蘇海東，祁勇峰，龔亞琦，頡志強(qiáng)，崔建華

（長江科學(xué)院材料與結(jié)構(gòu)研究所，武漢 430010）

任意形狀覆蓋的數(shù)值流形方法初步研究

蘇海東，祁勇峰，龔亞琦，頡志強(qiáng)，崔建華

（長江科學(xué)院材料與結(jié)構(gòu)研究所，武漢 430010）

在前期研究部分重疊的矩形覆蓋基礎(chǔ)上，首次提出基于任意形狀覆蓋的數(shù)值流形方法，其特點是：獨特的數(shù)學(xué)覆蓋形式，即任意形狀的覆蓋＋條形的覆蓋重疊區(qū)域；以獨立覆蓋為主的分析方式；單位分解函數(shù)表述的獨特性及嚴(yán)格的插值性。對此方法展開初步研究，給出任意形狀覆蓋的基本形式，以及基于完全重疊覆蓋和自由度之間約束關(guān)系的實現(xiàn)方法，算例分析初步驗證了該方法的有效性。

數(shù)值流形方法；任意形狀覆蓋；部分重疊覆蓋；單位分解

1 研究背景

早在1991年，我國留美學(xué)者石根華博士首先將現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的流形思想引入到數(shù)值計算中，形成了數(shù)值流形方法［1］（以下簡稱流形法），該方法具有以下特點［1－2］：

（1）數(shù)值解的插值區(qū)域與實際物理區(qū)域分離。流形法引入2套覆蓋體系，其一是數(shù)學(xué)覆蓋（又稱為數(shù)學(xué)網(wǎng)格），用于構(gòu)造物理場的近似解；其二是物理網(wǎng)格，表示材料物理邊界，用于定義積分區(qū)域。這2套覆蓋體系相互獨立，只要求前者在空間上完全包容后者，這樣，數(shù)學(xué)網(wǎng)格就不必滿足材料邊界的要求，數(shù)學(xué)網(wǎng)格內(nèi)的材料（被稱為“流形元”）可以僅占網(wǎng)格的部分區(qū)域。

（2）流形法的2套覆蓋體系將求解域劃分成有限個相互重疊的集合，稱為物理覆蓋。在各個覆蓋上定義局部覆蓋函數(shù)，通過權(quán)函數(shù)聯(lián)系起來進(jìn)行加權(quán)平均得到整個求解域上的總體場函數(shù)。

（3）局部覆蓋函數(shù)可以有多種選擇，如目前最常用的多項式級數(shù)，或其它類型的級數(shù)甚至是解析解級數(shù)。隨著級數(shù)項數(shù)的增加及階次的提高（即高階流形法），計算精度得以提高。在局部覆蓋函數(shù)為多項式級數(shù)且權(quán)函數(shù)也能用多項式表示的情況下，流形法采用單純形精確積分法，將任意形狀的復(fù)雜積分區(qū)域分解為有向單純形，分別解析積分后求其有向和。

迄今為止，絕大多數(shù)流形法研究采用有限元網(wǎng)格（如矩形或三角形）作為數(shù)學(xué)網(wǎng)格［3］，與某個有限元結(jié)點相連的所有網(wǎng)格構(gòu)成一個局部數(shù)學(xué)覆蓋，在此覆蓋上定義局部覆蓋函數(shù)，有限單元的形函數(shù)作為權(quán)函數(shù)。以下稱這種流形法為常規(guī)流形法，其重要特點是：每個有限單元正好就是其幾個結(jié)點上的數(shù)學(xué)覆蓋的共同區(qū)域，或者說，這幾個覆蓋在有限單元的區(qū)域內(nèi)完全重疊，各覆蓋沒有自己的獨立區(qū)域，筆者稱之為完全重疊的數(shù)學(xué)覆蓋。研究表明，采用完全重疊覆蓋的常規(guī)流形法具有以下缺陷：

（1）方程組的線性相關(guān)問題。在采用高階多項式覆蓋函數(shù)情況下，流形法的線性相關(guān)問題［4］表現(xiàn)為線性方程組的解（即多項式系數(shù)）存在但不唯一。此問題源于權(quán)函數(shù)的1階多項式與局部覆蓋函數(shù)中1階基函數(shù)的重疊。

（2）網(wǎng)格問題。既然采用了有限元網(wǎng)格，就難以擺脫網(wǎng)格劃分的問題，雖然“網(wǎng)格不必滿足物理邊界”的特性已使流形法的前處理比有限元法方便多了，但為了保證局部區(qū)域（如結(jié)構(gòu)分析中的裂紋尖端附近）的計算精度而在所有區(qū)域采用細(xì)密的均勻網(wǎng)格是不經(jīng)濟(jì)的，需考慮局部加密網(wǎng)格，這樣就仍然存在大、小網(wǎng)格過渡的問題。

石根華博士指出，目前的流形法只是一個初級版本。從2011年開始，在石根華博士的建議下，筆者開展了新型流形法的研究工作，即部分重疊的矩形覆蓋的研究［5－6］。該方法采用以矩形獨立覆蓋為主的分析方式，獨立覆蓋之間用較小的條形重疊區(qū)域保持覆蓋的連續(xù)性。與以往的“完全重疊覆蓋”相對應(yīng)，筆者稱之為“部分重疊覆蓋”。前期研究表明，該方法具有以下優(yōu)點。

（1）解決了常規(guī)流形法的線性相關(guān)問題：在覆蓋的獨立區(qū)域內(nèi)，局部覆蓋函數(shù)是線性無關(guān)的級數(shù)，僅在覆蓋之間較小的重疊區(qū)域存在對覆蓋函數(shù)的加權(quán)，因此，線性相關(guān)性即使仍存在也會減弱很多，有利于方程組的快速迭代求解。

（2）適合在局部區(qū)域應(yīng)用解析解：在局部區(qū)域的獨立覆蓋中可以采用特殊的覆蓋函數(shù)以適應(yīng)物理場的局部特征，比如在裂尖附近采用特殊的解析解級數(shù)，這樣就能將數(shù)值解法與局部解析法協(xié)調(diào)起來進(jìn)行聯(lián)合求解。

（3）覆蓋加密方便：筆者在文獻(xiàn)［6］中提出對矩形的獨立覆蓋進(jìn)行覆蓋加密以提高局部計算精度的簡便方法，包括重疊覆蓋的加密方式和部分重疊覆蓋的加密方式，這種大、小覆蓋間的過渡方式是完全協(xié)調(diào)的。

但上述流形法仍存在本質(zhì)邊界條件施加的問題。由于物理邊界與網(wǎng)格不匹配，流形法的本質(zhì)邊界條件一般通過罰函數(shù)法施加。這并非是最佳選擇，因為罰系數(shù)的取值對計算精度和計算穩(wěn)定性都有一定影響，取值太小會使約束不足，取值太大又會影響方程組性態(tài)。另外一個重要問題是，矩形覆蓋對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言并不方便，特別是三維問題，比如具有復(fù)雜走向的三維裂紋，用規(guī)整的長方體去覆蓋肯定沒有沿著裂紋走向的不規(guī)則覆蓋更合適。

因此，本文進(jìn)一步發(fā)展部分重疊覆蓋的思路，應(yīng)用基本的數(shù)學(xué)流形思想，提出基于任意形狀覆蓋的數(shù)值流形方法，簡稱任意形狀覆蓋流形法。

2 任意形狀覆蓋流形法的基本思想

流形［7］是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要課題，其基本思想大致上就是將有限個相對簡單的局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)用相容的方式黏合成整體上的一個復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，這種相容方式通常是局部結(jié)構(gòu)之間互相重疊的形式。目前計算力學(xué)界所推崇的“單位分解”實際上是流形中的一個重要概念，即：把“1”分解成若干個光滑函數(shù)（即單位分解函數(shù)）之和，每個光滑函數(shù)都在某個局部坐標(biāo)域（即覆蓋）之外恒等于0［7］。如果在每個局部坐標(biāo)域內(nèi)都可以用局部坐標(biāo)表達(dá)某個量（相當(dāng)于采用局部近似函數(shù)或局部覆蓋函數(shù)），那么用單位分解就可以把這些量黏合起來成為定義在整個流形上的量。因此，單位分解是在局部量和整體量之間建立聯(lián)系的不可缺少的工具。

將單位分解思想應(yīng)用于數(shù)值計算，表述為［8］：采用一些重疊的分片區(qū)域Ωi覆蓋整個計算域Ω，在每片Ωi上定義局部近似函數(shù)Vi，再加上在Ωi上非零的單位分解函數(shù)φi，從而構(gòu)成總體近似函數(shù)：

式中：n為覆蓋數(shù)，φi須滿足：

常規(guī)流形法中將局部覆蓋函數(shù)聯(lián)系起來的權(quán)函數(shù)實際上就是單位分解函數(shù)。

在數(shù)學(xué)流形中，覆蓋形狀可具有任意性，覆蓋之間一般不是完全重疊的。如圖1（a）所示，以平面上3個任意形狀的獨立覆蓋為例，它們只是部分重疊（見圖中的白色區(qū)域）。然而在這種情況下，單位分解函數(shù)很難做到完全的插值性，即：在某個覆蓋的獨立區(qū)域內(nèi)（圖中某一彩色部分），有

且在覆蓋的過渡區(qū)域（圖中的白色區(qū)域），φi和φj等單位分解函數(shù)滿足式（2）。舉個反例，如圖1中2個覆蓋的交點A，φi和φj均等于1。筆者認(rèn)為，在某種意義上正是由于這個原因，以往的流形法沒有采用更靈活多變的數(shù)學(xué)覆蓋，而不得不借用有限元網(wǎng)格的覆蓋形式。

針對上述問題，本文提出任意形狀覆蓋的條形連接方式，如圖1（b）所示。在覆蓋的條形重疊區(qū)域內(nèi)，滿足上述插值性要求的單位分解函數(shù)φi很容易用數(shù)值方式嚴(yán)格表述（見下文），圖中的點A也變成了2個點以便于φi和φj的過渡。

圖1 3個任意形狀覆蓋及其條形連接Fig.1 Three covers of arbitrary shape connected w ith each other through strips

該方法很大程度上反映了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中“流形”的基本思想，筆者認(rèn)為這才是具有較完整意義的“數(shù)值流形方法”。為了與現(xiàn)有的基于有限元網(wǎng)格的常規(guī)流形法區(qū)分開，本文將其命名為“基于任意形狀覆蓋的數(shù)值流形方法”，簡稱“任意形狀覆蓋流形法”，它是部分重疊覆蓋思想與任意形狀覆蓋的組合。

3 任意形狀覆蓋的實現(xiàn)方法

3.1 單位分解函數(shù)的表示

仍以圖1所示的3個獨立覆蓋為例，在覆蓋i的獨立區(qū)域（圖中的某個灰度區(qū)域）內(nèi)，此時因為只有1個覆蓋（式（2）中的n＝1），則單位分解函數(shù)φi＝1。再根據(jù)式（1），總體近似函數(shù)與局部近似函數(shù)相同，即

這樣，總體近似函數(shù)就表示為獨立的覆蓋函數(shù)，便于采用某種特殊的級數(shù)形式（如解析解級數(shù)）更好地逼近實際的場函數(shù)分布。

在2個覆蓋重疊的條形區(qū)域，采用有限元網(wǎng)格進(jìn)行連接，如圖2（a）所示的四邊形單元，單位分解函數(shù)可取為四邊形有限單元的形函數(shù)，但由于一般四邊形的形函數(shù)需要采用等參單元的復(fù)雜表達(dá)式，不能應(yīng)用單純形積分公式，因此在實際操作中按圖2（b）所示將四邊形分割為2個三角形。圖2中的3個覆蓋的重疊區(qū)域正好用一個三角形連接，更多覆蓋情況如圖3所示，5個覆蓋的重疊區(qū)域用三角形依次相連。

在上述三角形單元內(nèi)，單位分解函數(shù)為有限單元的形函數(shù)，表示為對應(yīng)于3個結(jié)點面積坐標(biāo)（Li，Lj，Lk），即φi＝Li，φj＝Lj，φk＝Lk，在單元內(nèi)的任一點滿足：

3.2 基于完全重疊覆蓋實現(xiàn)任意形狀的部分重疊覆蓋

任意形狀覆蓋的流形法具有獨特的覆蓋形式和單位分解函數(shù)的表示方式，本應(yīng)采用一套新的計算公式及程序，考慮到采用完全重疊覆蓋的常規(guī)流形法已有一套成熟的公式及程序，本文沿用筆者在文獻(xiàn)［5］中提出的方法，基于完全重疊覆蓋，用結(jié)點自由度之間的強(qiáng)制約束方式來實現(xiàn)任意形狀的部分重疊覆蓋。

首先，在覆蓋的獨立區(qū)域內(nèi)形成V＝Vi的獨立覆蓋函數(shù)。以圖3為例，在獨立區(qū)域內(nèi)取不在同一直線上的3點，如覆蓋A中的1，6，7三點，連成三角形的數(shù)學(xué)網(wǎng)格，令V6＝V7＝V1＝VA（即V6，V7與V1采用同樣的自由度），則根據(jù)式（6）和式（5）有

即得到式（4）的獨立覆蓋函數(shù)形式。其它獨立覆蓋同理，如覆蓋B，令V8＝V9＝V2＝VB，也可得到V＝VB。

再考慮覆蓋A和覆蓋B之間的條形重疊區(qū)域。在三角形1－7－8中，有V1＝V7＝VA，V8＝VB，則此三角形內(nèi)任一點的覆蓋函數(shù)為

式中1－L8與L8正好滿足一維2個覆蓋的單位分解函數(shù)之和為1的要求（見式（2）），且在邊1－7上，V＝VA，在點8處，V＝VB，嚴(yán)格滿足插值性要求。在三角形1－8－2中也能得到同樣的結(jié)論。2個三角形在其公共邊1－8上是協(xié)調(diào)的，形函數(shù)的表示式僅與結(jié)點1和8相關(guān)，該邊也滿足式（8）以及插值性要求。因此，覆蓋A和覆蓋B的過渡是協(xié)調(diào)的。

最后考慮多個覆蓋的重疊部位，如覆蓋A，B和E的交叉部位——三角形1－2－5，顯然，與三角形網(wǎng)格的完全重疊覆蓋類似，在該三角形內(nèi)3個覆蓋的單位分解函數(shù)滿足式（5），且在角點處滿足V＝Vi的插值性要求，因此這3個覆蓋的過渡也是協(xié)調(diào)的。三角形2－3－4和三角形2－4－5及其相關(guān)覆蓋的情況類似。同時可以看出，覆蓋A和覆蓋C，D之間沒有聯(lián)系，表現(xiàn)在幾個覆蓋的重疊區(qū)內(nèi)也沒有線段將其連接起來。

圖2 條形區(qū)域內(nèi)的有限元網(wǎng)格Fig.2 Finite elementmeshes in the strips

圖3 多個任意形狀覆蓋的連接Fig.3 Connection between several covers of arbitrary shape

3個結(jié)點分別對應(yīng)于3個局部覆蓋函數(shù)Vi，Vj，Vk，則總體近似函數(shù)為

綜上所述，本文提出的獨立覆蓋之間的條形過渡方式是完全協(xié)調(diào)的，通過結(jié)點之間的強(qiáng)制約束方式，可以很方便地由完全重疊覆蓋形式轉(zhuǎn)化為部分重疊覆蓋形式。這一方面簡化了部分重疊覆蓋的生成過程，另一方面還可以將完全重疊覆蓋和部分重疊覆蓋的程序統(tǒng)一起來，大大簡化了程序編寫工作，并使程序具有了通用性，從而可以實現(xiàn)完全重疊覆蓋和部分重疊覆蓋同時存在于一個計算模型中。

本文方法的前處理根據(jù)求解域形狀布置覆蓋：先將求解域分塊（可以是任意形狀），再塊與塊之間形成條形連接區(qū)域，最終形成任意形狀的部分重疊覆蓋。需要說明的是，形成塊間條形區(qū)域是由計算機(jī)自動實現(xiàn)的，由于只涉及簡單幾何運算，因此計算量很小。

4 算例分析

本節(jié)通過懸臂梁一端承受集中力的簡單結(jié)構(gòu)算例的分析結(jié)果說明本文方法的有效性。

如圖4所示的懸臂梁，梁長L＝10 m，截面尺寸d＝1 m。在梁的自由端作用有P＝25 kN豎直向下的集中荷載。梁的彈性模量E＝300 MPa，泊松比μ＝0.2。

圖4 一端承受集中力荷載的懸臂梁Fig.4 A cantilever beam subjected to a concentrated force in one end

平面應(yīng)力情況下，位移理論解［9］為

為了形成任意形狀的覆蓋，本文特意將懸臂梁結(jié)構(gòu)分割成多種形狀的塊，如圖5（a）所示，圖中所有多邊形塊的邊數(shù)均超過4，因此不能構(gòu)成通常意義上的平面有限元網(wǎng)格，其中圓形也離散成多邊形。圖5（b）將分塊局部放大，相應(yīng)地形成圖5（c）的條形連接。

在每個獨立覆蓋內(nèi)采用2階或3階多項式覆蓋函數(shù)。計算結(jié)果顯示，梁自由端中點D的垂直向位移計算值為0.335 m，與理論值完全一致。

表1列出了幾個典型部位的觀測點的應(yīng)力值，其中點A位于梁的上表面，點B位于中軸線，點C位于圓形覆蓋內(nèi)，見圖5（a）。由表1可見，當(dāng)獨立覆蓋采用2階多項式覆蓋函數(shù)時，各點的應(yīng)力結(jié)果已接近于理論解，如點A處σx的相對誤差在1%以下，各點τxy的誤差稍大（但其本身的應(yīng)力數(shù)值并不大），而采用3階多項式覆蓋函數(shù)時，與理論解的最大相對誤差為0.1%左右。

從式（9）可見，該算例的位移理論解是最高為3階的多項式。在獨立覆蓋函數(shù)為3階多項式的情況下，分別考慮點A所在的多邊形覆蓋及點C所在的圓形覆蓋，將其位移解的多項式函數(shù)表達(dá)式擴(kuò)展到整個懸臂梁，與式（9）的理論解進(jìn)行對比，取懸臂梁的中軸線繪制垂直向位移分布，如圖6所示。從圖中可見，位移計算值與理論值的2條曲線幾乎完全重合。這表明在此懸臂梁算例中，各獨立覆蓋采用3階多項式覆蓋函數(shù)就可以達(dá)到精確解，可以用某個局部獨立覆蓋的多項式位移解代替整個梁的位移解。

圖5 懸臂梁分塊及條形連接Fig.5 The cantilever beam divided into blocks connected through strips

圖6 懸臂梁軸線y向位移Fig.6 Vertical displacements in the beam axis

上述結(jié)果表明，本文方法只要采用了足夠的多項式階次就能夠很好地逼近真實解。

表1 各觀測點的應(yīng)力Table 1 Stresses at som emeasurem ent points

5 結(jié) 語

與采用有限元網(wǎng)格的常規(guī)流形法不同，本文方法具有以下重要特點。

（1）覆蓋形式的獨特性：任意形狀覆蓋＋條形重疊區(qū)域。數(shù)學(xué)覆蓋與物理區(qū)域整體重合，再沒有常規(guī)流形法在數(shù)學(xué)網(wǎng)格中可能存在的空白數(shù)學(xué)覆蓋區(qū)域（事實上，求解域以外的覆蓋區(qū)域無意義），覆蓋本身既作為插值區(qū)域又作為積分區(qū)域，其中，對于多項式函數(shù)仍可采用單純形積分。與有限元網(wǎng)格需要保持單元結(jié)點的正確連接以及合理的單元形狀不同，這種任意形狀的覆蓋可適應(yīng)任何復(fù)雜邊界，從而使前處理的難度大大降低。當(dāng)然，代價是要形成覆蓋之間的條形連接，需要再次強(qiáng)調(diào)的是，這只涉及簡單幾何運算，不僅計算量很小而且可由計算機(jī)自動完成。

（2）單位分解函數(shù)表述的獨特性：在覆蓋的獨立區(qū)域內(nèi)φi＝1，在條形重疊區(qū)域內(nèi)采用數(shù)值方式定義φi，滿足單位分解函數(shù)合成為1的要求，并具有嚴(yán)格的插值性。

（3）以獨立覆蓋為主的分析方式：重點研究相對較大的獨立區(qū)域內(nèi)的覆蓋函數(shù)Vi。本方法屬于部分重疊覆蓋方法，能夠解決高階流形法的線性相關(guān)問題，并容易實現(xiàn)覆蓋加密。

事實上，這種新的覆蓋體系引入了一種新的物理場逼近方式，因此，該方法的應(yīng)用不僅適用于文中算例所涉及的結(jié)構(gòu)分析領(lǐng)域，也適用于研究其它物理場。當(dāng)然，該方法目前還處于起步階段，還有很多基礎(chǔ)理論問題（如逼近特性）需要研究。進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)：與有限元法、單位分解（有限元）法、無網(wǎng)格等方法相比，任意形狀覆蓋流形法具有自身的特點和優(yōu)勢，如以獨立覆蓋為主的分析方式便于在局部區(qū)域采用特殊覆蓋函數(shù)（如解析解）以適合物理場局部特征，能夠準(zhǔn)確施加本質(zhì)邊界條件，覆蓋加密方便，具有多方面的兼容性和程序?qū)崿F(xiàn)的方便性等，這些成果將另文介紹。

致謝：在此衷心感謝石根華博士對本文的指導(dǎo)！

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（編輯：黃 玲）

Prelim inary Research of Numerical M anifold M ethod Based on Covers of Arbitrary Shape

SU Hai dong，QIYong feng，GONG Ya qi，XIE Zhi qiang，CUIJian hua
（Department of Material and Engineering Structure，Yangtze River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China）

Numerical Manifold Method（NMM）with covers of arbitrary shape is presented for the first time based onprevious research of partially overlapping rectangular covers.The characteristics of thismethod are as follows：cov erswith arbitrary shape are connected with each other through strips；it has a unique analysismodemainly invol ving independent covers；the functions of the Partition of Unity（PU）are presented in a special way with strict in terpolation properties.The fundamental forms of covers of arbitrary shape，aswell as the realization method based on totally overlapping covers by using freedom constraint are given.Finally，the validity of the new method is dem onstrated by a numerical example.

Numerical Manifold Method（NMM）；covers of arbitrary shape；partially overlapping covers；Partition of Unity（PU）

TB115；TV311

A

1001－5485（2013）12－0091－06

10.3969／j.issn.1001－5485.2013.12.017

2013－07－04；

2013－09－04

中央級公益性科研院所基本科研業(yè)務(wù)費項目（CKSF2013031，CKSF0210012）

蘇海東（1968－），男，湖北武漢人，教授級高級工程師，博士，主要從事水工結(jié)構(gòu)數(shù)值分析工作和計算方法研究，（電話）027－82829754（電子信箱）suhd＠m(xù)ail.crsri.cn。