☉江蘇省南通市小海中學

江蘇省南通市曾榮名師工作室 曾 榮（特級教師）

荷蘭著名數(shù)學家弗蘭登塔爾曾說過：“沒有一種數(shù)學思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子發(fā)表出來.一個問題被解決以后，相應地發(fā)展成一種形式化的技巧，結(jié)果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗.”數(shù)學教師的責任在于把數(shù)學的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，使學生既能高效率地進行火熱的思考，又能比較容易接受，理解隱藏在“冰冷的美麗”背后的數(shù)學本質(zhì)［1］.筆者在長期的課堂教學實踐中，嘗試以閱讀、探究等方式激發(fā)學生進行積極主動的思考，提升學生的學習能力，初步形成了“閱讀·引導·提煉·探究”的教學模式.本文結(jié)合課堂教學實踐闡述對該教學模式的認識.

一、“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式的實踐

（一）“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式的教學案例

為了能讓讀者對“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式有整體認識，我們先來看一個具體的教學案例.

【案例】《數(shù)系的擴充》的教學過程設(shè)計［2］

1.自主閱讀，提出問題

【閱讀材料1】我們把一個數(shù)集連同相應的運算及結(jié)構(gòu)叫做一個數(shù)系.在人類數(shù)的發(fā)展過程中，數(shù)集從自然數(shù)集擴充到實數(shù)集大致經(jīng)歷了以下過程，如圖1所示：

圖1

問題1：閱讀以上材料，結(jié)合社會生活發(fā)展的需要思考數(shù)系的擴充過程，并在空格內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)集.

問題2：卡爾丹的解釋在實數(shù)集范圍內(nèi)能成立嗎？為什么？

2.引導交流，數(shù)學活動

活動1：從數(shù)學內(nèi)部發(fā)展的需要來看，每一次認知沖突的出現(xiàn)就帶來了一次新的數(shù)系擴充.你能結(jié)合數(shù)系的擴充過程總結(jié)數(shù)系的擴充需要遵循哪些原則嗎？

活動2：在我們的數(shù)學學習中，是否還存在與閱讀材料1相類似的認知沖突呢？

活動3：為了使數(shù)學家卡爾丹的解釋變得合理，你認為需要引入具有怎樣特征的數(shù)？

3.自主提煉，數(shù)學建構(gòu)

（1）數(shù)系的擴充過程（如圖2）.

圖2

（2）復數(shù)的有關(guān)概念.

①虛數(shù)單位的引入：規(guī)定：（1）i2=-1；（2）實數(shù)可以與i進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法、乘法運算律仍然成立.

②復數(shù)的定義：

形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)稱為復數(shù)，通常用字母z表示，其中a叫做復數(shù)的實部，b叫做復數(shù)的虛部.

全體復數(shù)組成的集合叫復數(shù)集，通常用C表示，即C={a+bi|a，b∈R}.

③復數(shù)的分類：

復數(shù)z=a+bi（a，b∈R），當b=0時，z為實數(shù)；當b≠0時，z為虛數(shù)（特別地，當a=0時，z為純虛數(shù)）.

（3）復數(shù)相等的充要條件.

如果兩個復數(shù)的實部與虛部分別相等，則稱兩個復數(shù)相等.

即：a+bi=c+di?a=c且b=d.（a，b，c，d∈R）.

4.實踐探究，數(shù)學運用

（1）初步運用.

例1 指出下列復數(shù)的實部與虛部：

例2 實數(shù)m分別取什么值時，復數(shù)z=m（m-1）+（m-1）i是：

①實數(shù)？②虛數(shù)？③純虛數(shù)？④6+2i？

例3 已知復數(shù)z1=（x+y）+（x-2y）i，復數(shù)z2=（2x-5）+（3x+y）i，若z1=z2，求實數(shù)x，y的值.

（2）變式演練.

練習：設(shè)z1=（m2-2m-3）+（m2-4m+3）i，z2=5+3i，當m取何實數(shù)時，

①z1=0？②z1≠z2？

（3）深入探究.

下列結(jié)論從實數(shù)集擴充到復數(shù)集是否仍然成立？

①若a∈R，則a2≥0；若z∈C，則z2≥0.

②若a，b∈R，a2+b2=0，則a=b=0；若z1，z2∈C，z12+z22=0，則z1=z2=0.

③實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示；復數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示.

5.回顧反思總結(jié)提升

（1）知識結(jié)構(gòu)（如圖3）：

圖3

（2）探究途徑：閱讀、類比、猜想、化歸.

（3）探究拓展：

你能在今天所學知識基礎(chǔ)上進一步研究復數(shù)的運算及復數(shù)的幾何意義嗎？

6.課后作業(yè)（略）

（二）“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式的操作流程

從上述案例可看出“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式的基本流程如圖4［3］所示：

圖4

二、“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式的理性認識

（一）自主閱讀，在閱讀中感悟

數(shù)學是一門科學，也是一種文化，更是一種語言，是描述科學的語言.前蘇聯(lián)數(shù)學教育學家斯托利亞爾認為“數(shù)學教學也是數(shù)學語言的教學”.從語言學習的角度講，數(shù)學學習離不開數(shù)學閱讀［4］.新課程教材編寫者為了培養(yǎng)學生的閱讀能力，在教科書許多章節(jié)后都安排了集知識性、科學性、趣味性、教育性于一體的“閱讀材料”.數(shù)學教師應充分利用好教材資源，或是根據(jù)需要編寫一些與所授內(nèi)容相匹配的閱讀材料，讓學生進行閱讀.通過閱讀思考，感悟數(shù)學的發(fā)現(xiàn)之美、和諧之美、本真之美.

1.在閱讀中思考，體驗數(shù)學的發(fā)現(xiàn)之美

數(shù)學成果通常具有三種不同的形態(tài).第一，數(shù)學家構(gòu)建數(shù)學思想、發(fā)現(xiàn)數(shù)學定理時的原始形態(tài).其次是公開發(fā)表，寫在論文里、教科書里的學術(shù)形態(tài).最后，則是數(shù)學教師在課堂上向?qū)W生講課的教育形態(tài).事實上，教科書里陳述的數(shù)學，往往是“冰冷的美麗”.在這“冰冷的美麗”背后隱藏的是發(fā)現(xiàn)數(shù)學定理時的原始形態(tài)，需要教師以合適的方法進行揭示.教師搜集整合有關(guān)背景材料，進一步加工成學生能讀、樂讀的閱讀材料，讓學生在閱讀中思考、在閱讀中發(fā)現(xiàn)，這無疑是一種有效的教學方式.

2.在閱讀中遷移，感悟數(shù)學的和諧之美

數(shù)學學習注重培養(yǎng)學生“舉一反三”的能力.這種能力很大程度上表現(xiàn)為一種類比遷移的能力.類比，是指由兩個對象具有某些相同的性質(zhì)，推出它們的其他性質(zhì)也可能相同的思考方法.類比既是一種思想方法，也是一種教學方法.著名教育家波利亞曾形象地說過“類比是一個偉大的領(lǐng)路人”.教師在課堂教學中合理運用閱讀材料，創(chuàng)設(shè)遷移類比情境，尋根溯源，引導學生去比較、去發(fā)現(xiàn)，將有利于學生實現(xiàn)學習方式的轉(zhuǎn)變，從而提高課堂學習效率.

3.在閱讀中回歸，感悟數(shù)學的本真之美

設(shè)置閱讀材料，不是為了替代教材，而是為了更好地詮釋教材，通過閱讀材料滲透與教材知識相關(guān)的思想、方法，通過數(shù)學思想方法引領(lǐng)學生的學習，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程.為此，教師在編寫、運用閱讀材料時，應重視回歸，回歸思想、回歸方法、回歸教材，讓學生體驗數(shù)學的本真之美.

（二）引導交流，在引導中生成

在學生自主閱讀的基礎(chǔ)上，教師可以組織學生進行交流活動，圍繞閱讀材料中提出的問題相互評價，相互補充，相互答疑，及時解決交流過程中出現(xiàn)或提出的問題.教師應根據(jù)學生交流活動的開展情況進行相機引導.

著名特級教師李庾南老師認為，相機引導即教師運用點撥、解惑、提示、釋疑等方法發(fā)揮教師的引導作用.如創(chuàng)設(shè)合適的情境，生成課題，激發(fā)研究興趣，明確研究內(nèi)容和研究方法；根據(jù)學生學習中出現(xiàn)的問題，或進行啟發(fā)性的描述，使學生得到仿效和借鑒，或?qū)τ嘘P(guān)問題的前景進行生動的描述，使學生打開眼界，拓寬思路，或列舉一些矛盾現(xiàn)象，選編一些容易發(fā)生錯誤的習題，讓學生深入思考，總結(jié)經(jīng)驗教訓等.通過教師引導，使學生學習有內(nèi)驅(qū)力、有內(nèi)容、有方法，使議論有序、有激情、有見地、有深度，最終使課堂學習達到預期目標.引導是教師在課堂教學中發(fā)揮主體作用的重要標志，正確地發(fā)揮教師對學生的引導是自主學習、合作學習取得預期效果的保證.常用的引導方法有示范性引導、例證性引導、展望性引導、邏輯性引導、反駁性引導、誘惑性引導、探究性引導等［5］.

（三）自主提煉，在提煉中建構(gòu)

通過學生的自主閱讀、獨立思考、合作交流以及教師的相機引導，學生對本節(jié)課所學知識產(chǎn)生的背景、發(fā)展的主線有了一定的了解，但理解還不夠深入，細節(jié)研究還不夠充分，表達也不夠規(guī)范.此時，教師應鼓勵學生自主提煉，進行數(shù)學建構(gòu)活動.對于概念教學，教師應讓學生嘗試自己給概念下定義，并不斷修正概念的表達方式.同時提煉概念的關(guān)鍵詞，圍繞關(guān)鍵詞將概念的研究進一步深入；對于習題教學，教師在與學生合作解答的基礎(chǔ)上讓學生自主提煉解題的流程、方法、思想，以達到舉一反三的目的；對于單元復習課，應通過回顧、梳理，讓學生自主提煉本單元的知識結(jié)構(gòu)，以達到整體建構(gòu)的目的.

（四）實踐探究，在探究中提升

歐洲教育界流行著我們的先哲——孔子的三句話：If you tell me and I shall forget（如果你講給我聽，我將會忘記）；If you show me and I shall remember（如果你做給我看，我將會記?。籌f you involve me and I shall understand（如果你帶我一起做，我將會理解），并將其演化為探究式教學的哲學指導和思想依據(jù)之一［6］.數(shù)學探究式教學是指教師在數(shù)學教學過程中，為學生提供充分的自由表達、質(zhì)疑、探究、討論問題的機會，引導學生自主地參與教學，促進學生加深對知識的體驗，幫助學生逐步形成研究數(shù)學的積極態(tài)度，掌握研究數(shù)學的基本方法，發(fā)展數(shù)學研究能力的一種教學方式［7］.

1.探究活動應貫穿數(shù)學教學的始終

很多人常將數(shù)學探究理解為新知的運用，是利用新知解難題，數(shù)學探究的過程就是難題解決的過程.實則不然，數(shù)學探究活動并不僅僅停留在數(shù)學運用層面，“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式的各個環(huán)節(jié)都可能伴隨探究活動的發(fā)生.例如，在閱讀過程中，學生采取主動式閱讀的方法去歸納、綜合、概括、發(fā)現(xiàn)、探索，實際上就是一次極具價值的探究活動.在提煉階段，數(shù)學概念本身也是在探究活動中逐漸生成、廓清和發(fā)展的，與科學探究有著“天生而必然”的聯(lián)系，探究過程就是實現(xiàn)概念意義建構(gòu)最適宜的學習情境.

2.探究活動應重視探究方法的養(yǎng)成

探究活動應重視以數(shù)學方法論為指導，教給學生掌握發(fā)現(xiàn)和探究問題的方法.數(shù)學常用的探究方法有歸納、演繹探究，比較、類比探究，觀察、實踐探究，假設(shè)、猜想探究，證明、反駁探究，直覺思維探究，逆向思維探究，弱抽象探究等.通過經(jīng)常性的探究活動，幫助學生形成科學的探究意識和探究方法［8］.

3.探究活動應重視意志品質(zhì)的培養(yǎng)

在重視學生學習結(jié)果的同時，更應注重學生的探究過程以及學生在探究過程中的感受和體驗.著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾指出：從教學認識過程的任務來看，其根本目的不在于僅僅獲得和驗證真知，更主要的是為了在一定知識經(jīng)驗之上構(gòu)建學生主體的新的認知活動結(jié)構(gòu)和實踐行為能力，學生主體在認知過程中的建構(gòu)活動本身即是一種創(chuàng)造的過程.教師要根據(jù)教學目標，按照學生的認知結(jié)構(gòu)，圍繞教學內(nèi)容設(shè)計出階梯式的問題系列，從而創(chuàng)設(shè)一定的思維環(huán)境，把學生的思維帶到最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，激發(fā)學生的內(nèi)驅(qū)力，使學生盡快進入學習狀態(tài).通過營造這一種氛圍，使學生積極主動地、自由地去思考、想象、探索，從而解決問題或發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并獲得一種積極的情感體驗.通過問題解決，對學生進行認知開發(fā)，促進學生能力的發(fā)展和素質(zhì)的提高，并促進智力結(jié)構(gòu)與非智力結(jié)構(gòu)（動機、興趣、信念、意志等）同步和諧發(fā)展.

“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式相對其他教學模式而言，更注重閱讀活動、探究活動的開展，有利于學生自主學習能力和探究能力的培養(yǎng).但作為一種固定的模式，卻也存在操作機械、融合度欠缺等問題.能否更好地將閱讀、引導、提煉、探究融合為一個整體，使其從一種教學模式發(fā)展成為一種教學范式，這將是一個值得長期研究的課題.

1.張奠宙.微積分教學：從冰冷的美麗到火熱的思考［J］.高等數(shù)學研究，2006（2）.

2.曾榮.基于數(shù)學史滲透的教學設(shè)計：數(shù)系的擴充［J］.高中數(shù)學教與學（人大復印資料），2012（7）.

3.曾榮.高中數(shù)學“閱讀·引導·提煉·探究”教學模式探析［J］.數(shù)學教學研究，2011（7）.

4.曾榮.例談課堂閱讀材料編寫的原則［J］.中國數(shù)學教育，2011（12）.

5.李庾南.數(shù)學自學·議論·引導教學法［M］.北京：人民教育出版社，2004.

6.陸真.新課程實施背景下對科學探究的再認識與思考［J］.課程·教材·教法，2005（9）.

7.曾榮.數(shù)學探究式教學：培養(yǎng)主動發(fā)展的人［J］.數(shù)學教學通訊，2010（7）.