張 勇，田林亞，王 建，楊建中，產(chǎn)光杰

(1.河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210098;2.西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，成都 610031;3.滬寧城際鐵路股份有限公司，南京 210042)

隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，在中國(guó)建設(shè)了多條高速鐵路，如京滬高速鐵路、鄭西高速鐵路、武廣高速鐵路等。高速鐵路對(duì)線路軌道的平順性有著極高的要求，其中，軌道的幾何狀態(tài)檢測(cè)在高速鐵路建設(shè)過(guò)程中尤為重要。工程實(shí)踐中，測(cè)量人員采用一種名叫“軌檢小車”的設(shè)備來(lái)檢測(cè)鐵路軌道的安裝精度，即檢測(cè)2根鋼軌的實(shí)際位置與設(shè)計(jì)位置的偏差。在這種設(shè)備中，高精度地計(jì)算線路的設(shè)計(jì)坐標(biāo)和實(shí)測(cè)坐標(biāo)成為了一個(gè)難點(diǎn)。

通常情況下，軌道里程的坐標(biāo)是由線路設(shè)計(jì)參數(shù)和指定里程作為起算數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算的，但是在高速鐵路中，軌檢小車架設(shè)在軌道上，直接測(cè)量的是軌檢小車上棱鏡點(diǎn)的坐標(biāo)，該坐標(biāo)屬于非中心坐標(biāo)，若想知道當(dāng)前軌檢小車位置的線路中線設(shè)計(jì)坐標(biāo)及其兩軌頂坐標(biāo)，只有通過(guò)實(shí)測(cè)的軌檢小車?yán)忡R坐標(biāo)采用數(shù)值迭代方法推算出軌檢小車當(dāng)前位置的線路中心里程，再由里程計(jì)算線路中心點(diǎn)的設(shè)計(jì)坐標(biāo)和橫斷面設(shè)計(jì)方位角，最終計(jì)算左右鋼軌實(shí)際狀態(tài)以及與設(shè)計(jì)坐標(biāo)的差值。

1 軌道幾何檢測(cè)計(jì)算模型

1.1 曲線要素的計(jì)算

高速鐵路線型設(shè)計(jì)時(shí)，也會(huì)因各種原因或需要而改變線路的方向，在轉(zhuǎn)向的地方用曲線將2條直線密切地銜接起來(lái)。曲線主要分為圓曲線和緩和曲線，在國(guó)內(nèi)，緩和曲線一般采用螺旋線型，在國(guó)外，緩和曲線多采用拋物線型。

帶有緩和曲線的圓曲線有5個(gè)要點(diǎn)，分別為直緩點(diǎn)(ZH)、緩圓點(diǎn)(HY)、交點(diǎn)(JD)、圓緩點(diǎn)(YH)、緩直點(diǎn)(HZ)，曲線的切線長(zhǎng)T、曲線長(zhǎng)L、外矢距E0和切曲差q等稱為曲線要素，其計(jì)算公式為［1]

式中，R為圓曲線半徑;l0為一側(cè)緩和曲線長(zhǎng)度;α為曲線轉(zhuǎn)向角。

1.2 根據(jù)線路里程計(jì)算軌道坐標(biāo)

如圖1所示建立局部坐標(biāo)系，其原點(diǎn)為ZH點(diǎn)，x軸由切線定義。設(shè)li為任意一點(diǎn)i距ZH點(diǎn)的曲線長(zhǎng)，Li為i點(diǎn)的里程，L0為ZH點(diǎn)的里程，則li=Li-L0。

圖1 切線坐標(biāo)系

在第一緩和曲線段，即ZH～HY段，距ZH點(diǎn)曲線長(zhǎng)為li的i點(diǎn)坐標(biāo)(xi，yi)的計(jì)算公式為

其中，C=Rl0為常數(shù);β為i點(diǎn)切線的傾角。

將坐標(biāo)(xi，yi)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，求得i點(diǎn)在線路測(cè)量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(Xi，Yi)和該點(diǎn)切線方向的方位角Ai，其坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式為［1]

其中，A0=AZH-JD為ZH與JD連線的方位角;X0=XJD+Tcos(A0+180°);Y0=YJD+Tsin(A0+180°);線路左偏時(shí)cc=-1，線路右偏時(shí)cc=1。

在圓曲線段，即HY～YH段，距ZH點(diǎn)曲線長(zhǎng)為li的i點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式為［1]

其中，l0為緩和曲線長(zhǎng)。

將坐標(biāo)(xi，yi)按式(3)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，求得i點(diǎn)在線路測(cè)量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(Xi，Yi)和該點(diǎn)切線方向的方位角Ai。

在第二緩和曲線段，即YH～HZ段，先根據(jù)式(2)計(jì)算局部坐標(biāo)(xi，yi)，此時(shí)li=L-(Li-L0)其中L為式(1)中的曲線長(zhǎng)，再根據(jù)式(3)計(jì)算i點(diǎn)在線路測(cè)量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(Xi，Yi)和該點(diǎn)切線的方位角Ai，此時(shí)，X0、Y0、A0、cc2應(yīng)根據(jù)下面公式計(jì)算［1]

其中，α為線路的轉(zhuǎn)向角。

1.3 根據(jù)非中心坐標(biāo)計(jì)算線路里程

由于軌檢小車的棱鏡不是位于軌道的中間，要根據(jù)棱鏡坐標(biāo)計(jì)算軌道中線點(diǎn)坐標(biāo)，就需要知道軌檢小車的橫向方位角，這個(gè)方位角通常采用軌道設(shè)計(jì)的橫斷面方位角。

軌檢小車橫向方位角，即為軌檢小車?yán)忡R點(diǎn)投影到線路中線上的點(diǎn)的設(shè)計(jì)橫斷面方位角，其中軌檢小車上棱鏡點(diǎn)的線路坐標(biāo)(X0，Y0)，即非線路中線點(diǎn)FP(圖2)，要投影成中線上TP點(diǎn)的線路坐標(biāo)(X，Y)應(yīng)同時(shí)滿足兩個(gè)重要條件，第一個(gè)條件是FP點(diǎn)和TP點(diǎn)之間的距離D是FP點(diǎn)到線路距離最短的，第二個(gè)條件是TP點(diǎn)在線路中線上。

圖2 棱鏡點(diǎn)投影

由非線路中心點(diǎn)計(jì)算里程分3種情況，即直線段、圓曲線段、緩和曲線段，其中直線段和圓曲線段計(jì)算方法相對(duì)容易，在緩和曲線段比較復(fù)雜，本文采用牛頓迭代法計(jì)算。

1.3.1 點(diǎn)與線路的位置關(guān)系

在計(jì)算模型中使用了緩直點(diǎn)、直緩點(diǎn)等點(diǎn)的坐標(biāo)，在實(shí)際情況中，存在多個(gè)拐彎時(shí)也就存在多個(gè)曲線段，因此先要確定軌檢小車在哪個(gè)曲線段。

首先，計(jì)算線路上所有直緩點(diǎn)(ZH)、緩圓點(diǎn)(HY)、曲中點(diǎn)(QZ)、圓緩點(diǎn)(YH)、緩直點(diǎn)(HZ)處的橫斷面方位角和坐標(biāo)。把這一系列的點(diǎn)按照順序排列組成鏈表 Li(i=1，2，3，…，n)，每次取 i、i+1(i=0，1，…，n)點(diǎn)，并與 FP 點(diǎn)計(jì)算方位角得 Ai，F(xiàn)P、Ai+1，F(xiàn)P，當(dāng)滿足 Ai，F(xiàn)P＞ Ai且 Ai+1，F(xiàn)P＜ Ai+1時(shí)，F(xiàn)P 點(diǎn)位于由 Li和 Li+1構(gòu)成的區(qū)間內(nèi)，如果不滿足條件，則取i=i+1，直到滿足條件。

1.3.2 直線段計(jì)算模型

由前一個(gè)曲線段HZ點(diǎn)的線路坐標(biāo)(X1，Y1)和后面曲線段ZH的線路坐標(biāo)(X2，Y2)，構(gòu)造HZ點(diǎn)與ZH點(diǎn)之間直線段的直線方程

其中，A=(Y2-Y1);B=-(X2-X1);C=-［(Y2-Y1)X1-(X2-X1)Y1]。

如圖3所示，F(xiàn)P點(diǎn)到直線的距離為 D1=，F(xiàn)P點(diǎn)到前一個(gè)HZ點(diǎn)的距離為D2=FP點(diǎn)、TP點(diǎn)和前一個(gè)HZ點(diǎn)構(gòu)成了直角三角形，所以投影點(diǎn)距HZ點(diǎn)的距離為，則有

其中，LHZ為前一個(gè)HZ點(diǎn)的里程;LTP為投影點(diǎn)的里程;LFP為非線路中心點(diǎn)的里程，即軌檢小車處的里程。

圖3 直線段投影

1.3.3 曲線段計(jì)算模型

在曲線段由里程計(jì)算坐標(biāo)的時(shí)候，都是先采用一個(gè)局部坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算，再將其轉(zhuǎn)換到線路坐標(biāo)系中，本文的后續(xù)推導(dǎo)都是基于局部坐標(biāo)系進(jìn)行的，而由全站儀測(cè)得的軌檢小車?yán)忡R點(diǎn)FP的坐標(biāo)(X0，Y0)是線路坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，所以要先將FP點(diǎn)的坐標(biāo)通過(guò)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(x0，y0)。

在圓曲線段時(shí)，首先根據(jù)式(8)由HY點(diǎn)線路坐標(biāo)(XHY，YYH)、HY點(diǎn)切線方位角 AHY和圓弧半徑 R，計(jì)算出圓心坐標(biāo)(XC，YC)，其幾何關(guān)系見(jiàn)圖4。

圖4 圓心坐標(biāo)的計(jì)算

然后，根據(jù)式(9)計(jì)算HY點(diǎn)與FP點(diǎn)的圓心角θ，求到圓心角θ后，根據(jù)l=θR，計(jì)算TP點(diǎn)到HY點(diǎn)的距離LD，則LTP=LYH+LD，也就是軌檢小車處的里程。

在緩和曲線段時(shí)，F(xiàn)P點(diǎn)和線路上任意一點(diǎn)的距離公式為D=(xi-x0)2+(yi-y0)2，將式(2)代入并求導(dǎo)得

因?yàn)镕P點(diǎn)至線路投影點(diǎn)TP的距離是最短的，D'(l)=f(l)=0，則按照牛頓迭代法公式(11)進(jìn)行反復(fù)計(jì)算，l的初值可以直接取該曲線段的ZH點(diǎn)或者HZ點(diǎn)的里程。

求得精確曲線長(zhǎng)lk+1后，在第一緩和曲線段時(shí)，TP點(diǎn)的里程LTP=LZH+lk+1，在第二緩和曲線段時(shí)TP點(diǎn)的里程為L(zhǎng)TP=LHZ-lk+1，TP點(diǎn)的里程也就是軌檢小車處的里程。

2 實(shí)例計(jì)算

根據(jù)上述計(jì)算模型，筆者研制了基于軌檢小車的軌道幾何狀態(tài)檢測(cè)計(jì)算軟件，現(xiàn)利用某鐵路線路的部分設(shè)計(jì)參數(shù)和測(cè)量數(shù)據(jù)，對(duì)上述計(jì)算模型的正確性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證。線路部分設(shè)計(jì)參數(shù)見(jiàn)表1，采用自動(dòng)全站儀測(cè)量軌檢小車上的棱鏡在線路坐標(biāo)系中的坐標(biāo)見(jiàn)表2，根據(jù)表1中的線路設(shè)計(jì)參數(shù)，依據(jù)本文研究的模型進(jìn)行仿真計(jì)算，計(jì)算結(jié)果一并列于表2。

表1 某線路部分設(shè)計(jì)參數(shù)

表2 軌檢小車?yán)忡R中心坐標(biāo)

為驗(yàn)證軌道幾何檢測(cè)計(jì)算軟件的內(nèi)符合精度，現(xiàn)采用以下方案:已知軌檢小車?yán)忡R點(diǎn)的里程，那么該點(diǎn)的設(shè)計(jì)方位角可用得到的里程求得，該里程的軌道設(shè)計(jì)坐標(biāo)數(shù)據(jù)也同時(shí)可以求得。根據(jù)軌檢小車的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)(軌檢小車的棱鏡與小車中心的設(shè)計(jì)偏差為30 cm)，分別采用表2中的里程和設(shè)計(jì)方位角、設(shè)計(jì)偏差計(jì)算線路的中心坐標(biāo)并進(jìn)行比較，結(jié)果列于表3。

由表3中的數(shù)據(jù)看出，2種方式求得的坐標(biāo)偏差均不大于±0.2 mm，說(shuō)明本文研究的計(jì)算模型是嚴(yán)密的，編寫的程序是正確的，滿足高速鐵路軌道幾何狀態(tài)檢測(cè)的計(jì)算要求。

表3 線路中心坐標(biāo)比較

3 結(jié)語(yǔ)

(1)在高速鐵路建設(shè)中，自動(dòng)全站儀結(jié)合軌檢小車檢測(cè)鐵路軌道幾何狀態(tài)的方法已得到采用，研究基于軌檢小車的軌道幾何狀態(tài)檢測(cè)計(jì)算模型，開(kāi)發(fā)高精度的配套測(cè)量軟件，有助于發(fā)揮其檢測(cè)性能，提高作業(yè)效率。

(2)計(jì)算軌檢小車所在位置的線路中心里程，對(duì)計(jì)算軌道坐標(biāo)相對(duì)于設(shè)計(jì)坐標(biāo)的偏差非常重要，直接關(guān)系到軌道的不平順性調(diào)整。本文分直線段、緩和曲線段及圓曲線段分別研究嚴(yán)密的計(jì)算模型，計(jì)算結(jié)果可靠，精度較高，算法雖然采用了數(shù)值迭代計(jì)算，但由于高速鐵路具有較好的線性以及牛頓迭代法具有良好的收斂性，計(jì)算效率也較高。

(3)本文是針對(duì)緩和曲線為螺旋線的情況進(jìn)行研究的，筆者研制的軌道檢測(cè)計(jì)算軟件中還包括三次拋物線等其他線型，可以用于高速鐵路平順性等檢測(cè)。

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