☉江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué) 章建民

數(shù)列不等式在高等數(shù)學(xué)尤其是在分析數(shù)學(xué)的極限、級(jí)數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，因而這類問題在近幾年的高考、自主招生考試、數(shù)學(xué)競(jìng)賽中屢見不鮮，成為考試的熱點(diǎn)；但是數(shù)列不等式的證明經(jīng)常要用到放縮法，而放縮法需要學(xué)生有敏捷的數(shù)學(xué)觀察力和熟練的代數(shù)變形能力，同時(shí)還要注意恰當(dāng)?shù)姆趴s度，技巧性強(qiáng)且難以操控，因而成為學(xué)生學(xué)習(xí)和考試的難點(diǎn).但數(shù)列不等式是與正整數(shù)有關(guān)的命題，故很自然地可考慮用學(xué)生容易掌握的數(shù)學(xué)歸納法來加以處理，本文采用數(shù)學(xué)歸納法這一利器來證明數(shù)列不等式，供參考.

一、直接應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明

例1（2012年高考全國(guó)大綱卷理科22題）已知函數(shù)f（x）=x2-2x-3，定義數(shù)列{xn}：x1=2，xn+1是過兩點(diǎn)P（4，5），Qn（xn，f（xn））的直線PQn與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（1）證明：2≤xn＜xn+1＜3；

（2）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.

證明：（1）過P（4，5），Qn（xn，-2xn-3）兩點(diǎn)的直線方程是y-5=（xn+2）（x-4），它與x軸的交點(diǎn)是，所以

假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，

即2≤xk＜xk+1＜3；

所以2＜xk+1＜xk+2＜3，

即n=k+1時(shí)也成立.

綜上由數(shù)學(xué)歸納法可知命題對(duì)任意n∈N*都成立

（2）略.

下面可用數(shù)學(xué)歸納法來證明an＜1.

當(dāng)n=1時(shí)，a1＜1，結(jié)論成立；

假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，ak＜1.

（2）略.

二、利用加強(qiáng)命題法證明原數(shù)列不等式

分析：（1）首先假設(shè)命題可以強(qiáng)化為：

接著思考的問題自然是：要使加強(qiáng)命題成立，g（n）應(yīng)滿足什么條件呢？

（2）既然加強(qiáng)命題①成立，則可以利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：

則可以由不等式的傳遞性知道③式成立，從而由歸納法原理證明了加強(qiáng)命題①.從上述分析可知，g（n）必須同時(shí)滿足②④兩式.

證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明原不等式的一個(gè)加強(qiáng)不等式：

假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)不等式成立，

當(dāng)n=k+1時(shí)，

加強(qiáng)不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，所以加強(qiáng)不等式恒成立.

構(gòu)建加強(qiáng)不等式是證明數(shù)列不等式問題的一種有效方法.從不等式的結(jié)構(gòu)形式可分為三類：同側(cè)加強(qiáng)、異側(cè)加強(qiáng)和雙向加強(qiáng)，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證題的精髓所在.

1.同側(cè)加強(qiáng)

分析：若設(shè)n=k時(shí)不等式成立，

由此在常數(shù)的同一側(cè)采用上述加強(qiáng)命題法得出一個(gè)加強(qiáng)不等式：

當(dāng)n=k+1時(shí)，

2.異側(cè)加強(qiáng)

分析：本題直接用數(shù)學(xué)歸納法無法證得an＞1，對(duì)它的另外一側(cè)實(shí)施加強(qiáng)得加強(qiáng)不等式：

當(dāng)n=k+1時(shí)，一方面，有

評(píng)注：從表面上看，加強(qiáng)命題使原問題變復(fù)雜了，而實(shí)際上，通過加強(qiáng)命題可以得到一個(gè)較強(qiáng)的歸納假設(shè)，從而為歸納過渡的順利完成奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，反而有利于原問題的解決.另外，這種異側(cè)加強(qiáng)有廣泛的適用性.

3.雙向加強(qiáng)

證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切正整數(shù)，有

當(dāng)n=k+1時(shí)，一方面，由均值不等式有

故不等式（＊）成立.

由上可知數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式可規(guī)避傳統(tǒng)的不等式放縮來證明數(shù)列不等式中靈活多變的方法和高難技巧，解題有明確的指向和固有的定式，思維流暢自然，使很多復(fù)雜的數(shù)列不等式的證明題迎刃而解，具有較廣泛的適用性.這樣處理不等式問題既適應(yīng)新課改的需求（新課程標(biāo)準(zhǔn)已將不等式證明內(nèi)容納為理科選修內(nèi)容），又符合“淡化特殊技巧，注重通性通法”的新高考理念，且能有效提高學(xué)生的思維能力和解題能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)的高效學(xué)習(xí)，值得在教學(xué)和解題訓(xùn)練中加以推廣使用.