郭 嘯

（長沙師范學院初等教育系，湖南長沙410100）

數(shù)學建模中解題策略的教學探究

郭 嘯

（長沙師范學院初等教育系，湖南長沙410100）

數(shù)學問題的解題策略能在數(shù)學建模過程中為選擇建模方法和制定建模步驟提供重要指導.本文總結(jié)了數(shù)學建模中基本的解題策略，探討了數(shù)學建模解題策略的教學原則.結(jié)合具體案例在數(shù)學建模中開展實施解題策略教學的探索與實踐，為數(shù)學建模中解題策略的教與學提供了有價值的參考.

數(shù)學建模；解題策略；案例教學

1 前言

隨著高等教育教學的改革，大學生問題解決能力的培養(yǎng)已成為數(shù)學建模課程和實踐活動的核心目標.教育心理學的研究(邵瑞珍，1990)表明,傳授學生有效的解題策略，加強對學生解題策略的訓練是培養(yǎng)學生問題解決能力的最有效做法.我國數(shù)學教育界對解題策略課題的研究起步較晚,與數(shù)學建模結(jié)合的系統(tǒng)理論尚未形成.本文總結(jié)數(shù)學建模問題中的基本解題策略，結(jié)合案例探討如何在數(shù)學建模中開展解題策略的教學和訓練.

2 解題策略的內(nèi)涵與意義

數(shù)學問題解題策略是指在解決數(shù)學問題的過程中，借以思考假設、選擇和采取解決方法與步驟的方針與規(guī)則[1],它是對解題途徑的概括性認識[2].數(shù)學建模是使用數(shù)學方法解決實際應用問題，數(shù)學建模過程是積極進行思維加工的活動過程，自然會受到數(shù)學解題策略思維的影響.數(shù)學問題解題策略能為建模策略的確定、選取解決方法和制定解決步驟提供重要指導.關(guān)于數(shù)學建模認知機制的研究表明[3]，掌握一般性的解題策略有助于數(shù)學建模過程的順利進行，在數(shù)學建模教學中融入一般性解題策略知識能提高學生的數(shù)學建模能力.

本文在已有的研究基礎上[4][5]，結(jié)合數(shù)學建模競賽中的問題分析，將數(shù)學建模中常用的基本解題策略歸納如下.

2.1 模式識別

在長期解決數(shù)學問題的過程中，主體對所積累的知識經(jīng)驗進行加工，根據(jù)問題的目標和規(guī)律逐漸總結(jié)出典型結(jié)構(gòu)與重要類型——[6]模式.當遇到新問題時，首先要辨別題目的類型屬于哪種模式，以便與已有的知識經(jīng)驗發(fā)生聯(lián)系，這就是模式識別的解題策略.

2.2 化歸變換

當問題難以直接解決時，根據(jù)問題的性質(zhì)、關(guān)系等特點，通過轉(zhuǎn)化過程將其歸結(jié)為另一個比較容易解決的或已經(jīng)解決過的等價問題.它所使用的方法主要就是將數(shù)學問題表述形式進行等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)換的原則就是：簡單化、熟悉化、直觀化.除了問題表述的等價轉(zhuǎn)化，將問題分為幾個小問題也屬于化歸變換.

2.3 有效增設

在不改變問題目標和性質(zhì)的前提下，增加條件使問題的解決更容易，這就是有效增設.構(gòu)造輔助元素方法、對偶法、設置作為子目標的一個或多個中間結(jié)論的方法、挖掘隱含條件優(yōu)化假設等均是這一策略的具體體現(xiàn).

2.4 整體策略

從問題的整體結(jié)構(gòu)出發(fā)進行觀察、分析、處理,從全局上把握條件與結(jié)論及其間聯(lián)系,把握解題各部分、各環(huán)節(jié)間的聯(lián)系,應擺脫陷于局部細節(jié)中一時難以弄清的復雜計算與繁瑣討論,避免各解題環(huán)節(jié)的脫節(jié)與孤立.通常所要求的在解題中進行多向立體思維、思路探索中的及時反饋-評價-調(diào)控及解題后的全面反思等方法都是這一策略的具體體現(xiàn).

3 數(shù)學建模中解題策略的教學研究

3.1 教學原則

3.1.1 重視解題策略的知識性教學，開展樣例教學

根據(jù)對數(shù)學建模認知的研究表明[3]，專家和新手在解決問題時所使用的策略方面存在著差異，相當部分學生希望老師教給他們一般的思維策略與方法.因此，在數(shù)學建模教學中，教師應當將解決數(shù)學問題的一般思維策略提煉出來，較為系統(tǒng)化地講授給學生.但解題策略比較寬泛，在與數(shù)學建模的結(jié)合上也較為薄弱.樣例教學是向?qū)W生書面呈現(xiàn)一批解答好的例題，學習、研究別人已建立的現(xiàn)成數(shù)學模型及數(shù)學建模的思想方法.在這些豐富的數(shù)學建模問題中蘊含著大量具體的數(shù)學建模策略性知識，樣例教學是讓學生在領悟與模仿中建立數(shù)學建模解題策略知識認知結(jié)構(gòu)的基本教學策略.

3.1.2 加強解題策略的元認知訓練，實施變式練習

國內(nèi)外已有關(guān)于問題解決思維策略訓練研究的結(jié)果(AlisonKin，1991，p307-317;程素萍，1996，pl6-19)表明，元認知策略監(jiān)控、指導思維策略的運用，元認知訓練比一般思維訓練具有更好的作用.一般思維策略訓練更多地關(guān)注解題策略的含義，屬于知覺水平的教學，其結(jié)果是學生可能了解使用策略的程序，但無法掌握策略的應用.將解題思維策略教學與元認知訓練結(jié)合起來，使學生將注意力不僅指向問題本身的加工而且指向自己加工策略的認知過程、教學中通過設置不同的問題情境，將一個策略原型迅速而恰當?shù)靥釤?、轉(zhuǎn)變到某一模型上；或是將一個領域內(nèi)的模型快捷、靈活地轉(zhuǎn)移到另一個領域.在變式練習中讓學生體會策略選擇、加工、調(diào)節(jié)的過程，領悟評價各種數(shù)學建模策略的方法，增強學生對如何使用解題策略的元認知訓練.

3.2 教學案例

教學中可以開展歷年大學生數(shù)學建模競賽賽題分析和總結(jié)將增加學生的解題策略知識，提高策略模式的識別和應用能力.比如，圖論理論和方法在大學生數(shù)學建模競賽中都有廣泛應用，如歐拉圖、染色、最短路等.但是實際問題的解決往往是在對已有模型采用多種解題策略實施加工改進的創(chuàng)新應用.下面結(jié)合2012年全國大學生數(shù)學建模D題給出解題策略的一個教學案例.

問題1提出的一個機器人在二維固定場景中的避障問題，行走規(guī)則和障礙物的數(shù)學描述等詳見[6].以下分析講解本題第一問，不考慮機器人移動時間，設計從指定起點到達指定目標點的最短避障路徑.

解題策略分析：從給出的平面場景看，由于機器人并沒有指定的移動路徑，所以本題沒有給出網(wǎng)絡圖，想通過模式識別直接應用已有的圖論問題模型求解并不可行.如果能通過分析給出可行路徑的范圍，在這個范圍內(nèi)尋找最短路徑則可以借鑒圖論模型解決.于是本題分解為兩個子問題：尋找可行路徑圖→得到連通圖求指定兩頂點的最短路徑.這種將問題分解是化歸變換策略最常見的一種應用.

首先解決求解從O點到A點的可行路徑問題.兩點間直線距離最短，若將O點與A點用直線連接則穿過了障礙物，但實際行走時不能穿過障礙物.可假設該直線有彈性，為繞過障礙物且保持直線拉伸距離最小，所以直線被拉伸后必然與障礙物邊沿相切.由于拉伸方向不同，產(chǎn)生的可行路徑有多條.機器人只以圓弧路徑轉(zhuǎn)彎，經(jīng)過的路障頂點要進行圓角化，在路障頂點處增加10個單位半徑為10個單位的圓見圖1，路徑為OE—EF—FB,OG—GH—HB.以上尋找可行路徑的思想就是從原題中挖掘內(nèi)涵，增加條件解決問題，這就是有效增設策略.有效增設策略在歷年數(shù)學建模賽題中都有使用，包括增添輔助參數(shù)、設置區(qū)域劃分、引入過程變量.通過比較可行路徑，可得到最短路徑即O→E→F→B長度約為271.

圖1

題目還要求找出O到其余多點的最短路徑，避障網(wǎng)絡圖更加復雜見圖2.在圖論中圖2中網(wǎng)絡圖是連通圖，去掉回路中的任何邊都不會影響圖的連通性質(zhì).意識到這個本質(zhì)特征，則求最短路徑就等價于尋找權(quán)重之和最小的生成樹，即最小生成樹問題.這種通過問題的分析，擺脫非本質(zhì)因素的干擾和束縛抽取問題的本質(zhì)特征，對問題進行準確的模式識別和歸類的解題策略，這就是在數(shù)學建模中最常用的模式識別策略.

圖2

通過分析并結(jié)合O點到A點最短路的求解過程，讓學生得出解題策略：增設障礙物的圓角尋找有效切線→化歸分解先找出可行路徑→轉(zhuǎn)換得到連通圖→應用圖論的最小生成樹模型求解.以從O點到B點為例下面給出解決方案. O→B點有效路徑的連通圖見圖3，通過求解最小生成樹可以得到O→B點的最短路徑為O→B1→B3→C1→C3→D1→B.

圖3

〔1〕李明振.數(shù)學問題解決策略及其訓練研究[J].貴州師范大學學報(自然科學),1998(2):72-76.

〔2〕黃超駿.高中數(shù)學解題策略與策略性知識的教學[D].重慶:西南師范大學,2002.

〔3〕李明振.數(shù)學建模的認知機制及其教學策略研究[D].重慶:西南大學,2007.

〔4〕羅增儒.數(shù)學解題學引論[M].西安:陜西師范大學出版社, 2008.361-433.

〔5〕江高文.數(shù)學新思維:中學數(shù)學思維策略與解題藝術(shù)[M].武漢:華中師范大學出版社,2002.2-52.

〔6〕2012年高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽賽題:http:// www.mcm.edu.cn/problem/2012.

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1673-260X（2013）12-0007-02