俞道濱，吳彥鴻，趙 彬

（1.裝備學院，北京101416；2.解放軍63892部隊，洛陽471003）

1 認知雷達及跟蹤濾波算法概述

圖1 認知雷達的整體結構圖

2006年，國際著名信號處理專家Simon Haykin首次提出了認知雷達的概念［1］，并隨后發(fā)表多篇文章［2－5］對認知雷達系統各部分的實現進行了說明。認知雷達將跟蹤系統、波形發(fā)射系統以及目標場景視為一個閉環(huán)的整體，通過對波形的實時調節(jié)實現對目標的有效跟蹤，提高了雷達的跟蹤性能。認知雷達的整體結構如圖1所示。

在認知雷達的概念提出以后，許多研究者應用 該思想提出了多種具體實現的方法，對認知雷達的波形設計、檢測與跟蹤算法、先驗知識的應用、場景分析等各方面進行了深入的研究［6－7］。

對于認知雷達的目標跟蹤算法，應用Simon－Haykin在文獻［4］中提到的算法，他的學生Xue Yanbo在有關認知雷達的第1篇博士論文［8］——認知雷達理論與仿真中，在接收端利用求容積卡爾曼濾波器近似最優(yōu)貝葉斯濾波器，針對直線運動、垂直降落和高維空間運動3種模型的目標跟蹤進行了仿真，表明引入認知能力可以提高雷達的性能。對于跟蹤機動目標的應用，文獻［9］應用交互多模型建立運動模型，跟蹤濾波也是采用容積卡爾曼的方法。文獻［10］僅就目標跟蹤算法仿真對比了3種非線性卡爾曼濾波方法，指出在實際應用中平方根容積卡爾曼濾波的優(yōu)點。文獻［11］在實際應用中無雜波和有雜波2種環(huán)境下對自適應目標跟蹤算法進行了討論。

由于認知雷達的發(fā)展仍處于起步階段，當前大部分的研究仍是針對理想的條件。假設在目標線性運動、環(huán)境為高斯噪聲情況下，此時卡爾曼濾波就是最優(yōu)的貝葉斯濾波器，可以通過目前較為成熟的卡爾曼濾波來解決目標跟蹤的問題。然而在大部分情況下會遇到的是離散時間非線性濾波的情況，此時卡爾曼濾波將不再適用，需要針對不同的情況，采用拓展卡爾曼濾波、無跡卡爾曼濾波、求積卡爾曼濾波等?？紤]到認知雷達變波形的實時性要求，要求算法在保證精度的同時，盡可能縮短處理時間，因而在本文中討論幾種免微分運算的狀態(tài)估計方法，利用加權統計線性回歸技術，通過采樣點捕獲系統的相關統計參數。無跡卡爾曼濾波方法（UKF）通過無跡變換確定1組加權采樣點逼近隨機變量的分布函數，捕獲隨機變量經非線性轉換后的統計特性。容積卡爾曼濾波（CKF）使用基于容積原則的數值積分方法，計算非線性變換的隨機變量的均值和協方差，實現簡單且濾波精度較高。平方根容積卡爾曼濾波（SRCKF）是在容積卡爾曼的基礎上發(fā)展而來的，起初是為了減輕跟蹤濾波過程中的發(fā)散與不穩(wěn)定，其算法直接通過后驗誤差協方差和預測誤差協方差的傳遞而免去了對矩陣分解的操作。

2 跟蹤濾波算法對比

由貝葉斯估計原理可知，基于高斯假設的貝葉斯濾波估計算法的核心在于求解具有“非線性函數高斯密度”形式被積函數的加權積分，這是高斯域貝葉斯估計算法所具備的基本特性?？紤]一多維加權積分，其基本形式如下：

式中：D為積分區(qū)域，并且對于任意x∈D的權重函數w（x）已知。

假定w（x）具有高斯特性，則上式所示即為一高斯權積分問題。對于上式積分問題通常采用數值積分的計算方法。該方法的基本問題是確定一組點集及其相應的權值以用于近似求解，即：

基于上述基本問題，采用一種基于求積原理的方法解決非線性濾波的基本問題。UKF和CKF的主要區(qū)別在于權重函數w（x）的選取不同，其選擇特點如圖2、圖3所示。

圖2 UKF的sigma點分布圖

圖3 CKF的sigma點分布圖

由圖2、圖3可知，CKF去掉了中心采樣點，采用四周對稱的方式選取采樣點。在實際工程應用中，需要克服舍入誤差引起的濾波發(fā)散，由于CKF的采樣點個數為偶數個，可對中間數據進行取平方根操作，得到了平方根容積卡爾曼濾波的方法。其與CKF相比，該算法降低了計算的復雜度，獲得了更高的效率，同時保證了協方差矩陣的非負定性，有效避免了濾波器的發(fā)散，提高了濾波的收斂速度和數值穩(wěn)定性。

3 容積與平方根容積卡爾曼濾波

3.1 求容積規(guī)則

考慮下邊的求積分問題：

為了計算上述積分問題，首先要將其變換至一個更為通用的球面徑向積分形式，需要將x分解為一個與半徑r和方向向量y相關的過程。

假設x＝ry，yTy＝1，則上式積分可寫為：

式中：Un為半徑是1的球表面；σ（·）為屬于積分域Un的元素。

則：

針對以上兩式，分別采用mr點Gauss－Hermite求積分規(guī)則和ms點Spherical規(guī)則，可得到mr×ms點的Spherical－Radial求容積規(guī)則為：

取mr＝1，ms＝3，可得到3自由度的Spherical－Radial求容積規(guī)則。

根據上述求容積規(guī)則，n維標準狀態(tài)分布與非線性函數乘積的積分可近似為：

當隨機變量x服從N（x；μ，Σ）的分布時，可得：

3.2 容積卡爾曼濾波

考慮如下的非線性離散狀態(tài)空間模型：

式中：f（xk）和h（xk）為已知函數；wk和vk為相互獨立的零均值高斯白噪聲序列，其協方差矩陣分別為Qk和Rk。

將求容積計算積分的思想應用于高斯貝葉斯估計，即可得到如下標準CKF算法：

（1）時間更新

預測狀態(tài)向量和預測誤差協方差為：

（2）量測更新

由以下公式得到預測量測協方差矩陣和互協方差矩陣：

（3）計算卡爾曼濾波增益、狀態(tài)估計值、狀態(tài)估計誤差協方差

3.3 平方根容積卡爾曼濾波

（1）時間更新

公式（13）運算不變，直接運算得到估計預測誤差協方差矩陣的平方根，公式如下：

式中：QR（·）為進行正交三角（QR）分解的運算。

（2）量測更新

通過均方根直接預測量測協方差矩陣和互協方差矩陣：

（3）計算卡爾曼濾波增益、狀態(tài)估計值、狀態(tài)估計誤差協方差

4 仿真驗證

假定一勻速直線運動的目標，由單個觀測站對其運動的距離和速度進行觀測，運動模型寫成如下形式：

仿真中，運動目標及雷達的相關參數設置如下：雷達掃描周期為1s，進行60次掃描，目標的初始狀態(tài)矩陣為［－100，2，200，10］，雷達觀測站坐標為（200，300）。

從模型上看，狀態(tài)方程是線性的，而觀測方程是非線性的，點目標與雷達的距離較近，運動速度也較低，因而在跟蹤時產生的誤差相對較小。此處分別應用UKF、CKF、SCKF 3種濾波算法對目標進行跟蹤，通過sigma點的選擇逼近觀測。在進行100次蒙特卡羅仿真試驗后，得到3種算法下所用時間及跟蹤誤差的對比結果。

表1 3種濾波算法100次運算所用時間對比

綜合以上圖表，分析可知各種算法的估計精度及計算復雜度。就CKF與UKF相比，CKF運算的時間略長，就單次運算而言，二者的時間差距可以忽略不計，但是CKF的濾波精度較高，在近距離的情況下誤差較小，比UKF的性能更好一些。隨著跟蹤時間的增加，CKF與UKF的性能趨于一致，誤差近似相等。而SCKF與CKF和UKF相比，SCKF直接運算得到估計協方差的平方根，運算所需的步驟較少，因而所花的時間較短，但是就跟蹤精度而言，僅就協方差的估計精度上，SCKF算法在跟蹤的初始階段精度最高，比CKF和UKF相比精度提高了一倍多，得到了很好的跟蹤效果。隨著目標遠離觀測點，SCKF的跟蹤精度急劇變差，甚至在跟蹤的末端誤差達到了CKF和UKF的2倍多，相應得到的濾波軌跡也相差甚遠。

圖4 UKF、CKF和SCKF跟蹤濾波誤差對比圖

由以上討論可知，在認知雷達的應用中，一方面，由于其根據先驗知識及環(huán)境信息不斷變換發(fā)射波形，發(fā)射機需要在短時間內作出相應的改變，這就需要減少跟蹤處理的時間；另一方面，在較短的時間內，需要較高的跟蹤精度以更好地模擬目標的運動軌跡，從而為下一步的波形變化提供有力的支撐。在高斯噪聲、線性運動目標的條件下，通過平方根容積卡爾曼濾波算法得到的跟蹤效果與認知雷達的實際要求較為吻合，適用于波形變化條件下對目標的短時跟蹤，并能獲得更加準確的運動軌跡，跟蹤精度較高。

5 結束語

本文首先對當前認知雷達的研究現狀進行了簡介，對其跟蹤濾波部分應用的算法進行了詳細的討論，在認知雷達對跟蹤濾波苛刻要求的基礎上，詳細比較了免微分運算的無跡卡爾曼、容積卡爾曼、平方根容積卡爾曼3種濾波算法，結果表明，對高斯噪聲環(huán)境中的線性運動目標進行跟蹤濾波較為適合的算法是平方根容積卡爾曼，其在跟蹤精度和實時性要求兩方面均滿足要求。本文僅在理想條件下進行了相關討論，對于在復雜運動和引入雜波后的算法選擇，需要進行進一步的研究，以滿足在認知背景下雷達跟蹤性能的整體提升。

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