歐陽(yáng)成* 陳曉旭 華 云

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改進(jìn)的最適高斯近似概率假設(shè)密度濾波

歐陽(yáng)成陳曉旭 華 云

(電子信息控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 610036)

最適高斯近似概率假設(shè)密度濾波是一種新穎的多機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法。然而，該算法存在模型概率先驗(yàn)固化問題，即在計(jì)算模型概率的過(guò)程中量測(cè)信息不起作用。針對(duì)以上問題，該文提出一種改進(jìn)算法，通過(guò)引入模型概率更新過(guò)程，將后驗(yàn)量測(cè)信息加入模型概率的計(jì)算式中，根據(jù)似然函數(shù)在多個(gè)運(yùn)動(dòng)模型之間進(jìn)行軟切換，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的有效跟蹤。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)算法能夠有效解決模型概率先驗(yàn)固化問題，在目標(biāo)數(shù)估計(jì)和濾波精度方面均優(yōu)于傳統(tǒng)算法，具有良好的工程應(yīng)用前景。

隨機(jī)集；概率假設(shè)密度濾波；最適高斯近似；機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤

1 引言

在機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域，交互式多模型(Interacting Multiple Model, IMM)算法被認(rèn)為是迄今為止最有效的算法之一，它通過(guò)模型轉(zhuǎn)移概率在多個(gè)模型之間進(jìn)行軟切換，可以在計(jì)算精度和計(jì)算開銷上獲得比較好的折中。雜波環(huán)境中，為了跟蹤多個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)，常用的方法是將IMM分別與聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)(Joint Probabilistic Data Association, JPDA)、多假設(shè)跟蹤(Multiple Hypothesis Tracking, MHT)等算法相結(jié)合，構(gòu)成IMM-JPDA, IMM-MHT等算法。然而，由于需要計(jì)算所有關(guān)聯(lián)事件的概率，這些算法的復(fù)雜度隨目標(biāo)或虛警個(gè)數(shù)的增加呈指數(shù)增長(zhǎng)，難以應(yīng)用于工程。

近幾年，由于隨機(jī)集理論的興起，與其相關(guān)的多目標(biāo)跟蹤算法越來(lái)越多, 其中最具影響力的是Mahler提出的概率假設(shè)密度(Probability Hypothesis Density, PHD)濾波，及其改進(jìn)算法。該濾波算法將復(fù)雜的多目標(biāo)狀態(tài)空間的運(yùn)算轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)狀態(tài)空間內(nèi)的運(yùn)算，有效避免了多目標(biāo)跟蹤中復(fù)雜的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題。目前已有的PHD實(shí)現(xiàn)方法主要包括粒子PHD和高斯混合PHD兩種形式，后者由于避免了粒子采樣以及聚類等操作，在運(yùn)算效率和狀態(tài)提取方面更具優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]分別將多模型的思想引入粒子PHD和高斯混合PHD中，以解決多機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問題。然而，傳統(tǒng)的多模型PHD濾波并不包含輸入交互過(guò)程，正如文獻(xiàn)[10]所述，如何將IMM算法引入PHD濾波中是一個(gè)頗具挑戰(zhàn)的問題。最近，文獻(xiàn)[11]通過(guò)采用粒子擬合目標(biāo)狀態(tài)的模型條件PHD強(qiáng)度，在粒子PHD框架下成功實(shí)現(xiàn)了模型輸入交互。相應(yīng)地，文獻(xiàn)[12]通過(guò)采用最適高斯近似(the Best-Fitting Gaussian, BFG)法對(duì)IMM預(yù)測(cè)性能進(jìn)行估計(jì)，成功將輸入交互過(guò)程引入高斯混合PHD濾波中。然而，研究發(fā)現(xiàn)該算法存在模型概率先驗(yàn)固化問題，即在計(jì)算模型概率的過(guò)程中量測(cè)信息不起作用。針對(duì)以上問題，本文提出一種改進(jìn)算法，通過(guò)引入模型概率更新過(guò)程，充分利用后驗(yàn)信息改善濾波性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)算法能夠有效解決模型概率先驗(yàn)固化問題，性能優(yōu)于傳統(tǒng)的BFG-PHD濾波，具有良好的工程應(yīng)用前景。

2 隨機(jī)有限集及PHD濾波

在多目標(biāo)跟蹤中，多目標(biāo)狀態(tài)和量測(cè)均可用隨機(jī)有限集(Random Finite Sets, RFS)表示，即=為目標(biāo)狀態(tài)集，為量測(cè)集，其中和分別是和上的所有有限子集的集合，和分別表示時(shí)刻的目標(biāo)數(shù)和量測(cè)數(shù)。

(6)

3 最適高斯近似PHD濾波

最適高斯近似(BFG)法是一種跳轉(zhuǎn)馬爾可夫線性系統(tǒng)(Jump Markov Linear Systems, JMLS)下的IMM性能估計(jì)方法，其基本思路是將動(dòng)態(tài)模型中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和過(guò)程噪聲協(xié)方差矩陣用一個(gè)BFG分布進(jìn)行近似，從而使目標(biāo)在兩種模式下的預(yù)測(cè)狀態(tài)具有相同的均值和方差。文獻(xiàn)[12]將該算法引入PHD濾波中，實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的有效跟蹤。

考慮如下JMLS模型：

BFG近似即是將式(8)用一個(gè)BFG分布進(jìn)行替換

若將式(8)所示的JMLS表示為事件，式(9)所示的BFG分布表示為事件，則算法的關(guān)鍵在于尋找合適的和，使得下式成立

(11)

由全概率公式可知

事件條件下的目標(biāo)狀態(tài)期望為

對(duì)比式(12)和式(13)可知

(14)

另一方面，事件條件下的目標(biāo)狀態(tài)協(xié)方差矩陣為

其中，

另一方面，由式(9)和式(15)可知，

(20)

(22)

此后的PHD預(yù)測(cè)更新過(guò)程與傳統(tǒng)的單模型PHD濾波完全一致，不同之處僅在于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和過(guò)程噪聲協(xié)方差矩陣需分別用BFG近似的和進(jìn)行替換，簡(jiǎn)單起見，本文不再贅述。

4 改進(jìn)算法

文獻(xiàn)[13]提出BFG算法的初衷是為了計(jì)算JMLS的克拉美羅下界(Posterior Cramer-Rao Lower Bound, PCRLB)。對(duì)于單模型線性系統(tǒng)而言，可直接對(duì)其Fisher信息矩陣(FIM)求逆

(24)

由于PCRLB給出的是估計(jì)性能下界，不需要計(jì)算具體的似然函數(shù)，因此BFG算法中的模型概率計(jì)算公式中只包含預(yù)測(cè)過(guò)程，而缺乏更新過(guò)程。文獻(xiàn)[12]將BFG算法直接應(yīng)用于PHD濾波中，固然可以解決模型輸入交互問題，但在計(jì)算模型概率時(shí)沿用了BFG中的方法。換句話說(shuō)，只需給定一個(gè)模型概率初值，就可根據(jù)式(22)迭代計(jì)算出整個(gè)跟蹤過(guò)程的模型概率值，我們稱其為模型概率先驗(yàn)固化問題。本節(jié)針對(duì)該問題提出一種改進(jìn)算法，通過(guò)引入模型概率更新過(guò)程，利用后驗(yàn)信息改善濾波性能。

(26)

(28)

(30)

其中，

(33)

則經(jīng)過(guò)量測(cè)更新的后驗(yàn)PHD強(qiáng)度為

(35)

其中，

(37)

(38)

(40)

(41)

(43)

其中，

(45)

(46)

由式(33)和式(43)可以看出，改進(jìn)算法對(duì)于模型概率的計(jì)算包括預(yù)測(cè)和更新兩個(gè)步驟，其中預(yù)測(cè)過(guò)程與BFG算法相同，但更新過(guò)程則需要用到每個(gè)高斯分量的似然函數(shù)，由于后驗(yàn)量測(cè)信息的引入，模型概率先驗(yàn)固化問題得以有效解決。

值得注意的是，本文算法與文獻(xiàn)[12]中算法一樣，都只適用于馬爾可夫線性系統(tǒng)。此處的“線性”僅僅是指，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程需滿足線性條件，而對(duì)于量測(cè)方程則沒此限制。因此，對(duì)于量測(cè)方程非線性的系統(tǒng)，可考慮將算法中的卡爾曼濾波(Kalman Filter, KF)替換為無(wú)跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter, UKF)或高斯粒子濾波(Gaussian Particle Filter, GPF)等非線性高斯濾波算法，以改善濾波性能。

5 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

研究2維空間中一定區(qū)域內(nèi)相繼出現(xiàn)消失的8個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)，真實(shí)目標(biāo)航跡如圖1所示。整個(gè)觀測(cè)過(guò)程持續(xù)60幀，采樣周期為。每個(gè)目標(biāo)在時(shí)刻的狀態(tài)用一個(gè)4維向量表示，其中，和分別表示目標(biāo)的位置和速度。采用5個(gè)運(yùn)動(dòng)模型對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行描述，均滿足如下狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

其中，

5個(gè)模型的過(guò)程噪聲協(xié)方差矩陣均為 ，但轉(zhuǎn)彎角速率各不相同，模型1的轉(zhuǎn)彎角速率為，即勻速直線運(yùn)動(dòng)，模型2

傳感器位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，量測(cè)方程為

其中，

簡(jiǎn)單起見，不考慮目標(biāo)衍生過(guò)程，新生目標(biāo)隨機(jī)集取為目標(biāo)真實(shí)起始位置，采用擴(kuò)展卡爾曼算法進(jìn)行濾波。仿真中設(shè)置最大高斯分量數(shù)為，修剪門限為，合并門限為。檢測(cè)概率，目標(biāo)存活概率為。雜波數(shù)服從均值為20的泊松分布，在視場(chǎng)內(nèi)均勻分布。

圖2所示為文獻(xiàn)[12]算法中目標(biāo)2的模型概率轉(zhuǎn)移曲線。可以看出，由于原算法中的模型概率先驗(yàn)固化問題，只需給定一個(gè)初始模型概率以及馬爾可夫跳轉(zhuǎn)矩陣，就可根據(jù)式(22)將所有時(shí)刻的模型概率迭代計(jì)算出來(lái)，因此無(wú)法根據(jù)后驗(yàn)量測(cè)信息對(duì)模型進(jìn)行軟切換。

圖3所示為改進(jìn)算法中目標(biāo)2的模型概率轉(zhuǎn)移曲線?？梢钥闯?，由于模型概率更新過(guò)程的加入，模型概率先驗(yàn)固化問題得以有效解決，因此，改進(jìn)算法可以在跟蹤過(guò)程中充分利用后驗(yàn)量測(cè)信息，在多個(gè)運(yùn)動(dòng)模型之間進(jìn)行軟切換。

圖2 原算法中目標(biāo)2的模型概率轉(zhuǎn)移曲線

圖4所示為原算法的單次仿真結(jié)果。可以看出，由于跟蹤過(guò)程中無(wú)法對(duì)模型進(jìn)行有效切換，當(dāng)目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)，跟蹤誤差較大，且容易丟失目標(biāo)。

圖5所示為改進(jìn)算法的單次仿真結(jié)果?？梢钥闯?，由于跟蹤過(guò)程中能夠充分利用后驗(yàn)量測(cè)信息，實(shí)現(xiàn)多個(gè)模型之間的軟切換，當(dāng)目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)，跟蹤誤差較小，且不容易丟失目標(biāo)。

采用文獻(xiàn)[14]中的估計(jì)與航跡關(guān)聯(lián)算法生成目標(biāo)航跡，圖6和圖7分別為原算法和改進(jìn)算法得到的時(shí)間軸跟蹤軌跡，同樣可以說(shuō)明問題。

為統(tǒng)計(jì)不同算法的平均性能，進(jìn)行500次蒙特卡洛(Monte Carlo, MC)實(shí)驗(yàn)，采用目標(biāo)數(shù)估計(jì)均值方差和OSPA脫靶距離對(duì)不同算法的性能進(jìn)行評(píng)價(jià)，OSPA距離的計(jì)算式如下：

圖4 原算法的單次仿真結(jié)果

圖8和圖9分別為原算法和改進(jìn)算法的目標(biāo)數(shù)估計(jì)性能?？梢钥闯?，原算法的目標(biāo)丟失現(xiàn)象較為嚴(yán)重，目標(biāo)數(shù)估計(jì)性能整體較差，而改進(jìn)算法的目標(biāo)數(shù)估計(jì)更加準(zhǔn)確，且方差較小，魯棒性更強(qiáng)。

圖10所示為不同算法的OSPA距離對(duì)比?？梢钥闯?，改進(jìn)算法在目標(biāo)數(shù)估計(jì)和濾波精度方面均優(yōu)于文獻(xiàn)[12]中算法，具有良好的工程應(yīng)用價(jià)值。

表1所示為不同檢測(cè)概率下的綜合性能對(duì)比?？梢钥闯?，隨著檢測(cè)概率的降低，兩種算法的性能均有所下降，但總體來(lái)看，改進(jìn)算法的OSPA距離更小，目標(biāo)數(shù)估計(jì)均值更大，標(biāo)準(zhǔn)差更小，平均跟蹤誤差更小，表現(xiàn)出更好的綜合性能。

圖5 改進(jìn)算法的單次仿真結(jié)果

圖6 原算法時(shí)間軸跟蹤軌跡(“·”量測(cè)，“——”航跡)

圖7 改進(jìn)算法時(shí)間軸跟蹤軌跡(“·”量測(cè)，“——”航跡)

圖8 原算法的目標(biāo)數(shù)估計(jì)性能

圖9 改進(jìn)算法的目標(biāo)數(shù)估計(jì)性能

Fig. 9 Target number estimation of the improved algorithm

表1不同檢測(cè)概率下的綜合性能對(duì)比

Tab. 1 Performance comparison under the conditons of different detection probabilities

6 結(jié)論

BFG-PHD濾波是一種新穎的多機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法，能夠在高斯混合PHD框架下實(shí)現(xiàn)不同目標(biāo)的模型輸入交互。然而，該算法存在模型概率先驗(yàn)固化問題，限制了其在工程中的應(yīng)用。針對(duì)以上問題，本文提出一種改進(jìn)算法，通過(guò)引入模型概率更新過(guò)程，根據(jù)后驗(yàn)量測(cè)信息對(duì)模型概率進(jìn)行調(diào)整，從而能夠更好地跟蹤多個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)算法能夠有效解決模型概率先驗(yàn)固化問題，性能優(yōu)于傳統(tǒng)的BFG-PHD濾波，具有良好的工程應(yīng)用前景。然而，本文考慮的仿真場(chǎng)景還比較簡(jiǎn)單，新生目標(biāo)隨機(jī)集取為目標(biāo)真實(shí)起始位置，且沒有考慮目標(biāo)衍生過(guò)程。接下來(lái)，需要在新生目標(biāo)隨機(jī)集未知且包含目標(biāo)衍生過(guò)程的環(huán)境下，進(jìn)一步驗(yàn)證算法性能。另外，如何將算法應(yīng)用到多傳感器系統(tǒng)中也是今后需要開展的工作。

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Improved Best-fitting Gaussian Approximation PHD Filter

Ouyang Cheng Chen Xiao-xu Hua Yun

(Science and Technology on Electronic Information Control Laboratory, Chengdu 610036, China)

The best-fitting Gaussian approximation Probability Hypothesis Density (PHD) filter is a novel algorithm for multiple maneuvering target tracking. However, there is a problem that the model probabilities are calculated without the measurement innovation. To solve this problem, an improved algorithm is proposed in this paper, which develops an update procedure for model probabilities to employ the posterior measurement innovation to enhance the filtering performance. Then, the dynamic equations can be softly switched among different models according to the likelihood functions. The simulation results show that the improved algorithm has several advantages over the ordinary one with respect to the target number estimation and filtering accuracy, implying good application prospects.

Random finite sets; Probability Hypothesis Density (PHD) filter; Best-fitting Gaussian approximation; Maneuvering target tracking

TN953

A

2095-283X(2013)02-0239-08

10.3724/SP.J.1300.2013.13010

歐陽(yáng)成(1985-)，男，博士后，西安電子科技大學(xué)博士畢業(yè)，現(xiàn)為中電集團(tuán)第29研究所博士后。研究方向?yàn)槟繕?biāo)檢測(cè)與跟蹤、多傳感器信息融合。E-mail: ouoyc@yahoo.com.cn

陳曉旭(1976-)，男，工程師，研究方向?yàn)樾盘?hào)處理、無(wú)源定位技術(shù)等。

華 云(1972-)，男，研究員，研究方向?yàn)樾盘?hào)處理、無(wú)源定位技術(shù)等。

2013-02-05收到，2013-05-02改回；2013-05-07網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版

中國(guó)博士后科學(xué)基金(2012M521713)資助課題

歐陽(yáng)成 ouoyc@yahoo.com.cn