☉江蘇省華羅庚中學(xué) 席國金

一、問題的提出

一道好的練習(xí)題可以反映出學(xué)生在知識理解上的不足以及思維上的誤區(qū).只要發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題，我們對癥下藥，就能做到有的放矢.更好的研究學(xué)情，可使我們平時(shí)命題工作更有針對性，提高命題的質(zhì)量，以至為我們今后的教育教學(xué)工作提供正確的向?qū)?筆者對一道組合問題進(jìn)行了調(diào)查研究，發(fā)現(xiàn)了學(xué)生容易走入的幾個(gè)思維誤區(qū)，進(jìn)而反思我們課堂教學(xué)中的不足與缺陷，并提出一些改進(jìn)措施.

二、研究過程

1.調(diào)查對象

江蘇省華羅庚中學(xué)的120名在校高二理科學(xué)生.

2.調(diào)查方法

采用試卷調(diào)查法和訪談法.收集試卷115份，選擇其中20名學(xué)生進(jìn)行訪談.

三、研究結(jié)果與分析

1.試題呈現(xiàn)

題目 把8個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子，有多少種不同放法？

本題是相同元素的分配問題，是關(guān)于組合知識應(yīng)用的一道經(jīng)典問題，也是隔板法的應(yīng)用模型.考查化歸轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，著力于考察學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

本題的正確率并不高，只有10%的同學(xué)解得答案，還有4.1%的學(xué)生沒有解答，可能是由于思維受阻或是根本就沒有認(rèn)真做導(dǎo)致的.

2.誤區(qū)分析

經(jīng)過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，主要有以下幾個(gè)思維的誤區(qū)，誤區(qū)類型調(diào)查結(jié)果如下表.

從表中可以看出，學(xué)生對此問題的解答錯(cuò)誤率很高，對此我們分析學(xué)生走入思維誤區(qū)的原因.

誤區(qū)類型 誤區(qū)1 誤區(qū)2 誤區(qū)3百分比 19.1% 50.3% 16.5%

誤區(qū)1：錯(cuò)誤的看成是不同元素的分組、分配問題而致錯(cuò)

19.1%的學(xué)生錯(cuò)誤地將問題看作是不同元素的分組、分配問題而導(dǎo)致問題的錯(cuò)誤解答，主要原因：一是由于學(xué)生根本沒有理解不同元素的分組、分配問題和相同元素的分組、分配問題，對二者不能夠區(qū)分而混為一談；二是由于審題不清，粗枝大葉所致.

誤區(qū)2：錯(cuò)誤的看成是原始問題而致錯(cuò)

原始問題：將n個(gè)相同元素放入m（m≤n）個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子中至少放一個(gè)元素，共有C種放法.

誤區(qū)3：分類不全面而致錯(cuò)

3.問題分析

從學(xué)生的解答來看，做對的學(xué)生都是應(yīng)用了求方程非負(fù)整數(shù)解的問題模型，將上述問題等效為：求x1+x2+x3+x4=8的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù).

解法1：用a1，a2，a3，a4中ai=xi+1（i=1，2，3，4）（ai為正整數(shù)）做代換，有

進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的組數(shù)，由隔板法知，有組解.

從本解法來看，這些學(xué)生對隔板法已經(jīng)熟練掌握，不但明確隔板法適用的范圍，而且還能類比非負(fù)整數(shù)解解決此問題.當(dāng)然這些學(xué)生不但基礎(chǔ)好，而且學(xué)習(xí)習(xí)慣也好，在學(xué)習(xí)中能夠自主探究和歸納總結(jié).

解法2：對上述誤區(qū)3的學(xué)生的解法進(jìn)行分析和完善，我們就對x1+x2+x3+x4=8的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)展開討論即可.對此問題解的情況可以分為4類：

因此，我們就得到了下面的結(jié)論：

解法3：（不盡相異元素的全排列的應(yīng)用）求x1+x2+x3+x4=8的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)，由上可知，就是求a1+a2+a3+a4=12的正整數(shù)解的組數(shù).根據(jù)解情況分類：

④（2～2～2～6、2～2～3～5、2～2～4～4、2～3～3～4）有

⑤（3～3～3～3）有1種.

綜上可知，x1+x2+x3+x4=8的正整數(shù)解的組數(shù)為165=.

解法1應(yīng)用了化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將原問題轉(zhuǎn)化為非負(fù)整數(shù)解的問題，再應(yīng)用隔板法優(yōu)化了思維過程；解法2、解法3不但應(yīng)用了化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，而且應(yīng)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類要做到不重不漏，才能走出思維的誤區(qū)，達(dá)到正確解題的目的.通過方法2的探究，我們還得到上述一個(gè)結(jié)論.

四、結(jié)論與建議

1.結(jié)論

通過調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維誤區(qū)最多的是缺少同類問題概念的辨析、審題不清、偷換概念等帶來的誤區(qū)；其次是知識本身不理解而走入的誤區(qū)，對于高中生來說，數(shù)學(xué)思維能力是有限的，而數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是一項(xiàng)工程.相對而言，考慮問題不全面而帶來的思維誤區(qū)就少了，主要是因?yàn)楸绢}難度較大，數(shù)學(xué)能力的要求很高所致，這也說明學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力有限，對于數(shù)學(xué)思想方法的掌握欠佳.

2.建議

（1）加強(qiáng)概念性教學(xué)

為防止學(xué)生出現(xiàn)偷換概念而走入思維誤區(qū)，教學(xué)中必須認(rèn)真?zhèn)湔n鉆研教材，加強(qiáng)概念性教學(xué)，對概念進(jìn)行辨析、歸類，對方法進(jìn)行總結(jié)及模型化，使學(xué)生牢固的掌握基本概念、正確運(yùn)用方法等.

（2）重視數(shù)學(xué)能力的發(fā)展

高考以能力立意，全面考查體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的七個(gè)能力，即空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新意識.良好的思維能力是需要經(jīng)過多次反復(fù)從實(shí)踐中鍛煉出來的.這樣通過發(fā)散思維訓(xùn)練，突破了固定的思維模式，提高了思維的靈活性.

（3）注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透

高中階段主要掌握七大數(shù)學(xué)思想方法，即函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想、分類與整合的數(shù)學(xué)思想、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想、有限與無限的數(shù)學(xué)思想、或然與必然的數(shù)學(xué)思想，其中在高考中，函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法體現(xiàn)得最為突出．因此，在平時(shí)的教學(xué)中要注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，從而優(yōu)化解題思路，找到合理的突破口，減少解題思維誤區(qū)的發(fā)生.

（4）用正確的方法糾錯(cuò)

認(rèn)真分析思維誤區(qū)的形成，針對不同的思維誤區(qū)，進(jìn)行易錯(cuò)題歸類、總結(jié)成題集，以便于學(xué)生對知識的再認(rèn)識.

（5）培養(yǎng)良好的非智力因素

學(xué)生的許多思維誤區(qū)與非智力因素也是離不開的，應(yīng)在糾正不良的心理品質(zhì)上下功夫.如：要求學(xué)生上課時(shí)注意力要集中；要有克服困難的精神，不能知難而退；克服馬虎、粗心、不認(rèn)真檢查的毛病；并教育學(xué)生樹立學(xué)習(xí)的信心，有助于提高成績.

1.王振平.中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的調(diào)查分析［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（1）.

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4.涂榮豹.新編數(shù)學(xué)教學(xué)論［J］.華東師范大學(xué)出版社.2008年2月出版.