☉江蘇省鎮(zhèn)江市國(guó)際學(xué)校 宋仁高

任何一種教學(xué)，最低目標(biāo)是通過(guò)一系列的教學(xué)進(jìn)程，使學(xué)習(xí)者獲得某種知識(shí)與技能的發(fā)展；當(dāng)然在獲得知識(shí)與技能的基礎(chǔ)上，獲得思維啟迪、思想躍升與綜合素質(zhì)提高進(jìn)而改變哲學(xué)觀，這是最高層級(jí)目標(biāo).新課標(biāo)提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)的三維教學(xué)目標(biāo)，為實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，往往從浩瀚數(shù)學(xué)之海中掬一杯清澈涓流，精心運(yùn)用于教學(xué)過(guò)程；多年實(shí)踐證明，課堂教學(xué)素材的選取是否合適、運(yùn)用是否得當(dāng)往往影響教學(xué)效果.以“導(dǎo)數(shù)”教學(xué)為例，筆者發(fā)現(xiàn)選取“三次函數(shù)”素材作為教學(xué)“導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用”十分合適，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，積極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“三次函數(shù)”的若干性質(zhì)進(jìn)行探究，則可很好地落實(shí)“導(dǎo)數(shù)”教學(xué)的三維目標(biāo)，下面從兩個(gè)方面淺析這一過(guò)程.

一、借心理學(xué)理論“最近能力發(fā)展區(qū)”原理，凸顯三次函數(shù)的性質(zhì)探究在導(dǎo)數(shù)教學(xué)中的價(jià)值

教育心理學(xué)認(rèn)為，處于學(xué)生最近能力發(fā)展區(qū)的教學(xué)內(nèi)容，是最合適的教學(xué)內(nèi)容.從現(xiàn)有數(shù)學(xué)教育體制看，“導(dǎo)數(shù)”學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)處于“承上啟下”的地位：初中數(shù)學(xué)開(kāi)始接觸函數(shù)，意味著由小學(xué)開(kāi)始學(xué)習(xí)的“常量”為主的數(shù)學(xué)開(kāi)始進(jìn)入中學(xué)階段的“變量”為主的數(shù)學(xué)，高一接觸了關(guān)于初等函數(shù)的幾個(gè)特征，如定義域、值域、奇偶性、對(duì)稱性、增減性、周期性等.這正是進(jìn)入高二之后學(xué)習(xí)“導(dǎo)數(shù)”的基礎(chǔ)；高二學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，是對(duì)前者的深化，是站在更高的視角，是運(yùn)用更為深入的、更為本質(zhì)的概念推進(jìn)函數(shù)的探究與學(xué)習(xí)，“導(dǎo)數(shù)”體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想，即通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的某種特征的探究進(jìn)而了解該對(duì)象的性質(zhì).高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)教學(xué)要體現(xiàn)這一思想，為學(xué)生進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)，而不僅僅是讓學(xué)生知道幾個(gè)定義、記住幾個(gè)公式、機(jī)械地套用公式進(jìn)行計(jì)算等.

回溯高二數(shù)學(xué)教學(xué)背景可看出，基本初等函數(shù)特別是二次函數(shù)的學(xué)習(xí)是高二學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的能力基礎(chǔ)，二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式三位一體、緊密相關(guān)，從函數(shù)圖像、函數(shù)性質(zhì)到方程求解、根的分布、不等式的解集區(qū)間分布等，知識(shí)與能力要求環(huán)環(huán)相扣，集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的理解能力、推理能力、想象能力、幾何作圖能力、運(yùn)算能力等.二次函數(shù)是學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)前了解最多、運(yùn)用最嫻熟的數(shù)學(xué)對(duì)象，二次函數(shù)學(xué)習(xí)中習(xí)得的函數(shù)研究的一般步驟與思路，為學(xué)習(xí)、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)及相關(guān)問(wèn)題奠定了方法與知識(shí)基礎(chǔ).三次函數(shù)無(wú)論從函數(shù)的代數(shù)特征、圖像的幾何特征還是函數(shù)性質(zhì)的研究、推理手段等來(lái)看，與二次函數(shù)最為相近，但是，量變引起質(zhì)變的哲學(xué)辯證思維啟發(fā)我們，從二次函數(shù)到三次函數(shù)，并非是簡(jiǎn)單的函數(shù)因變量的指數(shù)變化，三次函數(shù)畢竟具有二次函數(shù)所沒(méi)有的諸多特點(diǎn)，與之俱來(lái)的若干問(wèn)題也不是僅能照搬二次函數(shù)的研究方法解決的.從三個(gè)維度的教學(xué)目標(biāo)看，三次函數(shù)正是處于高二階段學(xué)生的最近數(shù)學(xué)能力發(fā)展區(qū)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材.下面通過(guò)一道典型的試題的剖析加以說(shuō)明如何以三次函數(shù)為素材進(jìn)行導(dǎo)數(shù)教學(xué).

例1設(shè)有函數(shù)f（x）=x3-3ax2+3x+1.（1）設(shè)a=2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)：在解決第一問(wèn)時(shí)，通過(guò)求導(dǎo)，將三次函數(shù)的增減性討論轉(zhuǎn)化為一元二次方程的求根與一元二次不等式的求解問(wèn)題，求導(dǎo)的解題功能體現(xiàn)為將三次函數(shù)直接轉(zhuǎn)化為二次問(wèn)題，而轉(zhuǎn)化后問(wèn)題中不含參數(shù)討論，比較簡(jiǎn)單，體現(xiàn)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的特點(diǎn)，即不斷將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題解決；解決第二問(wèn)，導(dǎo)數(shù)起到的作用仍然是將三次問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，但轉(zhuǎn)化后得到的二次問(wèn)題含有參數(shù)，如果仍拘泥于求出含有參數(shù)的方程解，接著利用不等式結(jié)合解所在區(qū)間求解，將相當(dāng)繁瑣，反過(guò)來(lái)將參數(shù)視為原來(lái)自變量x的函數(shù)，將求參量變化區(qū)間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論一個(gè)新函數(shù)的值域問(wèn)題，此時(shí)討論值域問(wèn)題無(wú)需求導(dǎo)，應(yīng)靈活地根據(jù)解的代數(shù)表達(dá)式及自變量變化區(qū)間，將問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為基本不等式處理的問(wèn)題.本題中，“求導(dǎo)”作為問(wèn)題轉(zhuǎn)化的技術(shù)手段，所需思路是在原有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上“跳一跳，夠得到”.

二、視三次函數(shù)為載體，配合導(dǎo)數(shù)處理更加復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，體現(xiàn)“工具”特點(diǎn)的價(jià)值所在

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不斷提出新問(wèn)題與解決新問(wèn)題的嘗試往往能有效檢驗(yàn)已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，檢驗(yàn)已經(jīng)了解的數(shù)學(xué)思想理解的深度，進(jìn)而促進(jìn)知識(shí)與方法的掌握，這在數(shù)學(xué)家波利亞的《怎樣解題》一書(shū)中有精彩的描述.經(jīng)過(guò)基礎(chǔ)性內(nèi)容與方法的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練之后，教學(xué)過(guò)程就應(yīng)該向較高要求過(guò)渡，能力發(fā)展向多種指標(biāo)提高的方向努力.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)處理三次函數(shù)，學(xué)生如果掌握的較理想，完全可以將三次函數(shù)作為新過(guò)渡工具，用導(dǎo)數(shù)處理涉及四次函數(shù)的問(wèn)題以及超越函數(shù)的問(wèn)題.這時(shí)，三次函數(shù)問(wèn)題討論的經(jīng)歷與解決問(wèn)題的解題經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)成為新的基礎(chǔ).試看下列這道典型四次函數(shù)問(wèn)題：

g（x）=x3+3x2-9x的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1=-3和x2=1，一個(gè)極大值為g（-3）=27，一個(gè)極小值為g（1）=-5，粗略畫(huà)出三次曲線g（x）=x3+3x2-9x的圖像如圖，當(dāng)且僅當(dāng)-27＜c＜5，g（x）=x3+3x2-9x與h（x）=-c才會(huì)恰好有三個(gè)交點(diǎn)，問(wèn)題得證；

（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，a+2］上單調(diào)遞減，意味著導(dǎo)函數(shù)：

f′（x）=x3+3x2-9x+c在區(qū)間［a，a+2］上恒負(fù)，此處“存在c”，不能理解成“任意c”，與第一問(wèn)類(lèi)似，三次問(wèn)題“f′（x）=x3+3x2-9x+c在區(qū)間［a，a+2］上恒負(fù)”，只有通過(guò)再次求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)中零點(diǎn)的分布問(wèn)題討論，進(jìn)而得出參數(shù)c范圍.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)魅力在于不斷在最新的最近發(fā)展區(qū)中，通過(guò)新問(wèn)題磨練思維、活化思維，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法的遷移應(yīng)用，達(dá)到真正領(lǐng)會(huì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而有效提高數(shù)學(xué)水平.此題第一問(wèn)培養(yǎng)學(xué)生如何根據(jù)三次函數(shù)圖像解決問(wèn)題的能力，是在運(yùn)用二次函數(shù)拋物線圖像的基礎(chǔ)上對(duì)于數(shù)學(xué)能力的又一次提高；第二問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生，將四次函數(shù)問(wèn)題通過(guò)求導(dǎo)，在形式上轉(zhuǎn)化為仍然是“已知自變量x的變化區(qū)間，反過(guò)來(lái)求解參數(shù)的變化范圍”問(wèn)題，只不過(guò)將例1的第二問(wèn)問(wèn)題背景由二次問(wèn)題換為三次問(wèn)題，解決的思路是再次求導(dǎo)，將三次問(wèn)題中參數(shù)討論最終轉(zhuǎn)化為二次問(wèn)題中的參數(shù)討論.這里，隱藏著將來(lái)在高等數(shù)學(xué)中二階導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生將來(lái)的數(shù)學(xué)能力發(fā)展打下基礎(chǔ).問(wèn)題二比問(wèn)題一無(wú)論在運(yùn)用知識(shí)的廣度與深度，還是思維能力的要求方面，都有明顯提升，數(shù)學(xué)問(wèn)題的曲折會(huì)鍛煉思維，已經(jīng)積累的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)會(huì)為終身發(fā)展埋下伏筆.

總之，從以上討論中可見(jiàn)，三次函數(shù)對(duì)于導(dǎo)數(shù)教學(xué)具有極高的數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值與數(shù)學(xué)教育意義，重視并挖掘這一教學(xué)素材，是高中數(shù)學(xué)教師值得重視的問(wèn)題.