姚曉斌

（隴南師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系，成縣742500）

0 引 言

對于帶有各種邊值條件的顯式二階微分方程，已有很多的解的存在唯一性結(jié)果，且在這些問題研究中有著很多的研究方法（見文獻(xiàn)［1－4］）.非常自然地，我們會問：對于如下二階隱式微分方程兩點邊值問題.

解的存在唯一性結(jié)果是否仍然可獲得？本文將證明答案是肯定的.

1 預(yù)備知識

（H1）f∶［0，1］×R×R→R是連續(xù)的；

（H2）存在M，L＞0，使得對任意的u1，v1，u2，v2∈R

設(shè)C［0，1］是Banach空間，具有范數(shù)‖x‖0＝

2 主要結(jié)果及證明

本文的主要結(jié)果如下：

定理 設(shè)（H1）和（H2）成立，且L＜4 M

則問題（1）有唯一解.

證明 問題（1）等價于如下問題

設(shè)v（t）＝－u″（t）.注意到u（0）＝u（1）＝0，因此v是如下積分方程的解，這表明

是問題（1）的解，其中

定義算子A∶C［a，b］→C［a，b］

要證問題（1）有唯一解等價于證明上面所定義的算子A是一個壓縮映射.

設(shè)v1，v2∈C［a，b］，由（H2）有

因此對任意v1，v2∈C［a，b］，

3 例

設(shè)

f（t，u，v）＝－3u－6v

容易驗證（H1）成立.

可證明對對任意的u1，v1，u2，v2∈R

因此（H2）成立.

考查如下問題

注意到σ＜1，可應(yīng)用定理得到所考察的問題有唯一解.

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