☉江蘇省宜興中學(xué) 張海強(qiáng) 吳華平

《2013年高考數(shù)學(xué)科考試大綱（新課標(biāo)）》在“個性品質(zhì)要求”中指出：個性品質(zhì)要求是指考生個體的情感、態(tài)度和價值觀.要求考生具有一定的數(shù)學(xué)視野，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，形成審慎的思維習(xí)慣，體會數(shù)學(xué)的美學(xué)價值.這一要求如何在兼具選拔與導(dǎo)向功能的高考中落到實(shí)處呢？回眸歷年高考試題，筆者發(fā)現(xiàn)多元的數(shù)學(xué)文化元素在高考試題中的滲透是實(shí)現(xiàn)這一考查要求的主要途徑.下面即跟隨筆者的腳步去追尋高考數(shù)學(xué)試題中的多元文化元素，領(lǐng)略數(shù)學(xué)文化在激烈的考試競爭中給我們帶來的力量、傳承、影響、情懷和溫暖.

一、數(shù)學(xué)史料中的文化元素

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對自然數(shù)可謂情有獨(dú)鐘，對其作了多方面、系統(tǒng)的和深入的考察.他們發(fā)現(xiàn)了親和數(shù)：如果每個數(shù)是另一個數(shù)的真因數(shù)之和，即兩個數(shù)是親和的，如284和220.

他們研究了“形數(shù)”，其中包括三角形數(shù)，正方形數(shù)，五邊形數(shù)等，這些數(shù)都被看成是某些幾何圖形中點(diǎn)的數(shù)目，許多關(guān)于形數(shù)的有趣定理能以純幾何的方法來證明.2012年湖北省高考文科第17題即是以此為背景編擬的.

試題引用：傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：

圖1

如圖1，將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}，可以推測：（Ⅰ）b2012是數(shù)列{an}中的第______項(xiàng)；（Ⅱ）b2k-1=______.（用k表示）

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還研究完全數(shù)——等于它的真因數(shù)之和的數(shù)，如6=1+2+3、28=1+2+4+7+14.而回文數(shù)的研究則可以看成畢達(dá)哥拉斯學(xué)派精神的延續(xù)，2012年湖北省理科第13題即考查了回文數(shù).

試題引用：回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22，121，3443，94249等.顯然2位回文數(shù)有9個：11，22，33，…，99；3位回文數(shù)有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.則（Ⅰ）4位回文數(shù)有______個；（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文數(shù)有______個.

二、數(shù)學(xué)題材中的文化元素

1.擺線

圖2

2.阿波羅尼斯圓

3.費(fèi)爾馬點(diǎn)

費(fèi)爾馬被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，他與笛卡爾分享創(chuàng)立解析幾何的榮譽(yù)，同時也是微積分的杰出先驅(qū)者；是現(xiàn)代數(shù)論的奠基者；與帕斯卡、惠更斯一起被稱為概率論的創(chuàng)始人.他提出的費(fèi)爾馬大定理被喻為“會下金蛋的鵝”.它的證明持續(xù)了300多年.

費(fèi)爾馬點(diǎn)問題最早是由費(fèi)爾馬在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家托里拆利（氣壓計的發(fā)明者）的信中提出的.托里拆利最早解決了這個問題，而19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家斯坦納重新發(fā)現(xiàn)了這個問題，并系統(tǒng)地進(jìn)行了推廣，因此這個點(diǎn)也稱為托里拆利點(diǎn)或斯坦納點(diǎn)，相關(guān)的問題也被稱作費(fèi)爾馬-托里拆利-斯坦納問題.

費(fèi)爾馬點(diǎn)：在一個三角形中，到3個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個三角形的費(fèi)馬點(diǎn).具體位置分兩種情況：

（1）若△ABC的3個內(nèi)角均小于120°，那么3條距離連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角.所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形的等角中心.

（2）若三角形有一內(nèi)角不小于120°，則此鈍角的頂點(diǎn)就是距離和最小的點(diǎn).

2008年江蘇高考第17題即為求△APB的費(fèi)爾馬點(diǎn).

圖3

試題引用：如圖3，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點(diǎn)A、B及CD的中點(diǎn)P處，已知AB=20km，CB=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且與A、B等距離的一點(diǎn)O處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，OP，設(shè)排污管道的總長為ykm.

（Ⅰ）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；

②設(shè)OP=x（km），將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式.

（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個函數(shù)關(guān)系，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短.

三、數(shù)學(xué)史籍中的文化元素

《九章算術(shù)》是中國在古代第一部數(shù)學(xué)專著，堪與西方的《幾何原本》相媲美，被尊稱為“算經(jīng)之首”.其內(nèi)容包括方田、粟米、衰分、少廣、商工、均輸、盈不足、方程、勾股等九章，故名《九章算術(shù)》.2012年湖北高考理科第10題即來源于《九章算術(shù)》的少廣章.

四、數(shù)學(xué)名題中的文化元素

斐波那契，意大利數(shù)學(xué)家，西方第一個研究斐波那契數(shù)列，并將現(xiàn)代書寫數(shù)和乘數(shù)的位值表示法系統(tǒng)引入歐洲，其代表作為《算盤書》、《幾何實(shí)踐》.

斐波納契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、…，斐波納契數(shù)列也可由如下被以遞歸的方法定義：F（0）=0，F(xiàn)（1）=1，F(xiàn)（n）=F（n-1）+F（n-2）（n≥2，n∈N*）.在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)、自然界等領(lǐng)域，斐波納契數(shù)列都有直接的應(yīng)用，為此，美國數(shù)學(xué)會從1960年起出版了《斐波納契數(shù)列》季刊，專門刊載這方面的研究成果.2012年上海高考文科14題和2012年江西高考理科第6題均以斐波那契數(shù)列為基礎(chǔ)加工設(shè)計而成.

試題引用2： 觀察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，則a10+b10=（ ）.

A.28 B.76 C.123 D.199

五、數(shù)學(xué)人物中的文化元素

1.狄利克萊

狄利克萊（Dirichlet，1805-1859），德國數(shù)學(xué)家.他是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，他在數(shù)論方面關(guān)于費(fèi)爾馬大定理，先后給出了n=5，n=14時無整數(shù)解的證明.他著有《數(shù)論講義》，對高斯的《算術(shù)研究》作出了清楚的解釋并有自己的獨(dú)創(chuàng)，提出了著名的狄利克萊定理.

A.D（x）的值域?yàn)閧0，1} B.D（x）是偶函數(shù)

C.D（x）不是周期函數(shù) D.D（x）不是單調(diào)函數(shù)

2.柯西

柯西（Cauchy Augustin-Louis，1789-1857），法國享有盛譽(yù)的數(shù)學(xué)大師.他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功底相當(dāng)深厚，很多數(shù)學(xué)的定理、公式都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式.他一生著述豐富，發(fā)表論文800篇以上，幾乎涉及當(dāng)時所有的數(shù)學(xué)分支，是著名的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家之一，被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，其中以《分析教程》和《關(guān)于定積分理論的報告》最為著名.特別是他弄清了彈性理論的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，為彈性力學(xué)奠定了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ).

1.易南軒，王芝平.多元視角下的數(shù)學(xué)文化［M］.北京：科學(xué)出版社，2007.

2.張順燕.數(shù)學(xué)的源與流［M］.北京：高等教育出版社，2003.