程

x2－（2n+3）x+n2+2=0 的兩根，求 CE、CF.

圖6

在解決①時(shí)，很多學(xué)生是這條思路，想從三角形全等證出AE=DF，DE=BF，但此路不通，提示：延長(zhǎng)FD至M，使DM=DF，連結(jié)AM.可證△AMD≌△BDF，推出∠AMD=∠DFB，連結(jié) EF，可由∠ACB＝90°得∠MAE＝90°，連結(jié) EM，得 AE2+AM2=EM2，因?yàn)?AM=BF（△AMD≌△BDF），EM=EF（△EDM≌△EDF），故此，AE2+BF2=DE2+DF2（在Rt△EDF中，由勾股定理得）.①是②的橋梁，因?yàn)镃E、CF是方程的兩根，而CE2+CF2=EF2=DE2+DF2=AE2+BF2=85，再如前例將平方和變形成兩根和、兩根之積的形式即可求解.