Nguyen Tien Thanh ，劉修國 ，陳春亮 ，任 澤，Dang Thai Son

（1.中國地質(zhì)大學(xué) 國際教育學(xué)院，武漢 430074；2.河內(nèi)礦業(yè)與地質(zhì)大學(xué)，越南 河內(nèi) 130510；3.中國地質(zhì)大學(xué) 信息工程學(xué)院，武漢 430074；4.中國地質(zhì)大學(xué) 研究生院，武漢 430074；5.越南地質(zhì)與礦產(chǎn)總局，越南 河內(nèi) 130510）

0 前言

地球化學(xué)異常下限的確定是地球化學(xué)勘查的一個(gè)基本問題。二十世紀(jì)五十年代以來，地球化學(xué)家基本認(rèn)為，地球化學(xué)場(chǎng)中的分布接近正態(tài)分布或者對(duì)數(shù)正態(tài)分布［1、2、4～9］。因此，使用傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法確定地球化學(xué)異常下限時(shí)，首先要仔細(xì)研究地球化學(xué)數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)其是否服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布。為什么數(shù)據(jù)的分布情況對(duì)數(shù)據(jù)處理有這么重要的影響？因?yàn)樵趥鹘y(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法中，相關(guān)分析、因子分析、判別分析和經(jīng)典統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)包括概率的計(jì)算，都是數(shù)據(jù)在服從正態(tài)分布假設(shè)的前提下進(jìn)行的［3］。很多與地球化學(xué)相關(guān)的文獻(xiàn)，都表明地球化學(xué)數(shù)據(jù)往往服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布［4～7］。但新的研究表明，元素在地質(zhì)體中的含量分布，并不局限于正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布［2、8、9］，所以數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換［10～13］（如取對(duì)數(shù)、余弦、平方根等）和明顯特異值（特高值和特低值）的剔除，直到數(shù)據(jù)服從正態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)分布為止［1、2、9、13］，是兩個(gè)簡(jiǎn)單的解決方案。先計(jì) 算數(shù)據(jù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差，然后對(duì)全部數(shù)據(jù)進(jìn)行異常篩選和評(píng)價(jià)，一般是以平均值與二倍標(biāo)準(zhǔn)偏差之和作為地球化學(xué)異常下限。關(guān)鍵問題是數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換并不能使數(shù)據(jù)更接近正態(tài)分布［14］，忽略這一點(diǎn)，可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。至于明顯異常點(diǎn)的剔除，數(shù)據(jù)處理的最終目的是確定異常點(diǎn)，剔除異常數(shù)據(jù)之前該如何確定哪些點(diǎn)是異常數(shù)據(jù)，哪些點(diǎn)不是？這種做法有三種弊病［15、16］：

（1）在很多情況下，尤其在多元情況下，一點(diǎn)不容易被檢視數(shù)據(jù)所鑒別。這是因?yàn)樵诙嘣闆r下，許多點(diǎn)只有在考慮不同變量之間的關(guān)系時(shí)才顯出異常。

（2）剔除異常點(diǎn)的做法，不能保證清理后的數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布或方法所要求的某種分布。

（3）從技術(shù)的角度來看，對(duì)現(xiàn)代社會(huì)中自動(dòng)化觀測(cè)所積累的大量多元數(shù)據(jù)，用人工檢視來剔除異常點(diǎn)不僅太耗工時(shí)，而且不能保證應(yīng)有的精度和一致性。

此外，傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法對(duì)所研究的總體的分布形式或其它特性有一些假設(shè)。當(dāng)實(shí)際總體不滿足這些假設(shè)，或觀測(cè)數(shù)據(jù)中包含不能代表總體性的異常點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法就遇到了問題。應(yīng)用傳統(tǒng)方法有可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，而且這類錯(cuò)誤還往往不容易被覺察。鑒于傳統(tǒng)方法的缺陷性，許多其它方法被采用來確定地球化學(xué)異常，如楊大歡［9］提出的含量排列法，成功地對(duì)廣東始興地區(qū)化探數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理；姚濤［10］以甘肅省白銀市白銀礦區(qū)及外圍水系沉積物Cu、Pb、Zn、Ag等四個(gè)元素為例，將通過歸一化法與其它方法進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)了更多的異常，并且與礦化集中區(qū)吻合較好；史長(zhǎng)義［17］提出了子區(qū)中位數(shù)襯值濾波法，該法采用子區(qū)模擬背景場(chǎng)的空間變異，以EDA 技術(shù)計(jì)算異常臨界值，以襯值為基準(zhǔn)度量場(chǎng)值的起伏變化，較好地解決了弱小異常的識(shí)別問題；李隨民［18］利用趨勢(shì)面分析方法把元素的空間分布分解為整體趨勢(shì)和局部異常兩部份，將局部異常從整體中分離了出來；黃靜寧［19］對(duì)滇東三個(gè)不同勘查尺度的水系沉積物地球化學(xué)數(shù)據(jù)，采用地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法圈定和評(píng)價(jià)地球化學(xué)異常；尤其是Qiuming Cheng［20］提出了含量～面積模式，首次將分形引入地球化學(xué)異常的判別，并且在加拿大取得了成功，在中國也引起了很大的轟動(dòng)。目前該方法國際上應(yīng)用比較多［21］，也是全國礦產(chǎn)資源潛力評(píng)價(jià)的推薦方法。

本研究作者介紹了穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)方法，該方法具有“穩(wěn)健”的特點(diǎn)，不太受異常點(diǎn)的影響，并且在EDA技術(shù)的支持下來確定地球化學(xué)異常下限。以一個(gè)具體的地區(qū)為例，該方法圈定的地球化學(xué)異常符合客觀實(shí)際，異常范圍大，與已知礦床（點(diǎn)）吻合很好。

1 地球化學(xué)異常下限的確定

1.1 基于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法的異常下限確定

傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法都是以數(shù)據(jù)要服從正態(tài)分布的假設(shè)前提下展開的，因此，在化探數(shù)據(jù)處理之前，首先要認(rèn)真地研究數(shù)據(jù)分布。數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)總體的檢驗(yàn)是至關(guān)重要的，正態(tài)分布檢驗(yàn)是一個(gè)不可缺少的步驟?，F(xiàn)有很多正態(tài)分布檢驗(yàn)方法，可以分成圖示法和計(jì)算法等三類。

（1）圖 示 法 是EDA 技 術(shù)［22、23］提 供 的 圖 形 工具，能夠一目了然地看出來數(shù)據(jù)的分布情況。①簡(jiǎn)單的直方圖是：通過判斷是否以鐘型分布，箱線圖側(cè)觀察矩形位置和中位數(shù)，若矩形位于中間位置且中位數(shù)位于矩形的中間位置，則分布較為對(duì)稱，否則是偏態(tài)分布；②莖葉圖是通過觀察圖形的分布狀態(tài)，是否是對(duì)稱分布，使用正態(tài)概率圖（p－p圖和q－q圖）判斷樣本點(diǎn)是否圍繞第一象限的對(duì)角線分布，如果是，就視為數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。圖示法比較直觀，方法簡(jiǎn)單，從圖中可以直接判斷，無需計(jì)算，但這種方法效率不是很高，它所提供的信息只是正態(tài)性檢驗(yàn)的重要補(bǔ)充。結(jié)合直方圖、密度圖、箱圖、一維分散點(diǎn)圖和累積分布函數(shù)圖，能直觀地顯示出數(shù)據(jù)的的分布情況。

（2）計(jì)算法包括穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)技術(shù)和非參數(shù)方法。最常 用 的 是Kolmogrov－Smirnov 檢 驗(yàn) 法［24、25］，Chi－squareχ2擬合檢驗(yàn)法［26］和Shapiro－Wilk檢驗(yàn)法［27］。這些方法的原理是兩個(gè)已知分布的樣品和未知分布的樣品進(jìn)行比較，計(jì)算之后的p值＞0.05，則接受數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的假設(shè)。

（3）第三類是偏度、峰度檢驗(yàn)法。常用的有S、K 的極限分布，以及Jarque－Bera檢驗(yàn)。偏度和峰度都接近“0”，就可以認(rèn)為該地球化學(xué)元素近似服從正態(tài)分布［22］。但此類方法的計(jì)算結(jié)果易受異常值的影響，檢驗(yàn)功效就會(huì)降低。在實(shí)際工作中，可以把多種檢驗(yàn)方法結(jié)合起來，效果就會(huì)更好。

通常認(rèn)為常量元素接近正態(tài)分布，而微量元素接近于對(duì)數(shù)正態(tài)分布。在實(shí)際工作中，沒有數(shù)據(jù)完全服從正態(tài)分布或者對(duì)數(shù)正態(tài)分布，所以要對(duì)原始數(shù)據(jù)做預(yù)處理。通過平均值的計(jì)算（mean），再加二倍的標(biāo)準(zhǔn)偏差（sdev），可以得到異常下限（T）。步驟如下：

步驟1：

步驟2：

步驟3：

其中 mean為元素含量的平均值；xi為各樣品中某元素含量；n為參加計(jì)算的樣品數(shù)；T為異常下限；sdev為標(biāo)準(zhǔn)偏差。

當(dāng)?shù)厍蚧瘜W(xué)數(shù)據(jù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，先要將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)；再以含量對(duì)數(shù)值計(jì)算背景上限（背景上限值）或異常下限；最后根據(jù)計(jì)算值查其真數(shù)即得原始數(shù)據(jù)的異常下限［11］。

1.2 基于EDA 技術(shù)和穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)方法的異常下限確定

傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法要求數(shù)據(jù)以服從正態(tài)分布為假設(shè)前提，但是通常原始數(shù)據(jù)不完全服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布（只接近于正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布），因此，導(dǎo)致異常下限確定的合理性值得商榷。是否存在一種不用建立在統(tǒng)計(jì)假設(shè)條件下的方法（或工具）來處理化探數(shù)據(jù)？由于傳統(tǒng)方法的缺陷性，作者在本文提出了通過穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)方法結(jié)合EDA 技術(shù)的支持，來確定異常下限。該方法的特點(diǎn)是：

（1）少量特異值引起對(duì)理想分布型式的偏離，對(duì)其結(jié)果影響很小。

（2）較多特異值的存在不至于引起災(zāi)難性的后果。

穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)根據(jù)某種原則自動(dòng)加權(quán)，從而異常點(diǎn)的影響被不同程度地削弱，直至為零［15、16］。

穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)學(xué)定義了穩(wěn)健估計(jì)的中位數(shù)絕對(duì)中位差（mad）和四分位數(shù)間距（iqr）［28］。地球化學(xué)異常下限可以由［median＋2＊mad］或者［median＋1.5＊iqr］公式來確定［29］，其中，mad由即相對(duì)于中位數(shù)的偏離絕對(duì)值的中位數(shù)，如公式（4）所示：

mad＝1.483中位數(shù)［｜xi－中位數(shù)（xi）］（4）式中 1.483為尺度因子（乘以它使mad與標(biāo)準(zhǔn)差相合）［14，28］。

四分位數(shù)間距是指第一分位和第三分位、四分位數(shù)兩者的差距。mad和iqr類似于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的標(biāo)準(zhǔn)離差，所以［median＋2mad］和［median＋1.5＊iqr］類似于［mean＋2sdev］。從上述公式可以看出，與標(biāo)準(zhǔn)離差相比，mad和iqr受異常點(diǎn)的影響較小。

EDA 技術(shù)是一種處理數(shù)據(jù)的非常規(guī)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，它利用穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)學(xué)和非參數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)，并引人各種簡(jiǎn)單而有效的圖示技術(shù)，從中可迅速看出數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)。EDA 不需要任何假設(shè)條件，而是根據(jù)數(shù)據(jù)本身所固有的模型來識(shí)別異點(diǎn)，由此來確定背景總體和異?？傮w。利用這些特征，我們可以直接解釋原始數(shù)據(jù)。實(shí)踐已證明，在單元素地球化學(xué)數(shù)據(jù)的描述和分析中，EDA 技術(shù)非常有效［30］。在穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)之上，EDA 定義了箱圖，通過它來確定異常下限和了解數(shù)據(jù)的分布情況。在箱圖中，定義了五個(gè)參數(shù)（最小值、下鉸鏈、中位數(shù)、上鉸鏈和最大值），這些參數(shù)能夠描述數(shù)據(jù)的重要特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)、分布。為了確定這五個(gè)參數(shù)，首先要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序（從大到小或從小到大）；然后取中位數(shù)（Q2）。通過中位數(shù)排序之后，分成從最小值至中位數(shù)與中位數(shù)至最大值兩部份，分別對(duì)這兩部份取中位數(shù)得到下節(jié)點(diǎn)（Q1）和上節(jié)點(diǎn)（Q3）。四分位數(shù)已確定，通過公式（5）～公式（11）來確定四分位數(shù)間距，上（下）鉸鏈，柵欄外下限（上限），異常下限（上限）（如圖1所示）：

位于uif和lif之外的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)即為異常點(diǎn)，其中位于uof和uif之外的數(shù)據(jù)稱為遠(yuǎn)異常（far outliers）。

通過箱圖能迅速發(fā)現(xiàn)一批數(shù)據(jù)的下列特征：位置、散度、偏度、尾長(zhǎng)、外圍數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)。尤其是從計(jì)算異常下限（上限）的公式可以看出，箱圖的一個(gè)非常重要的特性，就是能夠抵抗異常點(diǎn)的影響。也就是說，25%的數(shù)據(jù)點(diǎn)可能是“野”的，這些“野”值對(duì)中位數(shù)和上、下節(jié)點(diǎn)不產(chǎn)生明顯影響［30］。從公式（8）可以看出，異常下限僅由四分位數(shù)間距確定，所以，它不會(huì)受“野”值（異常值）的影響，因此異常下限確定受數(shù)據(jù)分布的影響也不嚴(yán)重。

在兩個(gè)分布的末段（小于lif和大于uif），有可能存在“未發(fā)現(xiàn)的異?！?，這意味著數(shù)據(jù)均勻分布。如果要有異常值，作者建議通過百分比或者累計(jì)概率圖來確定背景值和異常值的邊界。針對(duì)百分比，95%或者98%的位置可以作為異常邊界。在累計(jì)概率圖中，如果確實(shí)有異常值的話，我們將明顯看到它們。

圖1 箱圖示意圖Fig.1 Turkey boxplot

2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

2.1 研究區(qū)簡(jiǎn)介

按照1∶200 000水系沉積物測(cè)量，要求我們?cè)谝粋€(gè)具體的地區(qū)進(jìn)行取樣工作。平均采樣密度是每四平方公里一個(gè)組合樣，每件樣品測(cè)試項(xiàng)目包括Ag、As、Au、Be、Cd、Cu、Hg、Li、Mn、Mo、Nb、Pb、Sb、Sn、Th、V、W、Y、Zn、Al2O3、CaO、K2O、Na2O 等。在研究區(qū)內(nèi)，主要成礦元素為Cu、Ag、Au，為了探討基于穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)學(xué)和EDA技術(shù)確定地球化學(xué)異常下限的方法，作者初步選取這三個(gè)元素進(jìn)行分析。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

首先，我們定性地研究該地區(qū)的各元素含量的分布情況。使用R 語言中的StaDA 程序包［23］構(gòu)建直方圖、密度圖、箱圖，一維分散點(diǎn)圖和累積分布函數(shù)圖，它們定性地幫我們了解數(shù)據(jù)的分布和結(jié)構(gòu)。從圖2（見下頁）可以看出，三個(gè)元素含量都是正偏分布。

表1總結(jié)出了三個(gè)地球化學(xué)元素（Cu、Ag和Au）的計(jì)算結(jié)果。該表1顯示，平均值與中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)偏差與中位絕對(duì)中位差之間有一個(gè)非常大的偏差。首先進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)，為了使檢驗(yàn)結(jié)果更加可靠，就要采用SPSS 軟件中的Kolmogrov－Smirnov檢驗(yàn)法（k－s檢驗(yàn)）和Shapiro－ Wilk檢驗(yàn)法（s－k檢驗(yàn)），偏度和峰度不同的正態(tài)分布檢驗(yàn)方法。由表1獲知，三個(gè)變量的P值都等于“0”（原假設(shè)被拒絕因?yàn)镻值小于0.05），峰度系數(shù)和偏度系數(shù)都很大，這說明所有的樣本不服從正態(tài)分布。

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)這些變量是否服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，我們采用對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換方法。結(jié)果表明k－s、s－k檢驗(yàn)的P值仍然等于“0”，峰度還是比較大，特別是Cu和Ag元素（如下頁圖2所示）很相似。這一點(diǎn)證明了轉(zhuǎn)換后的這些變量不服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，因此，未轉(zhuǎn)換或已轉(zhuǎn)換的變量采用傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法來確定異常下限不符合其假設(shè)條件。從圖2（見下頁）可以看出，與平均值相比，中位數(shù)比平均值更好地估計(jì)了數(shù)據(jù)分布的一個(gè)總體的中心位置，受影響的異常點(diǎn)的平均值往往比實(shí)際值大得多。標(biāo)準(zhǔn)偏差是根據(jù)每個(gè)觀測(cè)值離平均值的偏差，由于平均值不能很好地估計(jì)樣本總體的中心位置，標(biāo)準(zhǔn)偏差不能給出一個(gè)較可靠離總體中心位置的范圍，因此它嚴(yán)重地受異常點(diǎn)的影響。而中位絕對(duì)中位差卻不受任何異常點(diǎn)的影響。

對(duì)上面所討論的問題，我們采用了兩個(gè)簡(jiǎn)單的解決方案：

（1）先剔除明顯的異常點(diǎn)，然后再計(jì)算均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差。哪些點(diǎn)是異常點(diǎn)，我們根據(jù)直方圖來判斷：Cu有1.5%，Ag有1.5%，Au有3.7%的異常點(diǎn)被剔除。

（2）對(duì)原始數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)，然后再計(jì)算平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差，以含量對(duì)數(shù)值計(jì)算異常下限，最后根據(jù)計(jì)算值查其真數(shù)。

由表1和圖4（見后面）可見，這兩種方案的計(jì)算結(jié)果相差很大，第一種方案比第二種方案發(fā)現(xiàn)的特高異常點(diǎn)多得多（見下頁圖2中的黑色），但第二種方案能發(fā)現(xiàn)特低異常點(diǎn)（見下頁圖3 中的淺灰色），即使都是假異常（如圖3中的Cu－a、Cu－b、Ag－a、Ag－b和Au－a、Au－b所示）。該地區(qū)南方所發(fā)現(xiàn)的異常相當(dāng)小，這跟實(shí)際情況不符。該結(jié)果具有不確定性，它依賴于明顯異常點(diǎn)的剔除和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換之后的分布情況。穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)方法中的［median ＋2mad］和［median＋2iqr］，比傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法發(fā)現(xiàn)該地區(qū)的三個(gè)元素含量的異常區(qū)域要多。

由后面的圖4可以證明，穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)學(xué)比傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)能更好地判斷離群樣品（異常點(diǎn)）。通過q－q圖發(fā)現(xiàn)異常點(diǎn)逐漸偏離于直線，只有穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)學(xué)才能很好地判斷這些點(diǎn)，［median ＋2mad］還能發(fā)現(xiàn)特低異常。結(jié)合已發(fā)現(xiàn)礦床（點(diǎn)）（該地區(qū)的礦床（點(diǎn)）分布如下：北向有五個(gè)，東北向有四個(gè)，東向有一個(gè)，南向有二個(gè)）可知，該發(fā)現(xiàn)與實(shí)際情況很吻合。同時(shí)發(fā)現(xiàn)西北向，西向，西南向，東向有一些地方異常面積比較大，但并沒發(fā)現(xiàn)有礦床（點(diǎn)），原因是由地質(zhì)體引起的異常。

表1 基于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)、穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)學(xué)和箱圖三種異常下限確定方法的異常綜合表Tab.1 Comprehensive table of anomalies identified by using traditional statistics，robust statistics and boxplot

3 結(jié)論

作者在本文中的研究證明，在傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)上，數(shù)據(jù)要服從正態(tài)分布。原始數(shù)據(jù)基本不服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布，數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換（例如：取對(duì)數(shù)，余弦，平方根等等）不會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，對(duì)進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理可能會(huì)導(dǎo)致有偏和錯(cuò)誤的結(jié)果。由于均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差不能很好地估計(jì)數(shù)據(jù)的總體中心位置和蔓延（尺度），所以采用均值標(biāo)準(zhǔn)差法求異常下限值得商榷，原因是其數(shù)據(jù)不滿足假設(shè)前提。

通過上述的分析可以看出，傳統(tǒng)方法比較麻煩（要先取對(duì)數(shù)，然后再根據(jù)計(jì)算值查其真數(shù)或剔除明顯異常），而結(jié)果不一定可靠。在大多數(shù)情況下，穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)方法提供的中位數(shù)比平均值能更好地估計(jì)數(shù)據(jù)的中心位置，中位絕對(duì)中位差和四分位數(shù)間距能很好地估計(jì)數(shù)據(jù)的蔓延。它們都能抵抗特高值和特低值的干擾，不要求數(shù)據(jù)服從某種分布的假設(shè)，因此比傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)能更加有效地處理化探數(shù)據(jù)。

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