金 瑤 蔡之華 梁丁文

(中國地質大學(武漢)計算機學院 武漢 430074)

1 引言

在離散時間隨機動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)估計問題中，應用了大量的濾波技術。線性系統(tǒng)中一般是用貝葉斯遞推關系計算條件狀態(tài)的概率密度函數，從概率密度函數中獲取詳細的系統(tǒng)狀態(tài)估計信息，從而進行準確的估計[1]。其中最著名的是Kalman濾波——線性高斯系統(tǒng)下的最優(yōu)濾波。而非線性濾波系統(tǒng)的狀態(tài)估計一般采取次優(yōu)的近似方法。一種方法是將非線性環(huán)節(jié)線性化處理，對高階項逼近或截斷，其中最常用的是擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter, EKF)[2]。另一種方法是用采樣方法近似非線性函數的概率密度分布，常用的有粒子濾波器(Partial Filter, PF)[3]、無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter, UKF)[4]。

EKF將非線性函數的 Taylor展開式中高階項截斷，但是截斷的高階項必然會造成誤差。此外，EKF計算過程中需要計算非線性函數的 Jacobi矩陣，計算過程復雜且可能無解，這些問題限制了EKF的應用。PF使用參考分布，隨機產生大量粒子，由系統(tǒng)定義的非線性函數將這些粒子轉換后通過策略統(tǒng)計組合得到系統(tǒng)估值，PF雖然克服了EKF的缺點但近似過程需要生成數量龐大的粒子，在高維問題中計算量很大；此外粒子在迭代后產生退化問題，也影響了濾波精度[5]。UKF與PF一樣也應用采樣策略近似非線性分布的方法，不同之處在于UKF用無跡變換(Unscented Transformation, UT)進行確定性采樣而非隨機采樣。UT通過一組能夠伸縮且確定數目的Sigma點，計算其均值與協(xié)方差近似系統(tǒng)狀態(tài)。UKF的計算量基本與EKF相當，但性能優(yōu)于EKF；由于采用的是確定性采樣，也避免了PF的粒子退化問題[5]。

由于 UKF在解決某些應用問題時性能要明顯優(yōu)于EKF與PF，對UKF算法的研究與改進也一直是非線性隨機動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)估計研究的熱點。文獻[6]對Sigma點采樣策略進行改進，減少了Sigma點數量，在高維問題計算中能顯著提高計算效率。文獻[7]對 UKF噪聲處理方式進行改進，提出了增廣UKF，將系統(tǒng)噪聲與觀測噪聲加到狀態(tài)變量的協(xié)方差中，擴維后經過UT過程能處理非累加性噪聲，提高濾波精度。文獻[8]由新息和殘差的正交性原理估計過程噪聲協(xié)方差的實時變化，利用協(xié)方差匹配原則修正噪聲理論協(xié)方差以逼近真實噪聲，提出一種基于新息和殘差序列在線估計噪聲統(tǒng)計特性的自適應UKF。文獻[9]根據極大后驗估計原理，推導出一種次優(yōu)無偏極大后驗估計常值噪聲統(tǒng)計估計器；采用指數加權的方法給出時變噪聲統(tǒng)計估計器遞推公式得到帶噪聲統(tǒng)計估計器的自適應UKF。

對UKF算法的改進很多，但主要集中在應用研究，對UT變換的理論分析研究與創(chuàng)新相對較少。UT變換最明顯的特點是具有縮放能力的采樣點，縮放參數控制采樣點的分布并影響近似準確性。雖然UT變換對非線性狀態(tài)后驗分布近似達到二階，但同時也引進了額外的高階項，若選擇合適的縮放參數可以使這些高階項更加近似真實情況；相反不合適的縮放參數會大幅降低UKF精度甚至發(fā)散，即縮放參數的選擇增加了UKF性能的不確定性[10]。文獻[6]給出了常規(guī)的縮放參數選擇方法，但實際應用時效果并不理想，仍需要使用者根據實際問題設定才能獲得理想的濾波精度。目前針對UKF縮放參數的討論并不多，因此本文將主要討論縮放參數選擇方法，并結合差分演化算法對其進行優(yōu)化，提出基于差分演化算法的自適應縮放參數的UKF。本文第2節(jié)介紹無跡變換；第3節(jié)對一些縮放參數自適應方法進行分析；第4節(jié)提出基于差分演化算法的自適應縮放參數的UKF算法并進行仿真實驗；第5節(jié)進行總結。

2 無跡變換

一個非線性動態(tài)系統(tǒng)可以描述為

UKF通過一組帶有權重的 Sigma點近似模擬非線性函數隨機變量分布，Sigma點計算方法就是通過 UT變換。UT變換在給定采樣均值與協(xié)方差后，通過特定方法生成一組Sigma點并賦予權重，將所有Sigma點通過非線性轉換，將轉換后的統(tǒng)計值作為估計值。

Sigma點計算方法為

其中i=1,…,n,x0為中心Sigma點，xi是以x0為中心對稱分布的Sigma點，為Sigma點均值，px為協(xié)方差，n為狀態(tài)變量維數，wm為Sigma點權重，κ為縮放參數。UT變換共生成2n+1個Sigma點，權重和為1。將Sigma點通過非線性函數yi=h(xi)轉換，計算轉換后的統(tǒng)計特征。

3 縮放參數選擇方法分析

UT變換過程中Sigma點采樣策略非常重要，決定了非線性函數近似的效果。在對稱采樣式(3)-式(5)中，縮放參數κ決定了Sigma點的個數、大小與權重，調節(jié)Sigma點與均值點的距離，下面討論幾種κ取值方法。

3.1 常規(guī)的縮放參數選擇方法

文獻[4]就κ值的選擇進行了分析，κ變化僅影響二階之后高階矩帶來的偏差，對于高斯分布，κ取值滿足n+κ=3 時可使近似誤差控制在四階矩；當系統(tǒng)維數大于 3時，κ為負值可能導致協(xié)方差失去正定性，式(4)，式(5)無法求取平方根導致濾波發(fā)散[10]。由此給出了一種κ值選擇框架。

當系統(tǒng)維數小于3時，Sigma點分布范圍與權重方式固定。當系統(tǒng)維數大于3時，κ只有0一種取值方法，Sigma點分布范圍隨系統(tǒng)維數增加而擴大相應權重減小。這種取值方法簡單被廣泛應用，κ為整數由系統(tǒng)維數決定。常規(guī)方法實際效果如何，κ取值對濾波精度有怎樣的影響，下面通過實驗來說明。以Bearings-Only Tracking(BOT)[12]模型為例，用不同κ值的 UKF對其進行濾波處理對比誤差。BOT模型定義為

表 1列出了κ取 13個參數進行 100次試驗后MSE計算結果。從表1結果看，常規(guī)取值方法κ=1時濾波精度并不理想，κ＞1時濾波精度提高，在本次試驗中κ=3.5時濾波精度最高。另隨機抽取 10組單次試驗數據分析發(fā)現(xiàn)，13個參數都有可能取得較高的濾波精度MSE小于2，也有可能使濾波發(fā)散MSE大于20，并且κ變化會引起濾波MSE很大的波動，說明κ對濾波精度有較大影響，濾波精度對κ選擇非常敏感。將上述BOT模型擴展到4維，進行同樣的實驗也得到了類似的結果。表2列出了在4維系統(tǒng)中不同κ取值的濾波MSE。實驗結果顯示在4維系統(tǒng)中UKF精度要明顯低于2維系統(tǒng)，由常規(guī)方法κ=0得到的濾波誤差較大，當κ大于2后濾波精度提高。由此可見按照常規(guī)方法選擇的κ效果并不理想，κ設置更大值時可能提高濾波精度。由于UT變換過程中引進了額外的高階項， 3n+κ=的條件只是在保證四階矩近似誤差最小情況下獲得，并不能保證UT變換對高于四階矩的近似誤差最小[10]。這種取值方法限制了Sigma點的分布與權重可能降低非線性近似效果，實驗也證明當κ增大時，擴大Sigma點分布范圍有利于提高非線性函數概率密度分布的近似度。

通過上述2維及4維BOT系統(tǒng)應用不同κ進行UKF的實驗，可以得出結論：κ設置對UKF精度有較大影響，κ=3-n的固定取值方法并不合適。在κ≥0保證協(xié)方差正定性前提下，κ應根據當前時刻估計均值與協(xié)方差適時調整才能有效提高濾波精度。另外，κ變化幅度對濾波精度也有較大影響，很小的變化可能導致濾波誤差增大甚至發(fā)散，濾波精度對κ設置非常敏感。因此需要研究一種新的參數取值方法動態(tài)調節(jié)κ，降低濾波誤差并避免發(fā)散。

3.2 其他的縮放參數取值方法

為了提高κ的自適應調整能力，文獻[13]通過實驗表明κ取值變化比率與UKF精度有較大聯(lián)系，提出了一種判別式學習方法。通過一組先驗實驗數據用判別學習方法訓練κ，判別方法是以濾波精度是否提高對κ進行定量增減處理。這種學習判別方法原理簡單便于實現(xiàn)，但缺點也很明顯。首先必須準備大量與模型對應的準確的先驗數據作為判別標準，κ優(yōu)化效果取決于訓練數據規(guī)模。當模型參數變化后又需要新的訓練數據，應用時很不方便。此外濾波精度對κ變化十分敏感，κ變化幅度難以控制。學習判別過程需要花費大量時間，算法效率不高不便廣泛應用。

表1 2維系統(tǒng)κ不同取值UKF MSE計算結果

表2 4維系統(tǒng)κ不同取值UKF MSE計算結果

文獻[1]通過對 UKF誤差分析得出結論，κ=3-n是用縮放參數消除四階項和最直接的方式，但實際上UT過程中引入的高階項可能產生更大的誤差，這僅是一種先驗參考方法[1]。然后提出了一種自適應取值方法，定義以κ為參數的每時刻狀態(tài)預測估計的近似似然函數為

由觀測值zk計算最合適的κ值：

似然函數由高斯概率密度函數近似獲得。應用網格方法或隨機搜索的方法對κ進行選擇，指定范圍κ∈[0,9n]。κ最大值為9n是為了使非中心的Sigma點權重和最小為0.1，避免這些Sigma點因權重太小被忽略[1]。

這種方法要優(yōu)于文獻[13]提出的判別式學習方法。使用釋然函數作為κ選擇標準無需先驗數據具有較強實用性。但應用網格搜索方法并未解決κ難以調節(jié)的問題，且效率不高。網格法與文獻[13]的定量變化方法類似，κ取值范圍與網格密度相關，在有限個數的候選解中擇優(yōu)選擇。濾波精度提升只是當前網格密度下最優(yōu)。網格稀疏時κ候選解較少，濾波精度提升有限；網格密集時κ候選解過多，則計算耗時更長。如何平衡網格密度與濾波精度又成為新的問題。此外這種方法只能對κ一個參數進行優(yōu)化，僅適用于常規(guī)的UKF，無法處理需要3個參數的Scaled UKF。

4 基于差分演化算法的自適應UKF

4.1 差分演化算法

上述介紹的兩種優(yōu)化方法中κ變化幅度人為指定，這限制了κ取值精度，而且κ的選擇方法效率不高。觀察整個UKF過程，可以將κ選擇看作一個參數優(yōu)化問題，優(yōu)化評價標準為濾波精度。這樣便可以使用啟發(fā)式優(yōu)化方法對κ優(yōu)化選擇達到自適應的效果。差分演化算法(Differential Evolution,DE)[14]正是這樣一種基于種群中樣本差異的全局優(yōu)化算法，具有算法簡單、收斂速度快、魯棒性高、參數易設置等特點，在約束優(yōu)化計算、聚類計算、非線性優(yōu)化控制、神經網絡優(yōu)化、濾波器設計等其它方面得到廣泛應用[14]。

DE采用實數編碼，其原理與遺傳算法相似，在給定值域內生成NP個隨機樣本，對種群內各個樣本進行變異、交叉、選擇操作。變異操作通過隨機選取種群兩個不同個體，利用個體間差分向量對個體進行擾動，實現(xiàn)個體變異[15]。DE利用群體分布特性使其具有優(yōu)秀的搜索能力，迅速確定目標優(yōu)化值域；交叉操作使個體基因延續(xù)至下一代，保持種群多樣性；選擇操作采用貪婪算法選擇更優(yōu)秀的個體進入下一代種群，使優(yōu)化對象不斷改善[16]。用 DE對κ進行優(yōu)化，相當于在給定范圍內κ有無限個候選解。而 DE優(yōu)秀的搜索能力使κ調節(jié)更自由，能夠解決濾波精度對κ選擇敏感的問題。

4.2 基于差分演化的自適應無跡卡爾曼濾波

本文將DE與UKF結合，提出一種基于差分演化的UKF縮放參數自適應策略，并應用到濾波計算中。用DE優(yōu)化UKF的縮放參數κ，利用DE高效的勘探與開采能力，在給定κ值范圍內進行尋優(yōu)處理，以濾波MSE作為DE評價函數，選擇使濾波誤差最小的κ。在每次濾波計算中根據當前時刻Sigma點均值與協(xié)方差對κ進行獨立的 DE操作得到經優(yōu)化選擇的κ，其濾波值作為當前時刻濾波結果。將每次濾波計算視為單獨的優(yōu)化問題，貫穿整個濾波過程?；诓罘盅莼淖赃m應縮放參數UKF的計算步驟為：

步驟 2 由DE對k時刻的UKF的Sigma點縮放參數進行差分演化計算，在給定縮放參數范圍內進行種群初始化、變異、交叉、選擇操作，完成G代演化過程或到達到中止條件后中止演化。將演化得到最優(yōu)κk的濾波計算結果作為當前時刻濾波結果。

步驟 3k=k+1，重復步驟2，直到濾波過程結束。

本文提出的自適應策略與文獻[1]提出的方法相比，前者用每時刻最小濾波誤差作為κ的評價標準比后者用每時刻測量值的近似似然函數為評價標準對濾波精度提升更直接。DE全局隨機搜索能力比網格法更強，κ選擇更自由有助于提升濾波精度。此外提出新策略不受參數個數的限制，能處理縮放UKF算法。

4.3 仿真實驗

表3給出了兩種方法在2維，4維系統(tǒng)中濾波MSE與Vc結果，基于DE的自適應UKF精度比使用固定縮放參數的UKF有大幅提升，在4維系統(tǒng)中更為明顯。圖 1為κ取定值與自適應時濾波誤差對比，用 DE選擇κ后每時刻濾波誤差均不同程度降低，表明這種策略是有效的。在使用固定κ時，Sigma點分布范圍與權重固定，可能在某時刻因為誤差引起濾波發(fā)散降低濾波精度。圖2為在2維系統(tǒng)單次試驗中的X1模擬效果，固定參數UKF出現(xiàn)了濾波發(fā)散的現(xiàn)象。而基于DE的自適應UKF由于κ實時調整，濾波值能始終貼近真實值濾波沒有發(fā)散。

圖 3為這種自適應策略優(yōu)化后縮放參數κ隨時間變化的分布圖。κ在整個值域內都有分布，在極值兩端區(qū)域分布較密集。圖3結果表明在非線性濾波狀態(tài)估計這樣的動態(tài)系統(tǒng)中，使用固定的參數并不合適，需要實時調節(jié)才能提高濾波精度并避免發(fā)散，但κ整體分布隨意且毫無規(guī)律，難以用數學公式進行描述。將κ取值范圍擴大設κ∈[0,30]進行實驗，優(yōu)化后κ分布也是同樣的現(xiàn)象，值域內分布隨意兩端密集。但濾波MSE略微增大，因為更大的值域使κ有更多的選擇，但增加了 DE的負荷，可能在設定的最大演化代數結束時還未收斂而影響濾波精度。

縮放UKF應用SUT，應用比例修正的方法需要3個參數，文獻[5]介紹了一種SUT伸縮參數取值方法：α∈[0,1],β=2,κ=3-n或0。用DE分別對3個參數進行組合優(yōu)化，并與固定縮放參數縮放UKF進行對比。在2維BOT系統(tǒng)中進行100次獨立試驗結果如表4。

表4說明在縮放UKF自適應策略同樣有效，濾波精度提升明顯，并且優(yōu)化后縮放UKF精度略高于單參數的UKF。觀察對3個參數組合優(yōu)化后的結果，當β=2時對α,κ優(yōu)化后濾波誤差最小，濾波精度高于其它單個或多個參數組合優(yōu)化的結果。說明在等比例采樣方式中β=2是合適的設定，驗證了文獻[11]提出的高斯分布時β=2是 SUT最佳設定的結論。單獨對另兩個參數優(yōu)化結果顯示對α優(yōu)化后MSE低于對κ優(yōu)化后的MSE，優(yōu)先對α優(yōu)化對濾波提升更明顯。因此設β=2，對α和κ優(yōu)化或只對α優(yōu)化是最佳組合且能提高效率。在上述實驗中固定參數的縮放UKF也出現(xiàn)了隨機發(fā)散現(xiàn)象，而自適應縮放UKF則未發(fā)散。

5 結束語

本文介紹并討論了無跡變換Sigma點縮放參數的取值問題，結合差分演化思想提出了一種基于差分演化算法的自適應縮放參數取值策略：利用 DE調整無跡變換縮放參數，優(yōu)化Sigma點分布以提高非線性近似效果，并應用到UKF計算中。通過實驗表明新策略使用后，不僅有效提高了UKF精度，而且能避免UKF隨機波動。但這種后驗優(yōu)化方式無法解釋縮放參數選擇的依據，優(yōu)化后的縮放參數分布具有很強隨機性難以總結規(guī)律。對UKF縮放參數取值方法還需進行深入的研究，下一步考慮引入支持向量回歸技術，將濾波估計均值、協(xié)方差，新息等內容作為變量因素，用DE優(yōu)化后的縮放參數作為訓練數據，用支持向量回歸技術指導UKF縮放參數取值。

表3 固定參數UKF與本文提出的自適應UKF的MSE與Vc對比

圖1 固定參數與自適應參數MSE對比

圖2 X1模擬圖

圖3 基于DE的自適應縮放參數分布

表4 縮放UKF自適應參數與固定參數MSE與Vc對比

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