☉江蘇省江浦高級(jí)中學(xué) 徐愛勇

一、問題的提出

根據(jù)布魯納的認(rèn)識(shí)發(fā)展理論，學(xué)習(xí)本身是一種認(rèn)知過程.在這個(gè)過程中，個(gè)體的學(xué)習(xí)總是要通過已知的內(nèi)部認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)輸入信息進(jìn)行整理加工，以一種易于掌握的形式加以存儲(chǔ).也就是說，學(xué)生能從原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中提取最有效的舊知識(shí)幫助吸納新知識(shí).這樣，新舊知識(shí)在學(xué)生的頭腦中發(fā)生積極的相互作用和聯(lián)系，導(dǎo)致原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的不斷分化和重新組合，使學(xué)生獲得新知識(shí).但是，這個(gè)過程并非總是一次性成功的，需要通過不斷的練習(xí)來完成.

數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)不是簡(jiǎn)單地吸收，而是通過思維活動(dòng)把前人的成果轉(zhuǎn)化為自己的思維結(jié)果.這個(gè)轉(zhuǎn)化稱為“建構(gòu)”.知識(shí)建構(gòu)，是靠不斷主動(dòng)修正錯(cuò)誤，并能在新環(huán)境中解決新問題.而學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，勢(shì)必要做一定量的習(xí)題.這是一項(xiàng)長(zhǎng)期的系統(tǒng)工程，在這個(gè)系統(tǒng)中一個(gè)重要的環(huán)節(jié)就是對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)解的開發(fā)和利用.一個(gè)顯然的事實(shí)，我們對(duì)待數(shù)學(xué)錯(cuò)解的態(tài)度直接決定著學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展的走向.

為此，本文力圖對(duì)“學(xué)生數(shù)學(xué)錯(cuò)解”的成因進(jìn)行一些會(huì)診，并給出相應(yīng)的一些對(duì)策.從而期望能夠達(dá)到改變我們的教學(xué)方法，提高課堂教學(xué)效率，啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，最終達(dá)到優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的目的.

二、成因及對(duì)策

癥狀1——不良學(xué)習(xí)習(xí)慣的影響

學(xué)生的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣是造成學(xué)生把題做錯(cuò)的一個(gè)重要原因.具體地說，主要有以下方面：不認(rèn)真審題；做完題后不檢查；解答表述不規(guī)范，只寫計(jì)算結(jié)果不寫計(jì)算過程；計(jì)算粗心大意等.而這些不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣就是“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的根源.在教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)常遇到這種情況：對(duì)一些習(xí)題或考試試題自己完全會(huì)解答，但做完或考試結(jié)束后總會(huì)丟失一些分，教師感到惋惜，自己也深感遺憾.教師在評(píng)講試題錯(cuò)誤時(shí)雖指出了錯(cuò)誤原因，但由于不良習(xí)慣的影響，下次遇到同類問題時(shí)學(xué)生仍然出現(xiàn)相同的錯(cuò)誤.

錯(cuò)解：很多學(xué)生在解答此題時(shí)，第一反應(yīng)便是設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），從而較快地求出方程為3x-4y-6=0.

成因：他們所犯的錯(cuò)誤是忽略了題目“直線l過點(diǎn)P（2，0）”這一條件，與所設(shè)直線l的方程為“y=k（x-2）”這一形式之間的相互推出關(guān)系，造成解答不完整的主要原因是未認(rèn)真審題.如果認(rèn)真審題就會(huì)發(fā)現(xiàn)所設(shè)直線方程的局限性，也就不會(huì)犯以上錯(cuò)誤.但由于沒有養(yǎng)成認(rèn)真審題的良好習(xí)慣，雖然教師評(píng)講后當(dāng)時(shí)也知道，但下次遇到同一問題仍然會(huì)看到題時(shí)馬上憑直觀感知就僅僅設(shè)直線方程的“點(diǎn)斜式”（若是在考場(chǎng)中為了抓緊時(shí)間更會(huì)是這樣），從而又重復(fù)地出現(xiàn)犯過的錯(cuò)誤.

對(duì)策：（1）“找對(duì)象”，我們可以把各個(gè)知識(shí)板塊中類似的問題進(jìn)行“合并同類項(xiàng)”，如：

①若關(guān)于x的方程kx2-（2k-1）x+k=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________.

②已知集合P={x|x2+x-6=0}，Q={x|mx-1=0}，若P∩Q=Q，則滿足條件的實(shí)數(shù)m所組成的集合為________.

③已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+n+2，則an=________.

④動(dòng)點(diǎn)P到A（1，1）和直線x+2y=3的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程為________.

從而，使學(xué)生對(duì)這類錯(cuò)誤能夠形成較系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，最終達(dá)到從“通過題目找問題”到“通過問題找題目”的跨越.

（2）“寫提醒”，如：貼標(biāo)簽，注意認(rèn)真審題！條件是否漏掉！計(jì)算仔細(xì)些！…把這些激勵(lì)和督促自己的口頭語言轉(zhuǎn)換成書面語言，貼在文具盒、書桌的右上角、床頭等，以便于在以后的考試中加強(qiáng)提醒.

（3）“做比賽”，如利用研究性學(xué)習(xí)課，把班級(jí)的同學(xué)分成幾個(gè)小組，輪流由學(xué)生自主對(duì)此類問題進(jìn)行考查，做到常抓不懈.

癥狀2——原有思維定勢(shì)的影響

思維定勢(shì)是指已有的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在反復(fù)使用中所形成的比較穩(wěn)定的、定型化了的思維路線、方式、程序和模式（在感性認(rèn)識(shí)階段也稱作“刻板印象”）.當(dāng)解決某一問題的思維定勢(shì)一旦形成，就會(huì)在見到類似情景時(shí)自覺地運(yùn)用原有思維方式進(jìn)行思考與解決問題.思維定勢(shì)有積極的和消極的.積極定勢(shì)可以促進(jìn)問題的快速解決，消極定勢(shì)則會(huì)阻礙人們對(duì)新問題的解決.在學(xué)生學(xué)習(xí)中消極的思維定勢(shì)則會(huì)對(duì)新的學(xué)習(xí)產(chǎn)生干擾.

成因：本題錯(cuò)解的原因是對(duì)三角函數(shù)“依圖識(shí)性”把握不夠到位.究其原因，是由于從y=sinx與y=cosx的圖像的對(duì)稱中心點(diǎn)的結(jié)論產(chǎn)生了負(fù)遷移，故而產(chǎn)生了錯(cuò)解.

（2）“進(jìn)一步”，再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一個(gè)具有對(duì)稱中心的函數(shù)，從代數(shù)的角度提煉其規(guī)律.（預(yù)設(shè)：學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)圖像的對(duì)稱中心未必在函數(shù)圖像上.）

（3）“回頭看”，最后還引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程中犯錯(cuò)的節(jié)點(diǎn)所在，力圖把消極的思維定勢(shì)轉(zhuǎn)化為積極的思維定勢(shì).從而，加深對(duì)概念的深層次的理解，最終達(dá)到準(zhǔn)確把握概念的實(shí)質(zhì)，做到真正地理解.

癥狀3——整體意識(shí)缺乏的影響

在解題過程中，要隨時(shí)注意整體與局部的關(guān)系，不能以局部的性質(zhì)代替整體，從而，避免錯(cuò)誤發(fā)生.

為了避免此類錯(cuò)誤的發(fā)生，我們應(yīng)該幫助學(xué)生樹立整體的思想，即在一次整體變換過程中，確保變換的各個(gè)部分應(yīng)該是和諧共存的.

對(duì)策：（1）“擺擂臺(tái)”，我們?cè)谥v評(píng)時(shí)可以把錯(cuò)誤的解法和正確的解法虛擬地轉(zhuǎn)化為同學(xué)甲和同學(xué)乙的解答過程，并用實(shí)物投影展示出來，從而引起學(xué)生思維上強(qiáng)烈的碰撞.

（2）“找代言”，我們引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論辨析，因勢(shì)利導(dǎo)地設(shè)置一些問題，使學(xué)生通過分析、診斷，盡可能地由學(xué)生自主提煉出代數(shù)變形過程中的一些注意點(diǎn).

（3）“尋變式”，解決完此題后，我們可以帶領(lǐng)學(xué)生做如下變式，以加深其體會(huì).

變式3：已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，則實(shí)數(shù)a，b的值分別為________.

癥狀4——符號(hào)理解不全的影響

數(shù)學(xué)問題的表達(dá)中往往充滿著許多數(shù)學(xué)符號(hào)，解決它需要學(xué)生具有較強(qiáng)的抽象思維能力.若對(duì)抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)所表示的意義理解不夠深刻，很容易導(dǎo)致錯(cuò)解的發(fā)生.

案例4：已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求函數(shù)y=［f（x）］2+f（x2）的值域.

又因?yàn)閤∈［1，9］，所以log3x∈［0，2］，

所以y=（log3x+3）2-3在log3x∈［0，2］上單調(diào)遞增，

所以6≤y≤22，即函數(shù)的值域?yàn)椋?，22］.

成因：對(duì)于上述解答，不少學(xué)生認(rèn)為是對(duì)的.但是，我們稍作分析，可以發(fā)現(xiàn)，雖然這里考慮到了函數(shù)的定義域，并由x∈［1，9］得到log3x∈［0，2］.但“x∈［1，9］”并不是函數(shù)y=［f（x）］2+f（x2），即y=（log3x+3）2-3的定義域，而是函數(shù)f（x）=2+log3x的定義域.因此，解答是錯(cuò)誤的.從而，我們不難求出函數(shù)y=［f（x）］2+f（x2）的定義域?yàn)椋?，3］，則值域?yàn)椋?，13］.

對(duì)策：（1）“查字典”，引導(dǎo)同學(xué)們翻閱課本，找到教材中對(duì)“定義域”最原始的描述，即“回到定義中去”.

（2）“做記錄”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤是難免的.但是，要提高學(xué)習(xí)效率，就必須減少重復(fù)錯(cuò)誤的次數(shù).做較為詳細(xì)的記錄，重復(fù)刺激的次數(shù)越多，痕跡越深，記憶效果就越好.

（3）“定期練”，根據(jù)心理學(xué)知識(shí)，在記憶的最初階段，遺忘速度很快，后來逐漸減慢，相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間之后，幾乎就不再遺忘.所以，定期的訓(xùn)練，就顯得十分有必要.

三、結(jié)束語

辨析問題錯(cuò)解的原因，是想從根本上尋找錯(cuò)解的原因，認(rèn)清什么是錯(cuò)誤的，錯(cuò)在何處，為何產(chǎn)生這種錯(cuò)誤，從而探索避免錯(cuò)誤發(fā)生的對(duì)策以及解決問題的正確思路，提高解答數(shù)學(xué)問題的準(zhǔn)確性；通過辨析，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、靈活性、批判性與獨(dú)創(chuàng)性，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到有效的提升.

1.王富英.“錯(cuò)誤重復(fù)現(xiàn)象”產(chǎn)生的原因及消除對(duì)策.數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（7）.

2.徐愛勇.數(shù)學(xué)錯(cuò)解中的定“性”分析.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（廣州），2012（5）.

3.王光明，楊蕊.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“懂而不會(huì)”現(xiàn)象.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（10）.

4.李曉峰.建立成長(zhǎng)題庫(kù)：一種提高數(shù)學(xué)成績(jī)的設(shè)想和方法.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（11）.