郭 雨，柏 森，陽 溢，唐鑒波

(1.重慶通信學(xué)院，重慶 400035;2.應(yīng)急通信重慶市重點實驗室，重慶 400035)

傳統(tǒng)的圖像壓縮和加密過程往往是分開的，這樣不但增加了算法的復(fù)雜度，并且由于加密破壞了圖像的相關(guān)性，還會降低圖像的壓縮性能。因此，發(fā)展一種能夠同時對圖像進行壓縮和加密處理的算法就成了新的需要。對圖像同時進行加密和壓縮，既能夠解決圖像傳輸中帶寬利用率的問題，又可以解決傳輸安全的問題?；跀?shù)論的圖像同時壓縮和加密算法［1］(Number Theory based Image Compression Encryption，NTICE)正是這樣的一種技術(shù)。

文獻［2］中提到的方法是先壓縮，后加密。由于先對圖像進行壓縮，沒有破壞圖像相關(guān)性，因此可以得到較高的壓縮比，但由于其加密和壓縮是兩個獨立的部分，增加了算法復(fù)雜度，降低了運算效率。文獻［3］提出了一種基于騎士巡游的圖像加密和壓縮同時進行的方法。此方法可以得到較好的壓縮比和加密效果，但是嚴(yán)格來說，此方法是先加密，后壓縮。文獻［1］中首先使用了NTICE算法對RGB彩色模型的彩色圖像進行加密和壓縮。文獻［4］為了進一步提高NTICE算法的安全性和壓縮效率，通過將兩幅不同的圖像的高4比特位和低4比特位互換的方法，使兩幅圖像復(fù)合成為一幅圖像后，再對復(fù)合圖像使用NTICE算法進行加密和壓縮處理。文獻［4］為多幅圖像同時加密和壓縮提供了一個思路。

為保證圖像傳輸?shù)陌踩院蛡鬏斝?，本文在前人?yīng)用數(shù)論知識對圖像進行同步壓縮和加密研究的基礎(chǔ)之上，結(jié)合圖像復(fù)用技術(shù)［6-7］，提出了一種改進算法。本文首先利用圖像復(fù)用技術(shù)將4幅圖像復(fù)合1幅圖像，再對復(fù)合圖像使用NTICE算法進行壓縮和加密。經(jīng)由上述算法對圖像進行壓縮和加密，圖像的壓縮率和安全性都得到了一定程度的提升。

1 中國剩余定理及NTICE算法加密和壓縮的原理

中國剩余定理(Chinese Remainder Theorem，CRT)解決了同余方程組的求解問題。具體表述如下。

設(shè)有以下同余方程組:

設(shè)n1，n2，…，nk(k≥1)為k個兩兩互素的正整數(shù)，令

則同余方程組的一般解為

式中:ci是滿足同余方程(4)的一個特解。

式中:i=1，2，…，k。其求解方法可以采用“大衍求一數(shù)”或“輾轉(zhuǎn)相除法”，具體方法見文獻［5］。

NTICE算法是CRT的一種應(yīng)用。把像素值作為同余方程組的余數(shù)ak，而將兩兩互素的密鑰分別作為同余方程組的模數(shù)nk，從而求解出同余方程組的通解x?？梢缘弥?，多個像素值經(jīng)過同余方程組的求解，最終變成了一個正整數(shù)，也就是通解，達到了圖像壓縮的目的。若將圖像還原，只需將通解x代入式(1)就可得到原始像素值。若此時模數(shù)nk不正確，即解密密鑰錯誤，就無法還原出原始像素值，達到了加密的目的。

2 基于圖像復(fù)用技術(shù)和數(shù)論的圖像加密壓縮同步算法

2.1 算法思想

由于圖像的像素之間存在著強相關(guān)性，在應(yīng)用NTICE算法對圖像加密時，如果正確的解密密鑰和錯誤的解密密鑰相差不是很大時，使用錯誤密鑰解密仍可得到部分原始圖像。為了進一步提高安全性和壓縮比，本文首先對4幅m×n大小的圖像進行DCT變換，得到4個m×n大小的DCT系數(shù)矩陣，再按照一定的規(guī)則將4個DCT系數(shù)矩陣結(jié)合成1個m×n大小的DCT系數(shù)矩陣，再對生成的DCT系數(shù)矩陣進行DCT逆變換，得到復(fù)合圖像，最后對復(fù)合圖像使用NTICE算法進行同步加密和壓縮，得到加密和壓縮后的數(shù)據(jù)流。解密過程是上述算法的逆過程。算法過程如圖1所示。

圖1 本文算法示意圖

2.2 圖像復(fù)用技術(shù)算法原理與步驟

文獻［6］和文獻［7］中的圖像復(fù)用技術(shù)可以提高圖像壓縮效率，但是復(fù)用后的圖像仍可以顯示其中的部分原始圖像信息。本文在其基礎(chǔ)上進行了改進，復(fù)用后的圖像不顯示原始圖像信息，安全性得到了一定的提升。其示意圖如圖2所示，步驟如下。

圖2 圖像復(fù)用技術(shù)示意圖

1)分別對4幅m ×n大小的圖像I1，I2，I3，I4以8×8為大小進行分塊，將每幅圖像都分別分成i×j塊，得到4個塊化矩陣，其中i=，j=。再分別對每一個塊化矩陣的每一個8×8小塊進行DCT變換，得到4個DCT 系數(shù)塊化矩陣 S1，S2，S3，S4。

2)為了提高加密圖像的安全性，本文采用如下方法進行旋轉(zhuǎn)加密。令k1=n1mod 4，k2=n2mod 4，k3=n3mod 4，k4=n4mod 4，其中 n1，n2，n3，n4分別為 NTICE 算法中作為密鑰的k個正整數(shù)中的任意4個正整數(shù)。當(dāng)k1=0，1，2，3時，將S1的每個8×8小塊相應(yīng)地逆時針旋轉(zhuǎn)180°，90°，270°，0°。也可采用其他組合方式，只要滿足4個旋轉(zhuǎn)角度與k1可能出現(xiàn)的4個數(shù)值一一對應(yīng)即可。同理，k2，k3，k4分別決定S2，S3，S4的每個8×8小塊的旋轉(zhuǎn)角度。圖2展示了DCT系數(shù)矩陣的一個8×8小塊由上到下分別按照逆時針旋轉(zhuǎn)180°，90°，270°，0°的方法示意圖。

3)將旋轉(zhuǎn)后的S1每個8×8小塊的低頻1/4部分置于復(fù)合圖像的塊化系數(shù)矩陣S對應(yīng)塊的左上1/4部分;將旋轉(zhuǎn)后S2每個8×8小塊的低頻1/4部分置于復(fù)合圖像的塊化系數(shù)矩陣S對應(yīng)塊的右上1/4部分;將旋轉(zhuǎn)后S3每個8×8小塊的低頻1/4部分置于復(fù)合圖像的塊化系數(shù)矩陣S對應(yīng)塊的左下1/4部分;將旋轉(zhuǎn)后S4每個8×8小塊的低頻1/4部分置于復(fù)合圖像的塊化系數(shù)矩陣S對應(yīng)塊的右下1/4部分。

4)將S每個8×8塊進行DCT逆變換，得到復(fù)合圖像。由于復(fù)合圖像的DCT系數(shù)是由原始4幅圖像的DCT系數(shù)經(jīng)旋轉(zhuǎn)合并成的，因此復(fù)合圖像不再顯示出原始的圖像信息，且4幅圖像經(jīng)運算后變成1幅圖像，所以圖像復(fù)用算法是一種同步進行加密和壓縮的算法。

5)在接收端，按照上述過程的逆過程，還原出原始的4幅圖像。

2.3 NTICE算法原理與步驟

NTICE算法的示意圖如圖3所示。

圖3 基于NTICE算法的圖像加密壓縮同步方法示意圖

1)讀取原始圖像I，圖像大小為m×n，對圖像進行1×k分塊，其中圖像的列數(shù)可以被k整除，即n≡0(mod k)。

2)對劃分好的像素塊中的每個像素ri按照式(5)分別得到像素值的高4比特位的十進制數(shù)值和低4比特的十進制數(shù)值。

式中:ai表示像素值的高4比特位的十進制數(shù)值;a′i表示像素值的低4比特位的十進制數(shù)值。

4)根據(jù)中國剩余定理解同余方程組，分別計算每一個一次同余式Pix≡1( mod ni)的一個特解ci。由于中國剩余定理的一次同余式計算僅與Pi和ni有關(guān)，與像素值無關(guān)，因此像素值的高4比特位a1和低4比特位a′1的一次同余式的特解ci是相同的，即無論像素值怎么變化，特解都不會變化。根據(jù)這一性質(zhì)，可以在計算得出特解ci之后，將其存儲起來，而不用每次都進行計算，以提高計算效率。

5)根據(jù)式(7)，分別得出像素值高4比特和低4比特的加密后的數(shù)據(jù)，也就是式(6)的通解TR和TR′。計算出所有TR后，統(tǒng)計相同的TR的個數(shù)。將不同的TR按照出現(xiàn)頻率的大小，依次由高到低排列后，采用Huffman方法進行編碼。TR′采用同TR的方法進行編碼。由上述敘述可以看出TR和TR′既是加密后的數(shù)據(jù)，又是壓縮后的數(shù)據(jù)，達到了同時加密和壓縮的目的。

如果僅保留圖像像素值的高4比特位的數(shù)據(jù)，而將其低4比特位的數(shù)據(jù)置為0，也可以得到較好的圖像顯示效果。因此對解壓縮后圖像質(zhì)量要求較高時，可以采用無損壓縮模式，既同時傳輸高4比特位的加密數(shù)據(jù)TR和低4比特位的加密數(shù)據(jù)TR′;對解壓縮后的圖像質(zhì)量要求不高時，可以采用有損壓縮模式，僅傳輸高4比特位的加密數(shù)據(jù)TR。

6)在接收端還原圖像，只需要將接收到的數(shù)據(jù)解碼得到通解TR和TR′，并將通解TR和TR′代入式(8)

式中:mi是解密密鑰;ari和ar′是解密后圖像像素值的高4比特位和低4比特位。

7)將像素的高4比特位和低4比特位合并，重建圖像Si，計算公式為

3 算法仿真與結(jié)果

3.1 加密效果性能分析

本文主要是針對灰度圖像進行仿真實驗，對彩色圖像進行同時加密和壓縮時，可以將彩色圖像按照RGB顏色模型分解成三基色的3個矩陣，然后按照灰度圖像加密和壓縮方法，分別對3個矩陣進行加密和壓縮。本文使用MTALAB軟件對4幅520×520大小的測試圖像進行仿真實驗。設(shè)置密鑰長度為10，即選取10個兩兩互素的正整數(shù)(18，25，43，31，29，37，17，23，41，19)作為密鑰。其正確密鑰解密效果圖和錯誤密鑰(22，21，19，44，31，32，39，17，41，23)的解密效果圖如圖4所示。

圖4 正確密鑰和錯誤密鑰解密效果圖

3.2 壓縮比(CR)

壓縮比是評價圖像壓縮算法的一個重要指標(biāo)，它指的是原始圖像每個像素的平均比特數(shù)c1同編碼后每個像素的平均比特數(shù)c2的比值，壓縮比越大表示壓縮效果越好［8］，定義為

壓縮比測試中，采用無損壓縮模式，密鑰長度分別選為10和8，即分別選取10個兩兩互素的正整數(shù)和8個兩兩互素的正整數(shù)作為密鑰。其中峰值信噪比(PSNR)是進行解壓縮后的重建圖像與原始圖像進行比較得到的。

由表1 可知，密鑰長度為10(29，37，17，23，41，19，18，25，43，31)的壓縮比要比密鑰長度為8(29，37，17，23，41，19，18，25)效果好。這是因為隨著密鑰長度增加，一個通解TR可以表示更多的像素。由于目前缺乏關(guān)于多幅圖像同時進行加密和壓縮的資料，所以無法與其他文獻進行壓縮比的比較。

表1 無損加密和壓縮的壓縮比

如果在對重建圖像質(zhì)量要求不是非常高，可以僅傳輸原始復(fù)合圖像像素值的高4位比特的加密數(shù)據(jù)TR，進行有損加密和壓縮來得到較高的壓縮比。由表2和圖5可以看出，有損加密和壓縮的重建圖像的質(zhì)量和PSNR有所下降，但仍可較為清晰地顯示出圖像內(nèi)容，顯示效果仍在可接受范圍之內(nèi)。

表2 有損加密和壓縮的壓縮比

圖5 有損加密和壓縮的重建圖像

3.3 安全性分析

3.3.1 密鑰空間容量分析

一個好的加密算法應(yīng)該是對密鑰非常敏感的，且密鑰空間要足夠大以抵抗窮舉攻擊［9］。本算法安全性取決于密鑰ni(由兩兩互素的正整數(shù)組成的)。本算法中，取每個正整數(shù)的長度為6 bit，那么當(dāng)取10個兩兩互素的正整數(shù)作為密鑰時，密鑰總長度為60 bit。由于作為密鑰的正整數(shù)順序之間可以互相變化，總的變化數(shù)目是作為密鑰的正整數(shù)個數(shù)的階乘l。本算法為了進一步增加安全性，在圖像復(fù)合時，將圖像的旋轉(zhuǎn)方向也作為密鑰。令k1=n1mod 4，k2=n2mod 4 ，k3=n3mod 4 ，k4=n4mod 4 ，其中n1，n2，n3，n4分別為加密密鑰的任意4個正整數(shù)，共有種

3.3.2 密鑰雪崩效應(yīng)分析

圖6 加密模型

從密鑰更換的有效性考慮，圖像加密算法對密鑰的變換應(yīng)是敏感的，即密鑰具有所謂的雪崩現(xiàn)象［10］。由于本文密鑰是兩兩互素的正整數(shù)，具有特殊性，所以測試密鑰雪崩效應(yīng)時，在保證測試密鑰是兩兩互素的正整數(shù)的前提下，選取與初始密鑰歐氏距離最小的兩兩互素的正整數(shù)作為測試密鑰。設(shè)初始密鑰 key1 為 18，25，43，31，29，37，17，23，41，19，改變后的密鑰 key2 為 16，25，43，31，29，37，17，23，41，19。測試結(jié)果如圖7 所示。

圖7 密文對密鑰的敏感性測試

從圖7中可以看出，當(dāng)密鑰發(fā)生細微改變時，會導(dǎo)致密文產(chǎn)生較大的變化，此加密算法對密鑰有較好的敏感性。

3.3.3 明文雪崩效應(yīng)

加密算法應(yīng)該對明文的變化是敏感的，即明文對密文存在著雪崩現(xiàn)象［10］。通常攻擊者可以通過對圖像作微小的改變來觀察加密效果，這樣可能發(fā)現(xiàn)加密圖像與原始圖像的某種關(guān)系，但是如果對原始圖像做細微改變，導(dǎo)致加密圖像有很大變化，這樣差分攻擊將失去作用［9］。首先對4幅原始圖像進行加密，然后改變4幅原圖像某一個像素點的值(如:I(i，j)=I(i，j)+1)，再用同樣密鑰進行加密，比較兩個密文對應(yīng)位置的像素值(如圖8)。由圖8可以看出，明文發(fā)生細微改變，密文多數(shù)都改變，具有較強的抗差分攻擊能力。

4 結(jié)束語

本文在前人用數(shù)論對圖像進行壓縮和加密研究的基礎(chǔ)之上，結(jié)合圖像復(fù)用技術(shù)，提出了一個改進的算法。經(jīng)實驗證明，本文算法具有較大的密鑰量和較好的壓縮比。在圖像壓縮和加密技術(shù)快速發(fā)展的今天，具有較好的應(yīng)用前景。

圖8 密文對明文的敏感性測試

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