黃 毅，胡二琴

（湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢430068）

保留價(jià)也被稱(chēng)為底價(jià).在正向拍賣(mài)中，保留價(jià)是最低限價(jià)，若所有投標(biāo)人的報(bào)價(jià)低于保留價(jià)，拍賣(mài)將無(wú)法順利成交；在采購(gòu)拍賣(mài)（即逆向拍賣(mài)）中，保留價(jià)是最高限價(jià)，若所有投標(biāo)人的報(bào)價(jià)高于保留價(jià)，拍賣(mài)也無(wú)法順利成交.20世紀(jì)80年代以來(lái)，許多學(xué)者（如 Milgrom、Maskin、Reliy、Simuleson等）對(duì)拍賣(mài)中保留價(jià)的問(wèn)題進(jìn)行了研究，涌現(xiàn)了大量的經(jīng)典文獻(xiàn)［1－7］，但這些文獻(xiàn)大都是研究各種拍賣(mài)中最優(yōu)保留價(jià)的設(shè)定.1993年，Carey從策略性披露的角度探討了采購(gòu)拍賣(mài)中保留價(jià)的公開(kāi)與隱藏對(duì)采購(gòu)成本的影響［8］.公開(kāi)保留價(jià)是指拍賣(mài)人在投標(biāo)人報(bào)價(jià)前就把保留價(jià)公布出來(lái)；而隱藏保留價(jià)是指拍賣(mài)人在投標(biāo)人報(bào)價(jià)后再宣布保留價(jià)格.保留價(jià)的公開(kāi)與否直接影響著投標(biāo)人的信息，從而影響著投標(biāo)人的報(bào)價(jià)策略以及拍賣(mài)人的收益.Carey指出：在第一價(jià)格密封拍賣(mài)中，隱藏保留價(jià)總能降低采購(gòu)成本.在公開(kāi)保留價(jià)時(shí)，成本高于保留價(jià)的供應(yīng)商不會(huì)參加報(bào)價(jià)，因此實(shí)際參與報(bào)價(jià)的供應(yīng)商人數(shù)是隨機(jī)的而不是確定的，Carey用參與報(bào)價(jià)的供應(yīng)商的平均人數(shù)代替實(shí)際人數(shù)進(jìn)行分析.文獻(xiàn)［9］指出，這種將實(shí)際參與報(bào)價(jià)供應(yīng)商人數(shù)確定化的方法是不必要的，并討論了保留價(jià)公開(kāi)時(shí)的報(bào)價(jià)策略，指出Carey文中的部分錯(cuò)誤，但是文中給出的報(bào)價(jià)函數(shù)有誤.同時(shí)，文獻(xiàn)［8］與文獻(xiàn)［9］都只是從數(shù)值模擬的結(jié)果來(lái)比較公開(kāi)保留價(jià)與隱藏保留價(jià)時(shí)的采購(gòu)成本，而未能給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.

本文在文獻(xiàn)［8－9］的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了采購(gòu)拍賣(mài)中采購(gòu)商的保留價(jià)披露策略，推導(dǎo)了保留價(jià)公開(kāi)與隱藏時(shí)供應(yīng)商的報(bào)價(jià)策略以及采購(gòu)商的期望采購(gòu)成本，并給出了兩種情況下采購(gòu)成本比較的數(shù)學(xué)證明，并指出文獻(xiàn)［8－9］都過(guò)分估計(jì)了隱藏保留價(jià)的作用，若采購(gòu)商設(shè)定的保留價(jià)很小，隱藏保留價(jià)必然會(huì)導(dǎo)致采購(gòu)失敗，主張公開(kāi)保留價(jià).同時(shí)，文獻(xiàn)［8－9］都只考慮了第一價(jià)格密封拍賣(mài)的情形，而本文不僅考慮了采購(gòu)商的保留價(jià)披露策略，同時(shí)也研究了拍賣(mài)方式的選擇.

1 模型

采購(gòu)商打算用拍賣(mài)的方式來(lái)采購(gòu)一個(gè)不可分物品，有n個(gè)供應(yīng)商參與報(bào)價(jià).每個(gè)供應(yīng)商的成本是他的私人信息，其他供應(yīng)商只知道他的成本服從區(qū)間［a，b］上的某一分布，分布函數(shù)為F（x），分布密度為f（x）.假設(shè)供應(yīng)商的成本相互獨(dú)立，且供應(yīng)商是風(fēng)險(xiǎn)中立的.由于資金約束等原因，采購(gòu)商設(shè)立最高限價(jià)即保留價(jià)r.因?yàn)樽罡叱杀镜墓?yīng)商的報(bào)價(jià)最高且為b，故r＞b時(shí)保留價(jià)沒(méi)有意義.若r＜a，所有的供應(yīng)商都不會(huì)參與報(bào)價(jià)，故可設(shè)r∈ ［a，b］.若報(bào)價(jià)中的最低報(bào)價(jià)小于保留價(jià)，則報(bào)價(jià)最低者勝出；否則交易失敗，供應(yīng)商收益為0.供應(yīng)商希望最大化其收益，而采購(gòu)商希望最小化其采購(gòu)成本.現(xiàn)在，采購(gòu)商面臨雙重選擇：為了減小采購(gòu)成本，到底該選用第一價(jià)格密封拍賣(mài)還是第二價(jià)格密封拍賣(mài)，到底該公開(kāi)保留價(jià)還是隱藏保留價(jià).

2 第一價(jià)格密封拍賣(mài)的保留價(jià)分析

在第一價(jià)格拍賣(mài)中，若最低報(bào)價(jià)小于保留價(jià)，則報(bào)價(jià)最低者贏得拍賣(mài)，并按照?qǐng)?bào)價(jià)獲得支付.下面在拍賣(mài)前公開(kāi)與隱藏保留價(jià)兩種情況下，討論供應(yīng)商的報(bào)價(jià)策略以及采購(gòu)商的期望采購(gòu)成本.

2.1 隱藏保留價(jià)

當(dāng)隱藏保留價(jià)時(shí)，供應(yīng)商知道采購(gòu)商設(shè)定了一保留價(jià)，但并不知道保留價(jià)的確切值.因此所有供應(yīng)商都會(huì)參與競(jìng)價(jià)而不用去考慮保留價(jià)，并依照自己的成本來(lái)報(bào)價(jià)βi（c）.顯然成本越高報(bào)價(jià)越高，所以假設(shè)βi（c）是可微的單調(diào)增函數(shù).由于供應(yīng)商對(duì)稱(chēng)，故假設(shè)所有供應(yīng)商采用同一個(gè)報(bào)價(jià)函數(shù)βi（c）＝β（c）.

為了確定β（c），假定其他供應(yīng)商都按此對(duì)稱(chēng)均衡報(bào)價(jià)，而供應(yīng)商i的成本為c，選擇報(bào)價(jià)p＝β（x），其期望收益

在對(duì)稱(chēng)均衡中，當(dāng)x＝c時(shí)，供應(yīng)商的期望收益最大.故

所以報(bào)價(jià)函數(shù)β（c）滿(mǎn)足微分方程

而具有最高成本的供應(yīng)商的報(bào)價(jià)必為b，即β（b）＝b.在約束條件（2）下，解微分方程（1）得，報(bào)價(jià)函數(shù)

由于報(bào)價(jià)函數(shù)為成本的單調(diào)遞增函數(shù)，所以成本最低的供應(yīng)商報(bào)價(jià)最低.記c1為n個(gè)供應(yīng)商中的最 低 成 本，其 密 度 為 n ［1－F（c）］n－1f（c），c ∈［a，b］.由于采購(gòu)商設(shè)定了隱藏的保留價(jià)r，所以只有當(dāng)最低報(bào)價(jià)r，即c1＜β－1（r）時(shí)，交易才會(huì)成功，采購(gòu)商支付β（c1）.

因此采購(gòu)商的期望支付

特別的，當(dāng)成本c服從［a，b］上的均勻分布時(shí)，由式（1）可得，供應(yīng)商報(bào)價(jià)函數(shù)

由上式可得，當(dāng)采購(gòu)商隱藏保留價(jià)時(shí)，所有供應(yīng)商的報(bào)價(jià)都會(huì)高于，因此當(dāng)保留價(jià)滿(mǎn)足a≤r時(shí)，所有供應(yīng)商報(bào)價(jià)都高于保留價(jià)，交易不會(huì)成功，采購(gòu)商的期望支付為EFC＝0.

2.2 公開(kāi)保留價(jià)

當(dāng)采購(gòu)商在拍賣(mài)前公開(kāi)保留價(jià)r時(shí)，那么成本高于保留價(jià)r的供應(yīng)商將不會(huì)報(bào)價(jià).此時(shí)實(shí)際參與報(bào)價(jià)的供應(yīng)商人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)數(shù)ξ，且ξ服從參數(shù)為二項(xiàng)分布B（n，F(xiàn)（r））.文獻(xiàn)［8］用Eξ代替實(shí)際參與報(bào)價(jià)供應(yīng)商人數(shù)，從而計(jì)算供應(yīng)商勝出的概率.這個(gè)其實(shí)是不需要的.所有成本不高于r的供應(yīng)商都會(huì)參與報(bào)價(jià)，并且報(bào)價(jià)時(shí)處在對(duì)稱(chēng)位置，因此可假定他們都按照對(duì)稱(chēng)均衡γ（c）報(bào)價(jià).為了確定γ（c），假定其他參與報(bào)價(jià)的供應(yīng)商都按此策略報(bào)價(jià)，而供應(yīng)商i的成本為c＜r，但卻報(bào)價(jià)γ（x），由全概率公式可得，其獲勝的概率為

其期望剩余為π＝ （γ（x）－c）［1－F（x）］n－1.

在對(duì)稱(chēng)均衡中，當(dāng)x＝c時(shí)，期望剩余達(dá)到最大.

成本為r的供應(yīng)商報(bào)價(jià)必為r，γ（r）＝r.

由此解微分方程 （4），得公開(kāi)保留價(jià)時(shí)供應(yīng)商報(bào)價(jià)函數(shù)

所以若公開(kāi)保留價(jià)，當(dāng)供應(yīng)商選擇報(bào)價(jià)時(shí)，報(bào)價(jià)都超出成本，超出部分為小于隱藏保留價(jià)時(shí)報(bào)價(jià)超出成本部分所以公開(kāi)保留價(jià)時(shí)，供應(yīng)商報(bào)價(jià)更低.

由于γ（c）為成本的增函數(shù)，所以成本越小報(bào)價(jià)越低.記c1為n個(gè)供應(yīng)商中的最低成本，其密度為n［1－F（c）］n－1f（c），c∈ ［a，b］，其 密 度 函 數(shù) 為 n［1－F（c）］n－1f（c）.當(dāng)c1＞r時(shí)，無(wú)人參與報(bào)價(jià)，采購(gòu)商支付為0；當(dāng)c1≤r時(shí)，成本最低的供應(yīng)商通過(guò)報(bào)價(jià)γ（c1）贏得拍賣(mài)，采購(gòu)商支付γ（c1）.所以采購(gòu)商的期望支付

特別的，當(dāng)成本c服從［a，b］上的均勻分布時(shí)，由式（5）可得，供應(yīng)商報(bào)價(jià)函數(shù)

由式（6）可得，采購(gòu)商期望支付

定理：當(dāng)供應(yīng)商的成本服從［a，b］上的均勻分布時(shí)，若采購(gòu)商設(shè)定的保留價(jià)時(shí)，采購(gòu)商應(yīng)公開(kāi)保留價(jià)；當(dāng)時(shí)，隱藏保留價(jià)時(shí)采購(gòu)商的期望采購(gòu)成本更小，即EFC＜EFP.

因此，當(dāng)采購(gòu)商設(shè)定的保留價(jià)比較小時(shí)，應(yīng)公開(kāi)保留價(jià)以確保交易成功，而當(dāng)保留價(jià)較大時(shí)，應(yīng)隱藏保留價(jià)以降低采購(gòu)成本.這個(gè)策略的直觀解釋是：當(dāng)經(jīng)濟(jì)實(shí)力較差的時(shí)候，應(yīng)該告訴賣(mài)方，己方可以接受的最高價(jià)格，而當(dāng)有足夠的經(jīng)濟(jì)實(shí)力時(shí)，應(yīng)該隱藏這個(gè)信息，避免賣(mài)方乘機(jī)要價(jià)過(guò)高，從而減少采購(gòu)成本.

3 第二價(jià)格密封拍賣(mài)的保留價(jià)分析

在第二價(jià)格拍賣(mài)中，由于勝者獲得的支付不取決于自己的報(bào)價(jià)而是取決于次低報(bào)價(jià)，所以每個(gè)供應(yīng)商都會(huì)盡可能報(bào)低價(jià)以增加其獲勝概率，同時(shí)為了保證其收益非負(fù)，報(bào)價(jià)又必須不小于其成本.因此在第二價(jià)格密封拍賣(mài)中，不論保留價(jià)是公開(kāi)還是隱藏，供應(yīng)商報(bào)出成本價(jià)是一個(gè)弱占優(yōu)策略.若次低價(jià)低于保留價(jià)，則按次低價(jià)獲得支付.若次低價(jià)高于保留價(jià)，則按保留價(jià)獲得支付.

設(shè)c2為供應(yīng)商成本中的次低成本，c1為供應(yīng)商成本中的最低成本，則c1，c2的聯(lián)合分布為

令Y表示采購(gòu)商的支付，則

此時(shí)采購(gòu)商的期望支付

特別的，當(dāng)成本c服從［a，b］上的均勻分布時(shí)，由式（8）得，采購(gòu)商期望支付

因此當(dāng)保留價(jià)比較大時(shí)，采用隱藏保留價(jià)的第一價(jià)格密封拍賣(mài)的方式可降低采購(gòu)商的采購(gòu)成本.綜上所述，對(duì)采購(gòu)商而言，采用第一價(jià)格密封拍賣(mài)總是優(yōu)于第二價(jià)格密封拍賣(mài)的.這也是實(shí)際采購(gòu)拍賣(mài)中一般都采用第一價(jià)格拍賣(mài)的原因.

4 結(jié)束語(yǔ)

科學(xué)、合理、公平地制定拍賣(mài)和采購(gòu)拍賣(mài)保留價(jià)是拍賣(mài)和采購(gòu)活動(dòng)中的重要環(huán)節(jié)，保留價(jià)方式的選取及定價(jià)策略是否恰當(dāng)，直接關(guān)系到拍賣(mài)和采購(gòu)能否順利進(jìn)行以及最終效率問(wèn)題.本文研究了采購(gòu)拍賣(mài)中采購(gòu)商公開(kāi)保留價(jià)與隱藏保留價(jià)時(shí)，供應(yīng)商的報(bào)價(jià)策略與采購(gòu)商的采購(gòu)成本.結(jié)論表明：若供應(yīng)商成本服從均勻分布時(shí)，當(dāng)設(shè)定的保留價(jià)比較小，采購(gòu)商采用公開(kāi)保留價(jià)的第一密封價(jià)格拍賣(mài)或者第二價(jià)格拍賣(mài)的期望采購(gòu)成本相等；當(dāng)設(shè)定的保留價(jià)比較大時(shí)，應(yīng)該采用隱藏保留價(jià)的第一密封價(jià)格拍賣(mài).這個(gè)結(jié)果能為采購(gòu)拍賣(mài)中供應(yīng)商報(bào)價(jià)以及采購(gòu)商采用合適的拍賣(mài)方式以及保留價(jià)策略提供一定的依據(jù)與參考價(jià)值.本文只考慮了成本是對(duì)稱(chēng)的，是均勻分布的情形，在供應(yīng)商是非對(duì)稱(chēng)的情形和一般成本分布情形下保留價(jià)到底該公開(kāi)還是保留，仍是值得后續(xù)研究的一個(gè)問(wèn)題.

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