☉廣東省清遠(yuǎn)市第一中學(xué) 郭智君

解題能力是指能閱讀、理解題目所陳述的材料，并對(duì)材料所提供的信息進(jìn)行分析、加工、篩選和處理，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問題的能力.它是邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力等基本數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)，提升學(xué)生的解題能力是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的任務(wù).高考考查的首要任務(wù)即是對(duì)學(xué)生解題能力的考查，下面以2013年高考導(dǎo)數(shù)試題為例說明.

一、考查對(duì)問題信息收集整理的準(zhǔn)確性

一個(gè)數(shù)學(xué)問題，必然會(huì)向考生提供該題目的有關(guān)信息，包括條件是什么，解題的設(shè)問方向是什么等.解答題給予我們的信息量大，如何通過審題抓住有效信息，排除干擾信息，去除無(wú)效信息，獲得解題的第一感受資料十分重要.

例1 （2013年全國(guó)新課標(biāo)I卷）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.

（Ⅰ）求a、b、c、d的值；

（Ⅱ）若x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍.

信息收集：（1）兩曲線同時(shí)過點(diǎn)P（0，2），即兩函數(shù)在x=0時(shí)，函數(shù)值相等；題目中涉及曲線在點(diǎn)P（0，2）處的切線相同，即意味著在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值相等.

信息整理：（2）當(dāng)x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x）恒成立，

即［kg（x）-f（x）］min≥0.

解析：（Ⅰ）由已知得f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4.

而f′（x）=2x+a，g′（x）=ex（cx+d+c），所以a=4，b=2，c=2，d=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1），設(shè)函數(shù)F（x）=kg（x）-f（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2（x≥-2），F(xiàn)′（x）=2kex（x+2）-2x-4=2（x+2）（kex-1），由題設(shè)可得F（0）≥0，即k≥1.

令F′（x）=0，得x1=-lnk，x2=-2.

若1≤k＜e2，則-2＜x1≤0，所以當(dāng)x∈（-2，x1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0；當(dāng)x∈（x1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0.即F（x）在（-2，x1）上單調(diào)遞減，在（x1，+∞）上單調(diào)遞增，故F（x）在x=x1時(shí)取最小值F（x1），而F（x1）=2x1+2-x12-4x1-2=-x1（x1+2）≥0，所以當(dāng)x≥-2時(shí)，F(xiàn)（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

若k=e2，則F′（x）=2e2（x+2）（ex-e-2），所以當(dāng)x＞-2時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，所以F（x）在（-2，+∞）上單調(diào)遞增，而F（-2）=0，所以當(dāng)x≥-2時(shí)，F(xiàn)（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

若k＞e2，則F（-2）=-2ke-2（k-e2）＜0，所以當(dāng)x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x）不可能恒成立.

綜上所述，k的取值范圍為［1，e2］.

點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)應(yīng)細(xì)心閱讀問題，全面收集信息，正確地掌握設(shè)問的要求.為此考生應(yīng)始終保持清醒的頭腦，注意克服由于思想緊張或思維的片面性而導(dǎo)致收集信息不全、收集信息失真的缺點(diǎn).

二、考查解決新問題的能力

“新問題”即情景新、題型新、設(shè)問新、方法新，教學(xué)中一定要認(rèn)真培養(yǎng)學(xué)生解決新問題的能力.解決新問題的能力就是“從無(wú)到有”的探索能力和創(chuàng)造意識(shí).要培養(yǎng)學(xué)生在陌生的情境下，從題意的挖掘開始，一步一步找到解決問題的途徑，學(xué)會(huì)從不知到知、從不懂到懂、從不會(huì)到會(huì)、從不明白到明白的“從無(wú)到有”的探索方法.

例2（2013年北京卷文）已知f（x）=x2+xsinx+cosx.

（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值.

（Ⅱ）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求b的取值范圍.

解析：（Ⅰ）f′（x）=2x+sinx+xcosx-sinx=x（2+cosx）.

f′（a）=a（2+cosa）=0，所以a=0，b=f（a）=f（0）=1.

（Ⅱ）由f′（x）=x（2+cosx），可知f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增.fmin（x）=f（0）=1.

若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則b≤1不符合題意.

當(dāng)b＞1時(shí)，f（-2b）=f（2b）≥4b2-2b-1>4b-2b-1＞b，所以?x1∈（-2b，0），x2∈（0，2b），使f（x1）=f（x2）=b，所以b＞1時(shí)，曲線y=f（x）與直線y=b有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以b∈（1，+∞）.

點(diǎn)評(píng)：本題對(duì)于實(shí)行新課標(biāo)以來(lái)的北京市試題可謂最大創(chuàng)新，一改以往的命題形式，對(duì)于解題能力稍差一些的考生來(lái)說，便不知從何下手.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的高考數(shù)學(xué)試題，導(dǎo)數(shù)只不過是創(chuàng)設(shè)這類試題情境的一種取向，求導(dǎo)的過程并不難，它的最終落腳點(diǎn)是考查函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想、分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等數(shù)學(xué)思想方法，特別是體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，這是需要在復(fù)習(xí)中強(qiáng)化的關(guān)鍵問題.

三、考查運(yùn)算的條理性

在數(shù)學(xué)解題中，有許多問題的運(yùn)算量比較大，有時(shí)也比較繁，但又是不可避免的.在導(dǎo)數(shù)問題的處理中，有些問題雖然有好的方法，但在探究中也不容易一下子發(fā)現(xiàn)，因此在解題中要提高運(yùn)算的條理性，如打草稿要一行一行的寫，一題一個(gè)位置，復(fù)查也方便；式子的變化不要跳步，這些都有助于提高我們的運(yùn)算準(zhǔn)確性.

例3（2013年廣東理）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）ex-kx2（其中k∈R）.

（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

解析：（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，

令f′（x）=0，得x1=0，x2=ln 2.

當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化如下表：

x （-∞，0） 0 （0，ln2） ln2 （ln2，+∞）f′（x）+0-0+f（x）↗極大值↘極小值↗

由表可知，函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為（0，ln 2），遞增區(qū)間為（-∞，0）和（ln 2，+∞）.

令f′（x）=0，得x1=0，x2=ln（2k）.

所以g（k）≤ln 2-1=ln 2-ln e＜0，從而ln（2k）＜k，所以ln（2k）∈［0，k］.

所以當(dāng)x∈（0，ln（2k））時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（ln（2k），+∞）時(shí)，f′（x）＞0.

所以M=max｛f（0），f（k）｝=max｛-1，（k-1）ek-k3｝.

令h（k）=（k-1）ek-k3+1，則h′（k）=k（ek-3k）.

令φ（k）=ek-3k，則φ′（k）=ek-3≤e-3＜0.

綜上，函數(shù)f（x）在［0，k］上的最大值M=（k-1）ek-k3.

點(diǎn)評(píng)：含參函數(shù)單調(diào)性的判斷問題是高考對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用考查的重點(diǎn)內(nèi)容，解題時(shí)注意定義域優(yōu)先原則，求導(dǎo)后即轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題.分類討論思想伴隨著導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的始終，如根的個(gè)數(shù)、根的大小等進(jìn)行分類討論，另外備考中還需要加強(qiáng)極值、最值問題求解的訓(xùn)練，以及與不等式恒成立問題相結(jié)合考查.

四、考查對(duì)問題轉(zhuǎn)化的能力

函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即是圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，而有些函數(shù)非常復(fù)雜，要快速畫出函數(shù)的圖像相對(duì)來(lái)說比較困難，這時(shí)，我們可以借助導(dǎo)數(shù)，探究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而畫出函數(shù)的大致走勢(shì)，確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間、最大值；

點(diǎn)評(píng)：同一個(gè)數(shù)學(xué)問題，由于觀察的角度不同，對(duì)問題的分析、理解的層次不同，可以導(dǎo)致轉(zhuǎn)化目標(biāo)的不同與方法的不同.借助于這一特點(diǎn)，可以從盡量簡(jiǎn)單、顯性、容易、明了、一般、具體著手，以更好地解決問題，培養(yǎng)解決問題的能力，優(yōu)化思維品質(zhì).

五、考查求解交匯問題的能力

導(dǎo)數(shù)作為新增加的知識(shí)，其作用日趨明顯，已成為解決許多具體問題必不可少的工具.近幾年高考對(duì)導(dǎo)數(shù)與不等式的整合應(yīng)用，有加大的趨勢(shì).

例5（2013年高考天津理）已知函數(shù)f（x）=x2lnx.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）證明：對(duì)任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）；

x 0， 1（）1 1■e ，+∞■e （ ）■e f′（x）-0+f（x）↘極小值↗

（Ⅱ）證明：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）≤0.設(shè)t＞0，令h（x）=f（x）-t，x∈［1，+∞）.由（Ⅰ）知，h（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，h（1）=-t＜0，h（et）=e2tln et-t=t（e2t-1）＞0，故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立.

當(dāng)t＞e2時(shí)，若s=g（t）≤e，則由f（s）的單調(diào)性，有t=f（s）≤f（e）=e2，矛盾，所以s＞e，即u＞1，從而lnu＞0成立.

點(diǎn)評(píng)：將所要證的不等式通過構(gòu)造函數(shù)的方法，利用求導(dǎo)的思路使問題得到證明，導(dǎo)數(shù)為證明不等式問題開辟了新方法，使過去不等式的證明方法從特殊技巧變?yōu)橥ń馔ǚǎ细呖济}的指導(dǎo)思想.