朱聯(lián)祥，付孟孟

(重慶郵電大學(xué)信號與信息處理重慶市重點實驗室，重慶 400065)

1 引言

低密度格瑪(Low Density Lattice Codes，LDLC)是2007年結(jié)合低密度奇偶校驗碼(LDPC)和格碼提出的信道編碼技術(shù)，其編碼采用雅克比迭代，譯碼采用高斯迭代，編譯碼復(fù)雜度較低。有研究證明，在誤碼率為10－5的條件下，當(dāng)碼長 n=10 000時，LDLC碼距離信道容量僅有0.8 dB［1］。這些良好的性能都使得LDLC碼在未來通信系統(tǒng)中的應(yīng)用成為可能。

由于LDLC碼的研究還處于初級階段，目前對LDLC碼的研究主要包括編譯碼算法和H矩陣的構(gòu)造，而這些研究都是在功率不受限的高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise，AWGN)信道下進行的。LDLC碼經(jīng)過編碼后，碼字的平均功率增加，同時峰值功率也增大，導(dǎo)致信號的動態(tài)范圍變大，不能在功率受限的信道中傳輸，所以必須在編碼前對它進行整形處理，以控制編碼后功率的增加［2－4］。整形的目的就是在編碼前對信息序列b'進行處理，使得輸入的信息序列只映射到整形區(qū)域的格點上，最終使編碼后信息的平均功率不大于未編碼時的信息平均功率，最終達(dá)到控制功率的目的。把輸入信息矢量b映射為矢量b'的過程叫做整形。在相同傳輸條件下，整形前后平均功率的減少稱為整形增益。整形增益和編碼增益是兩個不同的概念，它們是相互獨立的［5］。

理想的整形方法是定義整形區(qū)域為一個超球形，將信息序列b映射到這個超球體內(nèi)，使得每個碼字都服從高斯分布，這樣的整形理論上可以達(dá)到1.53 dB的整形增益［6］。但是將信息序列映射到一個無限維的超球體內(nèi)非常復(fù)雜，實際操作中難以實現(xiàn)。目前對于整形的研究還比較少，針對LDLC碼還沒有切實可行的整形方案。

文獻(xiàn)［7］中Sommer提出了3種整形思想，分別是超立方體整形、系統(tǒng)整形、嵌套格整形。這3種整形方法是把編碼前的信息序列bi看作是星座圖上的點，根據(jù)格碼整形的思想對bi進行處理，以達(dá)到整形的目的。但是文獻(xiàn)中提到的這3種整形方法都是基于特定的下三角校驗矩陣進行的，具有特殊性和局限性。同時，在系統(tǒng)整形中，作者提出一種系統(tǒng)編碼，即要求編碼后的碼字中包含編碼前的信息序列，目前的LDLC研究中并沒有這樣的碼字存在，所以該算法對目前LDLC碼的整形并不適用。

針對LDLC碼目前的研究現(xiàn)狀，本文提出了一種基于標(biāo)記位的LDLC碼整形方案:將輸入的信息序列映射到星座圖中，把這些信息序列分為標(biāo)記位和非標(biāo)記位，根據(jù)LDPC碼的校驗矩陣H和Tanner圖，對標(biāo)記位信息進行整形處理，并利用最小和算法求出整形后的序列，使得整形后信息序列的平均功率達(dá)到最小。該算法使用于目前LDLC碼研究中用到的所有校驗矩陣，具有普遍性，而且該算法復(fù)雜度低，容易實現(xiàn)。

2 相關(guān)理論

下面通過圖1的一個編碼調(diào)制系統(tǒng)對符號位整形方法進行簡單的介紹。假設(shè)有一個16×16的方星座圖，其中d2min=1。圖1中的星座映射是將每4個狀態(tài)的信息zabc映射到zabc.1上，其中，把z看作是標(biāo)記位，abc看作是非標(biāo)記信息位。就是把信息序列b分成兩部分，即z和s，其中z作為標(biāo)記位，s作為非標(biāo)記位。標(biāo)記位整形就是通過整形改變標(biāo)記位Z，但是非標(biāo)記位的信息不變，通過選擇標(biāo)記位的編碼序列，使得整個信息序列映射到星座圖的平均能量達(dá)到最小［8］。在一個16－QAM星座中每個標(biāo)記位有4種狀態(tài)可供選擇，4種狀態(tài)對應(yīng)4個不同的功率。因此，通過選取合適的標(biāo)記符號矢量，可以使信息序列的傳輸能量達(dá)到最?。?］。

圖1 結(jié)合標(biāo)記位整形的編碼調(diào)制系統(tǒng)Fig.1 Coded modulation system with sign bit shaping

3 本文算法

本文整形的基本思想和標(biāo)記符號整形類似，即通過整形找出平均功率最小的信息序列，這種算法是對標(biāo)記整形算法的擴展。圖1中對應(yīng)的整形碼選用LDPC碼，假設(shè)該LDPC碼的校驗矩陣為H，生成矩陣為G，那么整形的目的是為了找到最佳的序列Z，其中Z滿足以下兩個條件:

(1)ZHT=s，其中s是k b的標(biāo)記位信息;

(2)整形后映射到星座圖后的能量α=map(z，a，b，c)是最小的，也就是說，

式中，‖x‖是x的絕對值。

在接收端，我們可以通過S=ZHT恢復(fù)出s，由于非標(biāo)記位abc并沒有發(fā)生變化，只是映射到了星座圖中，所以可以通過一個逆映射直接恢復(fù)出abc。

下面我們通過一個簡單的例子對該算法進行說明。

假設(shè)有如下的校驗矩陣:

它對應(yīng)的Tanner圖如圖2所示。

圖2 H矩陣對應(yīng)的Tanner圖Fig.2 Tanner graph of the parity check matrix H

如圖2所示，在這個Tanner圖中共有3種不同的節(jié)點:變化的點代表標(biāo)記位，校驗點代表校驗矩陣H中的校驗節(jié)點，綜合節(jié)點代表的是信息位。變化的節(jié)點Z1、Z2、Z3和第一個校驗節(jié)點C1的關(guān)系滿足Z1+Z2+Z3=S1，同理對于校驗節(jié)點C2，有Z2+Z4+Z5=S2。

假設(shè)非標(biāo)記位的信息是固定的，每個標(biāo)志位信息是在0和1之間取值，這兩種取值對應(yīng)星座圖中的兩個點分別有不同的功率。Ei( ui)定義了Zi=Ui時的能量。對應(yīng)的映射后的能量為

通過上式，這個整形問題可以轉(zhuǎn)化為求

的問題。其中，在QAM星座中，每個坐標(biāo)的標(biāo)記符號整形是分開的。

3.1 MPF問題的引入

在文獻(xiàn)［10］中已經(jīng)提到了MPF問題。我們將用具體的標(biāo)記去解決標(biāo)記位整形問題。MPF問題首先需要設(shè)置一個變量 x= { x1，…，xn}，其中 xi∈{0 ，1}。定義一個局部核心函數(shù) xI，xI={ xi1，…，xim}，其中 I= {i1，i2，…，im}{1 ，2，...，n}，這個函數(shù)是x的一個子集。定義x的m個子集xI1，xI2，…，xIm和其對應(yīng)的局部核心 f1(xI1)，f2(xI2)，…，fm(xIm)，那么整體的核心被定義為

式中，xIi(i=1，…，m)稱為局部域。這個MPF問題需要在一個或多個子集xI的基礎(chǔ)上計算整體核心F的邊緣。也就是說，要計算所有的xIi(其中Ici是Ii的補集):

如果所有的局部域能被作為連接樹的頂點，那么MPF問題就能用整體分配算法(GDL)求解。

3.2 整形化為MPF問題

我們用圖2中的例子來介紹把樹形整形化為MPF問題的想法。假設(shè)標(biāo)記位 (z1，z2，…，z5)是MPF問題中的變量，那么局部域和局部核心為

其中，Ei(zi)是按照函數(shù)(2)中定義的，χ是根據(jù)校驗矩陣中校驗節(jié)點Ci定義的函數(shù):

那么整體核心被看作是

每個局部域{z}i最終有

Fi(ui)中ui的值是根據(jù)ZHT=S定義的最小能量編碼的i個中最小的一個。由于陪集碼字的最小能量是固定的，只需要找到每個節(jié)點對應(yīng)的一個目標(biāo)函數(shù)。如果校驗矩陣的Tanner圖是一個聯(lián)結(jié)樹，這個問題可以用一系列連續(xù)算法的頂點GDL算法解決。

3.3 最小和算法

我們通過將Ei=Ei(1)－Ei(0)能量的不同作為Zi的局部核心，介紹一種簡化的最小和算法?；跇?biāo)記位整形的最小和算法，通過樹形碼來在Tanner圖中的各個節(jié)點間進行信息傳遞。一個節(jié)點接收到的信息在節(jié)點處處理，新的信息則沿著邊送出去。假設(shè)邊界 {e1，e2，…，ed}是與同一個節(jié)點相連的邊是邊接收到的信息，是通過e邊送出i的信息，其中i=1，2，…，d，一個信息傳遞算法指出了一系列節(jié)點的過程。針對標(biāo)記位整形，這個算法沿用連續(xù)方案，從最深的變量節(jié)點到根節(jié)點，其中根節(jié)點只有信息輸出。針對于圖中的樹形編碼信息的傳遞方向是

假設(shè)一個變量節(jié)點 zi有，…個信息進來，那么輸出的信息為

假設(shè)一個校驗節(jié)點 Ci有，…，個信息進來，那么輸出的信息為

每一個校驗節(jié)點將累計的輸入邊位置對應(yīng)到最小絕對信息上，即。在根節(jié)點，我們用下面的公式計算目標(biāo)函數(shù):

對于根變量節(jié)點Z1，判決規(guī)則是

只要根節(jié)點的值確定了，我們就可以找到最小能量的序列，通過校驗節(jié)點中儲存的變量節(jié)點反映射，這些校驗節(jié)點是從根節(jié)點到最深的變量節(jié)點。這個和維特比算法里面的反映射很像。

4 實驗結(jié)果

圖3為LDLC碼在AWGN信道下的仿真結(jié)果。本文仿真采用k=100、n=201的一個校驗矩陣，即有k=100個標(biāo)記位，通過整形后有n=201個碼字，編碼器的輸入信息b采用二進制，即b的元素值取自于－1和1。我們用誤碼率(BER)和信噪比(SNR)對仿真結(jié)果進行描述。根據(jù)圖1的編碼調(diào)制系統(tǒng)圖，在未編碼前，星座圖的平均功率為21.333;利用k=100、n=201的檢驗矩陣進行編碼后，平均功率變?yōu)?18.826，所以可以得到整形增益為0.528 dB。同時當(dāng)CER=2時，隨著k的增加，編碼增益可以達(dá)到0.53 dB。在該仿真中沒有增加錯誤控制碼，但在實際信道中一般會增加錯誤控制碼，由于錯誤控制碼在信息序列中占的比例很小，所以加入錯誤控制碼后對該算法的編碼增益基本沒有影響。

圖3 AWGN信道下的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results on AWGN channel

5 結(jié)束語

本文借鑒標(biāo)記位整形的思想，結(jié)合LDPC碼的校驗矩陣H和Tanner圖，通過最小和算法找出功率最小的信息序列，從而達(dá)到整形的目的。該算法是在LDLC碼進行編碼之前對其信息序列進行處理，通過使用LDPC碼，使得信息的平均功率得到減少。同時，該算法是針對信息序列本身進行處理，與其他整形方法不同，該算法沒有參與LDLC碼的編碼過程，是一種完全獨立的整形方法。仿真證明:整形前后產(chǎn)生了約0.53 dB的整形增益，與Sommer提出的基于下三角矩陣的整形方法相比，該方法具有普遍適用性，是一種有效的整形方法。

本文算法中整形碼字采用的是非方陣的LDPC碼，由于校驗矩陣是非方陣的，輸入和輸出的碼字個數(shù)不同，使得輸出的碼字增加了信息量，起到了整形的目的。而采用方陣LDPC碼或是其他碼字作為整形碼字，將是下一步的研究方向。

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