☉江蘇省常熟市中學(xué) 查正開

這是2011年西部奧林匹克數(shù)學(xué)競賽第1題，參加這次競賽的同學(xué)普遍感到此題較難上手.實(shí)際上，本題是一個(gè)貼近高考、背景公平、對稱優(yōu)美的競賽題，學(xué)生解題困難是沒有把握問題的本質(zhì)，事實(shí)上，這道賽題源自人教版選修4-5教材中的一道不等式題.

習(xí)題：已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1.

求證：（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc.

分析：這道題目的證明，是運(yùn)用二元均值不等式的一個(gè)典型范例.

證明：由a，b，c∈R+，a+b+c=1，結(jié)合均值不等式得：

以上三式相乘即得（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc.

在賽題中，令1-x-y=z，x+y=1-z，問題即為：

對這一賽題做進(jìn)一步類比加強(qiáng)，利用換元結(jié)合兩角和正切公式（高考重點(diǎn)內(nèi)容），筆者編擬了一個(gè)類似問題，供同學(xué)們探究.

上式取等號，

由此可知，競賽題和高考題均源自課本（或高于課本），我們只要透過表面現(xiàn)象，把握問題的本質(zhì)，分析題目的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和方法，可以使很多看似復(fù)雜的問題得以順利解決.