曹九發(fā)，沈宏良，王同光

(南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院，江蘇南京210016)

0 引言

大氣紊流是飛機(jī)飛行過程中經(jīng)常遇到的一種大氣擾動現(xiàn)象，它是疊加在定常風(fēng)上的風(fēng)速矢量的連續(xù)隨機(jī)脈動［1-2］。當(dāng)飛機(jī)遇到大氣紊流時(shí)將發(fā)生顛簸，從而影響乘坐舒適性和飛行安全。同時(shí)，大氣紊流引起的載荷變化對飛機(jī)結(jié)構(gòu)疲勞產(chǎn)生一定影響，尤其是彈性飛行器，將激發(fā)彈性模態(tài)導(dǎo)致機(jī)體損傷。為此，建立大氣紊流時(shí)域數(shù)學(xué)模型，并研究大氣紊流對飛機(jī)運(yùn)動特性及載荷變化的影響，進(jìn)而設(shè)計(jì)陣風(fēng)減緩控制律，是飛行動力學(xué)的一個(gè)重要研究方向。

從20世紀(jì)50年代開始，國外對大氣紊流現(xiàn)象進(jìn)行理論和試驗(yàn)研究，并提出了Von Karman和Dryden兩種功率譜模型。在彈性飛行器動力學(xué)特性研究中，由于飛機(jī)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率通常處于高頻范圍，采用Von Karman模型成為最佳的選擇［3-5］。

國內(nèi)對基于Von Karman功率譜模型的大氣紊流時(shí)域數(shù)據(jù)生成方法研究相對較少，且已有的研究也存在一定不足。文獻(xiàn)［6］采用三維傅立葉變換方法得到Von Karman模型的大氣紊流數(shù)據(jù)，該方法計(jì)算量大，不能得到有理式形式，不便于飛行控制律設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)［7］直接將Von Karman功率譜模型簡化為一階線性模型，存在精度低的缺點(diǎn)。

本文采用有理譜方法對Von Karman模型頻譜函數(shù)進(jìn)行逼近，推導(dǎo)得到逼真程度較高的線性模型濾波器，較真實(shí)地反映了實(shí)際大氣紊流特性，可應(yīng)用于飛機(jī)運(yùn)動特性分析、載荷計(jì)算及控制律設(shè)計(jì)等方面。

1 大氣紊流模型的建立

1.1 大氣紊流模型

Von Karman根據(jù)理論和測量數(shù)據(jù)，導(dǎo)出大氣紊流的能量頻譜函數(shù)［3］:

式中，σ為紊流強(qiáng)度;L為紊流尺度;Ω為空間頻率;a為常數(shù)，其值為1.339。能量頻譜函數(shù)符合大氣紊流理論中的極限條件:當(dāng)Ω→0時(shí)，E∞Ω4;當(dāng)Ω→∞時(shí)，E∞Ω－5/3。由大氣紊流分量的空間頻譜及關(guān)系式:

可把橫向的空間頻譜轉(zhuǎn)化成時(shí)間頻譜:

式中，Φww(ω)為時(shí)間大氣紊流頻譜;ω為時(shí)間頻率。

1.2 大氣紊流數(shù)值模擬基本原理

由于Von Karman模型以功率譜的形式建立，不能直接應(yīng)用于飛行仿真。本文以垂直向紊流譜Φww(ω)為例，對Von Karman紊流模型的數(shù)值模擬方法進(jìn)行了研究?？梢岳糜欣碜V法逼近一個(gè)線性濾波器模型來實(shí)現(xiàn)紊流的數(shù)值仿真。其基本思想是:以白噪聲為系統(tǒng)的輸入，通過選擇恰當(dāng)?shù)南到y(tǒng)函數(shù)來使該系統(tǒng)輸出的功率譜恰好等于Von Karman功率譜。

根據(jù)線性系統(tǒng)的基本原理有:

式中，Sr(ω)和Sw(ω)為輸入和輸出響應(yīng)的功率譜密度;H(ω)為系統(tǒng)頻域響應(yīng)函數(shù)。

為使紊流速度的統(tǒng)計(jì)特性滿足Von Karman功率譜的條件，在上式中取系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)等于Von Karman功率譜的方根，以白噪聲過程r(t)作為輸入，得到:

1.3 有理譜法

從式(5)看出大氣紊流頻譜不是有理譜，而有理譜建模方法是基于有理譜理論建立起一個(gè)線性模型，其定義［8］如下:

設(shè)SX(ω)是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的功率譜密度函數(shù)，如果SX(ω)可以表示為:

式中，P(ω)與Q(ω)均為ω的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，并且m＞n，則稱SX(ω)是平穩(wěn)過程X(t)的有理功率譜密度函數(shù)，簡稱有理譜。當(dāng)n=4，m=5時(shí)，本文稱該模型為五四模型。按照參數(shù)估計(jì)理論，為得到參數(shù)估計(jì)值，應(yīng)有:

式中，N＞2m;S(ω)為紊流功率譜密度。即有:

寫成矩陣形式為:

由參數(shù)估計(jì)的最小二乘法，有:

根據(jù)此定理用五四模型對Von Karman大氣紊流頻譜進(jìn)行擬合。取V=243 m/s，σw=2 m/s，2Lw=760 m，并且與文獻(xiàn)［7］簡化的Von Karman模型頻譜、Dryden模型頻譜比較，結(jié)果見圖1(PSD為大氣紊流的功率譜密度)。

圖1 不同大氣紊流模型PSD對比圖Fig．1 PSD comparison of the different atmospheric turbulencemodels

從上圖可以看出，Dryden模型和Von Karman模型的橫向頻譜存在很大差距，雖然文獻(xiàn)［7］的簡化Von Karman模型比Dryden模型更接近理論Von Karman模型，但是也存在較大的差距，而五四模型和Von Karman頻譜擬合得更好，因此本文采用五四模型來建立濾波器模型。

2 大氣紊流濾波器的實(shí)現(xiàn)

設(shè)輸入的高斯白噪聲r(shí)(t)為正態(tài)白噪聲過程，并且其均值E{r(t)}=0，功率譜密度為Sr(ω)=1。對于所得的五四模型有理譜，根據(jù)有理譜定理可得:

式中，ci，di，a4和 b5為所要求解的常數(shù)。由其零極點(diǎn)特點(diǎn)，SX(ω)可分解為:

綜上可得濾波器的傳遞函數(shù)為:

從而可以得到V=243 m/s，σ=2 m/s，2Lw=760 m的大氣紊流濾波器模型如下:

基于Von Karman功率譜模型，有學(xué)者提出過一個(gè)三階濾波器［9］:

對于得到的傳遞函數(shù)，采用沖激響應(yīng)不變法來設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)字濾波器，并且通過數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)取模值的平方，可得到它的幅頻特性曲線應(yīng)該與Von Karman模型頻譜擬合。仿真曲線如圖2和圖3所示。由圖2可知，采用的五四模型和三階T(S)大氣紊流模型與理論大氣紊流模型的頻譜擬合得較好。但由圖3可知，相對三階T(S)紊流模型，五四模型在高頻范圍具有更高的精度。由于飛機(jī)的結(jié)構(gòu)振動模態(tài)頻率較高，五四模型可準(zhǔn)確反映該范圍大氣紊流的統(tǒng)計(jì)特性，從而可提高大氣紊流對飛機(jī)載荷及結(jié)構(gòu)疲勞影響的分析精度。

圖2 三種大氣紊流模型的PSD對比Fig．2 PSD comparison of the three atmospheric turbulencemodels

圖3 高頻處三種模型的PSD對比Fig．3 PSD comparison of the threemodels in the high frequency

3 大氣紊流的時(shí)域仿真

本文對五四大氣紊流模型進(jìn)行了時(shí)域仿真分析。以白噪聲為輸入量模擬生成的鉛垂向大氣紊流速度分量w時(shí)歷變化序列如圖4所示。

圖4 w時(shí)間變化曲線Fig．4 Time variation curve of w

計(jì)算上述大氣紊流信號的相關(guān)函數(shù)以進(jìn)一步檢驗(yàn)其準(zhǔn)確性，結(jié)果如圖5所示。該圖對比上述隨機(jī)紊流序列的相關(guān)函數(shù)與Von Karman模型理論相關(guān)函數(shù)，可見兩者吻合程度是令人滿意的，其中ξ為位置差。

圖5 相關(guān)函數(shù)曲線Fig．5 Correlation function curve

為了反映大氣紊流的起伏特性，將二維白噪聲作為線性系統(tǒng)的輸入，可以得到兩個(gè)方向相關(guān)的大氣紊流。根據(jù)大氣紊流呈現(xiàn)各向同性的基本假設(shè)，且兩個(gè)橫向大氣紊流頻譜相同，則兩個(gè)橫向大氣紊流模型的傳遞函數(shù)相同［3］。仿真結(jié)果見圖6(圖中x，y軸為網(wǎng)格數(shù)90×90，z軸為大氣紊流速度分量w，單位為 m/s)。

圖6 二維大氣紊流仿真結(jié)果圖Fig．6 Simulation results of two-dimensional atmospheric turbulence

4 飛機(jī)對大氣紊流的響應(yīng)

為驗(yàn)證模型的實(shí)用性，進(jìn)而分析橫向的大氣紊流對飛機(jī)運(yùn)動的影響。由于大氣紊流的橫向?qū)︼w機(jī)的縱向運(yùn)動影響較大，因此，本文以橫向大氣紊流輸入作為算例，建立了包括大氣紊流五四線性模型的線性飛行動力學(xué)數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行了仿真分析?？紤]舵機(jī)、紊流模型，構(gòu)成飛機(jī)縱向動力學(xué)增廣狀態(tài)方程:

其中:

式中，ΔV，Δα，Δq，Δθ分別為航跡速度、迎角、俯仰角速度和俯仰角的偏量;δe，δf分別為升降舵、襟翼的偏量;z1，z2，z3，z4，z5為大氣紊流模型的狀態(tài)量。

以某客機(jī)為算例，輸入均值r為0、方差為1的Gauss白噪聲，基于上述模型，采用Simulink仿真計(jì)算得到飛機(jī)受連續(xù)大氣紊流影響的響應(yīng)特性如圖7和圖8所示。

從仿真結(jié)果可以看出，飛機(jī)縱向短周期特性參數(shù)Δα，Δq受連續(xù)大氣紊流影響引起的變化較為激烈，而長周期ΔV，Δθ變化較平緩。說明了大氣紊流數(shù)值模擬及飛機(jī)響應(yīng)特性符合實(shí)際飛行情況，上述模型可用于大氣紊流作用下飛機(jī)過載等狀態(tài)參數(shù)響應(yīng)特性的計(jì)算，為飛機(jī)陣風(fēng)減緩控制律設(shè)計(jì)提供基礎(chǔ)。

圖7 飛機(jī)縱向長周期響應(yīng)特性Fig．7 Response characteristics of aircraft longitudinal long-period

圖8 飛機(jī)縱向短周期響應(yīng)特性Fig．8 Response characteristics of aircraft longitudinal short-period

5 結(jié)束語

本文研究了大氣紊流的有理譜建模及時(shí)域仿真問題，建立了大氣紊流五四模型，分析了該模型的頻譜特性，進(jìn)行了飛機(jī)遇到大氣紊流的響應(yīng)仿真。分析結(jié)果表明，五四模型在高頻范圍更接近Von Karman理論功率譜。由于大氣紊流的高頻特性可能激發(fā)彈性飛機(jī)結(jié)構(gòu)振動，影響飛行器的運(yùn)動特性，因此，五四模型對提高研究彈性飛機(jī)的結(jié)構(gòu)疲勞、飛行品質(zhì)、飛機(jī)陣風(fēng)減緩控制律設(shè)計(jì)等問題的準(zhǔn)確性具有一定意義。

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