姚曉斌

（隴南師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系，成縣742500）

0 引 言

對于帶有各種邊值條件的顯式二階微分方程，已有很多的解的存在唯一性結(jié)果，且在這些問題研究中有著很多的研究方法（見文獻(xiàn)［1－4］）.非常自然地，我們會問：對于如下二階隱式微分方程兩點(diǎn)邊值問題.

解的存在唯一性結(jié)果是否仍然可獲得？本文將證明答案是肯定的.

1 預(yù)備知識

（H1）f∶［0，1］×R×R→R是連續(xù)的；

（H2）存在M，L＞0，使得對任意的u1，v1，u2，v2∈R

設(shè)C［0，1］是Banach空間，具有范數(shù)‖x‖0＝

2 主要結(jié)果及證明

本文的主要結(jié)果如下：

定理 設(shè)（H1）和（H2）成立，且L＜4 M

則問題（1）有唯一解.

證明 問題（1）等價于如下問題

設(shè)v（t）＝－u″（t）.注意到u（0）＝u（1）＝0，因此v是如下積分方程的解，這表明

是問題（1）的解，其中

定義算子A∶C［a，b］→C［a，b］

要證問題（1）有唯一解等價于證明上面所定義的算子A是一個壓縮映射.

設(shè)v1，v2∈C［a，b］，由（H2）有

因此對任意v1，v2∈C［a，b］，

3 例

設(shè)

f（t，u，v）＝－3u－6v

容易驗(yàn)證（H1）成立.

可證明對對任意的u1，v1，u2，v2∈R

因此（H2）成立.

考查如下問題

注意到σ＜1，可應(yīng)用定理得到所考察的問題有唯一解.

［1］ Agarwal，R.P..Two－point Problems for Non－linear Second Order Differential Equat ions［J］.J.Mat h.Phys.Sci.1974.8：571－576.

［2］ Das，K.M..and Lalli，B.S..Boundary Value Problems for y″＝f（x，y，y′，y″）.J.Math［J］.Analysis Applic.1981，81：300－307.

［3］ Agarwal，R.P..On Boundary Value Problems for y″＝f（x，y，y′，y″）Bulletin of the Institute of Mathematics，Academia［J］，Sinica.1984，12（2）：153－157.

［4］ Bax ley，J.V..and Brown，S.E..Existence and U－niqueness for Ttwo－point Boundary Value Problems［J］.Proceedings of the Roy al Society of Edinburgh.1981，88A：219－234.

［5］ D.Guo，J.Sun，Nonlinear Integral Equations［M］.Shandong Science and Echnology Press Jinan，1987.